1、1课时跟踪检测（十五） 导数的概念及运算A 级 保分题准做快做达标1曲线 ye xln x 在点(1，e)处的切线方程为( )A(1e) x y10 B(1e) x y10C(e1) x y10 D(e1) x y10解析：选 C 由于 ye ，所以 y| x1 e1，故曲线 ye xln x 在点(1，e)1x处的切线方程为 ye(e1)( x1)，即(e1) x y10.2已知函数 f(x) aln x bx2的图象在点 P(1，1)处的切线与直线 x y10 垂直，则 a 的值为( )A1 B1C3 D3解析：选 D 由已知可得 P(1,1)在函数 f(x)的图象上，所以 f(1)1，即
2、 aln 1 b121，解得 b1，所以 f(x) aln x x2，故 f( x) 2 x.ax则函数 f(x)的图象在点 P(1,1)处的切线的斜率 k f(1) a2，因为切线与直线 x y10 垂直，所以 a21，即 a3.3(2019珠海期末)曲线 y x32 x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A30 B45C60 D120解析：选 B 由题意知点(1,3)在曲线 y x32 x4上 y x32 x4， y3 x22，根据导数的几何意义，可知曲线 y x32 x4 在点(1,3)处的切线的斜率 k y| x1 1，曲线 y x32 x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 4
3、5.故选 B.4(2019青岛模拟)已知 f1(x)sin xcos x， fn1 (x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x) f1( x)， f3(x) f2( x)， fn1 (x) fn( x)， nN *，则 f2 018(x)( )Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析：选 C f1(x)sin xcos x， f2(x) f1( x)cos xsin x， f3(x) f2( x)sin xcos x， f4(x) f3( x)cos xsin x， f5(x) f4( x)sin xcos x， fn(x)的解析式以 4
4、 为周期重复出现， 2 01845042， f2 018(x)2 f2(x)sin xcos x，故选 C.5(2019山东省实验中学一模)设函数 f(x) x3 ax2，若曲线 y f(x)在点P(x0， f(x0)处的切线方程为 x y0，则点 P 的坐标为( )A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)解析：选 D f( x)3 x22 ax，依题意，得Error!解得Error!或Error!故选 D.6(2019湖北黄石二中一模)若直线 y kx2 是函数 f(x) x3 x23 x1 图象的一条切线，则 k( )A1 B1C2 D2解析：选 C 直线 y kx
5、2 过(0,2)， f( x)3 x22 x3，设切点为( x0， y0)，故切线方程为 y y0(3 x 2 x03)( x x0)，将(0,2)代入切线方程并结合20y0 x x 3 x01，解得 x01， y00，代入 y kx2，解得 k2.30 207(2019银川一中月考)设函数 f(x) x3 x24 x1， 3sin 3 cos 2，则导数 f(1)的取值范围是( )0，56A3,4 B3,63C4 ，6 D4 ，4 3 3 3解析：选 B 求导得 f( x) x2sin xcos 4，将 x1 代入导函数，得3f(1) sin cos 42sin 4 ，由 ，可得 3 ( 6
6、) 0， 56 6， sin ，2sin 43,6故选 B. 6， 23 ( 6) 12， 1 ( 6)8(2019巴蜀中学模拟)已知曲线 y 在点 P(2,4)处的切线与直线 l 平行且距离2xx 1为 2 ，则直线 l 的方程为( )5A2 x y20B2 x y20 或 2x y180C2 x y180D2 x y20 或 2x y180解析：选 B y ， y| x2 2，因2 x 1 2x x 1 2 2 x 1 2 2 2 1 2此 kl2，设直线 l 方程为 y2 x b，即 2x y b0，由题意得 2|22 4 b|5，解得 b18 或 b2，所以直线 l 的方程为 2x y
7、180 或 2x y20.故选 B.539(2019成都双流区模拟)过曲线 y x22 x3 上一点 P 作曲线的切线，若切点 P的横坐标的取值范围是 ，则切线的倾斜角的取值范围是( )1，32A. B.0， 2 0， 4C0，) D.34， )解析：选 B 因为 y2 x2,1 x ，所以 02 x21.设切线的倾斜角为 ，则320tan 1.因为 0 ，所以 0 ，故选 B. 410(2019广东七校联考)函数 f(x) xcos x 的导函数 f( x)在区间，上的图象大致是( )解析：选 A 法一：由题意，得 f( x)cos x x( sin x)cos x xsin x， f( x
