1、1课时跟踪检测（四十二） 空间向量及其运算和空间位置关系1在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x， y， z使得 p xa yb zc.其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 A a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故错误；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们三个却
2、不一定共面，故不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为 p xa yb zc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选 A.2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 a， b， c，则下列向量中与 相等AB AD AA1 BM 的向量是( )A a bc B. a bc12 12 12 12C a bc D. a bc12 12 12 12解析：选 A ( )c (ba) a bc.BM BB1 B1M AA1 12 AD AB 12 12 123已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若
3、x y z OP OA OB OC (x， y， zR)，则“ x2， y3， z2”是“ P， A， B， C 四点共面”的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 当 x2， y3， z2 时， 2 3 2 .则OP OA OB OC 2 3( )2( )，即 3 2 ，根据共AP AO OA AB AO AC AO AP AB AC 面向量定理知， P， A， B， C 四点共面；反之，当 P， A， B， C 四点共面时，根据共面向量2定理，设 m n (m， nR)，即 m( ) n( )，AP AB AC OP OA OB OA OC
4、OA 即 (1 m n) m n ，即 x1 m n， y m， z n，这组数显然不止OP OA OB OC 2，3,2.故“ x2， y3， z2”是“ P， A， B， C 四点共面”的充分不必要条件4已知 a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6， )，若 a，b，c 三向量共面，则 ( )A9 B9C3 D3解析：选 B 由题意设 c xa yb，则(7,6， ) x(2,1，3) y(1,2,3)，Error! 解得 9.5(2019东营质检)已知 A(1,0,0)， B(0，1,1)， 与 的夹角为OA OB OB 120，则 的值为( )A B66 66C D66 6解析
5、：选 C (1， ， )，cos 120 ，得OA OB 1 2 22 12 .经检验 不合题意，舍去，所以 .66 66 666在空间四边形 ABCD 中，则 的值为( )AB CD AC DB AD BC A1 B0C1 D2解析：选 B 法一：如图，令 a， b， c，AB AC AD 则 AB CD AC DB AD BC ( ) ( ) ( )AB AD AC AC AB AD AD AC AB a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.法二：在三棱锥 ABCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直所以 0， 0， 0.AB CD AC DB AD BC
6、 3所以 0.AB CD AC DB AD BC 7 ABC 的顶点分别为 A(1，1,2)， B(5，6,2)， C(1,3，1)，则 AC 边上的高BD 等于_解析：设 ， D(x， y， z)，AD AC 则( x1， y1， z2) (0，4，3)， x1， y4 1， z23 ， D(1,4 1,23 )， (4,4 5，3 )，BD 4(4 5)3(3 )0，解得 ， ，45 BD ( 4， 95， 125)| | 5.BD 4 2 (95)2 (125)2答案：58已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4)，AB (4,2,0)， (1,2，1)对
7、于结论： AP AB； AP AD； 是平面AD AP AP ABCD 的法向量； .其中正确的是_AP BD 解析： 2240，AP AB AP AB，故正确； 4400， AP AD，故正确；AP AD 由知 AP平面 ABCD，故正确，不正确答案：9(2019南昌调研)已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别是 OA， BC的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2 ，现用基底 ， ， 表示向量 ，MG GN OA OB OC OG 有 x y z ，则 x， y， z 的值分别为_OG OA OB OC 解析： OG OM MG 12OA 23MN ( )12
8、OA 23 ON OM 4 12OA 23 ，16OA 13OB 13OC x ， y ， z .16 13 13答案： ，1613 1310在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB3， AD4， AA12.点 M 在棱 BB1上，且BM2 MB1，点 S 在 DD1上，且 SD12 SD，点 N， R 分别为 A1D1， BC 的中点求证： MN平面 RSD.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M ， N(0,2,2)， R(3，2,0)， S .(3， 0，43) (0， 4， 23) ， ， .MN ( 3， 2， 23) RS ( 3， 2， 23) MN RS .
9、 MRS. MN RS.MN RS 又 RS平面 RSD， MN平面 RSD， MN平面 RSD.法二：设 a， b， c，AB AD AA1 则 ca b，MN MB1 B1A1 A1N 13 12 ba c，RS RC CD DS 12 13 ， ，MN RS MN RS 又 RMN， MN RS.又 RS平面 RSD， MN平面 RSD， MN平面 RSD.11三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1B1C1， BAC90， A1A平面ABC， A1A ， AB AC2 A1C12， D 为 BC 中点3求证：平面 A1AD平面 BCC1B1.证明：如图，建
10、立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， A1(0,0， )，35C1(0,1， )，3 D 为 BC 的中点， D 点坐标为(1,1,0) (0,0， )， (1,1,0)，AA1 3 AD (2,2,0)， (0，1， )BC CC1 3设平面 A1AD 的法向量 n1( x1， y1， z1)，平面 BCC1B1的法向量为 n2( x2， y2， z2)由 得Error!令 y11，则 x11， z10，n 1(1，1,0)由 得Error!令 y21，则 x21， z2 ，33n 2 .(1， 1，33)n 1n21100，n 1n 2.平面 A
11、1AD平面 BCC1B1.12如图所示，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，点 P 为侧棱 SD 上的点2(1)求证： AC SD；(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面PAC.若存在，求 SE EC 的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，则 AC BD.连接SO，由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 x 轴， y 轴，OB OC OS z 轴，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为 a，则高 SO a，62于是 S ， D ， B ， C ，
12、 (0， 0，62a) ( 22a， 0， 0) (22a， 0， 0) (0， 22a， 0) OC ， ，(0，22a， 0) SD ( 22a， 0， 62a)则 0.故 OC SD.从而 AC SD.OC SD (2)棱 SC 上存在一点 E，使 BE平面 PAC.6理由如下：由已知条件知 是平面 PAC 的一个法向量，且 ，DS DS (22a， 0， 62a) ， .CS (0， 22a， 62a) BC ( 22a， 22a， 0)设 t ，则CE CS t ，而 0 tBE BC CE BC CS ( 22a， 22a 1 t ， 62at) BE DS