8、) f( x)，所以 f( x)为偶函数又 f(0)1，所以排除 C、D；令 g(x) f( x)cos x xsin x，则 g( x) xcos x2sin x，易知 g(0)0，且当 x时， g( x)0， f( x)单调递增，(0， 2 ( 2， 0所以 f( x)在 x0 处取得极大值，排除选项 B.故选 A.法二：由题意，得 f( x)cos x x(sin x)cos x xsin x，又 f(0)1，所以排除 C，D；当 x 时， ycos x 单调递减，对于 y xsin x， y xcos xsin (0， 2x0，则 y xsin x 单调递增，则 f( x)cos x
9、xsin x 在 上单调递减故选 A.(0， 211(2018全国卷)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为 y ， y| x1 2，所以切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.2x答案： y2 x212若点 P 是曲线 y x2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y x2 的最小距离为_解析：由 y x2ln x，得 y2 x (x0)，1x4设点 P0(x0， y0)是曲线 y x2ln x 上到直线 y x2 的距离最小的点，则 y x x02 x0 1，解得 x01 或 x0 (舍去)1x0 12点 P0的坐标为(1,1)所求的最小距离为 .|1 1 2
10、|2 2答案： 213(2019石家庄二中月考)已知函数 f(x) ， g(x) x2.若直线 l 与曲线 f(x)，1xg(x)都相切，则直线 l 的斜率为_解析：因为 f(x) ，所以 f( x) ，设曲线 f(x)与 l 切于点 ，则切线1x 1x2 (x1， 1x1)斜率 k ，故切线方程为 y (x x1)，即 y x .与 g(x) x2联立，1x21 1x1 1x21 1x21 2x1得 x2 x 0.因为直线 l 与曲线 g(x)相切，所以 24 0，解得 x1 ，1x21 2x1 (1x21) ( 2x1) 12故斜率 k 4.1x21答案：414(2019淄博六中期末)曲线
11、 yln(2 x1)上的点到直线 2x y30 的最短距离为_解析：设曲线上过点 P(x0， y0)的切线平行于直线 2x y30，即斜率是 2，则y| x x0 2，解得 x01，所以 y00，即点 P(1,0)又点 P 到直线22x0 12x y30 的距离为 ，所以曲线 y ln(2x1)上的点到直线|2 0 3|22 1 2 52x y30 的最短距离是 .5答案： 515(2019孝感高中期中)已知函数 f(x) x3 x.(1)求曲线 y f(x)在点 M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1， b)可作曲线 y f(x)的三条切线，求实数 b 的取值范围解：(1) f( x)
12、3 x21， f(1)2.故切线方程为 y02( x1)，即 2x y20.(2)设切点为( x0， x x0)，则切线方程为 y( x x0) f( x0)(x x0)30 30又切线过点(1， b)，所以(3 x 1)(1 x0) x x0 b，20 30即 2x 3 x b10.30 20由题意，上述关于 x0的方程有三个不同的实数解5记 g(x)2 x33 x2 b1，则 g(x)有三个不同的零点，而 g( x)6 x(x1)，令 g( x)0 得 x0 或 x1，则结合图像可知 g(0)g(1)2 时， y0，则y(1 x)e x在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增， x2 时
13、，函数 y 取得极小值e 2 .又当 x2 时总有 y(1 x)e x0，可得实数 a 的取值范围是 .故选 D.(1e2， 0)2(2019山东名校调研)已知曲线 ye x a与 y x2恰好存在两条公切线，则实数 a的取值范围是( )A2ln 22，) B(2ln 2，)C(，2ln 22 D(，2ln 22)解析：选 D 由题意可设直线 y kx b(k0)为它们的公切线，联立Error!可得x2 kx b0，由 0，得 k24 b0 .由 ye x a求导可得 ye x a，令 ex a k，可得 xln k a，切点坐标为(ln k a， kln k ak b)，代入 ye x a可得 k kln k ak b .联立可得 k24 k4 ak4 kln k0，化简得 44 a4ln k k.令 g(k)4ln k k，则 g( k) 1，令 g( k)0，得 k4，令 g( k)0，得 04. g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，)内单调递减， g(k)max g(4)4ln 44，且 k0 时， g(k)， k时， g(k).有两条公切线，方程44 a4ln k k 有两解，44 a4ln 44， a2ln 22.故选 D.7
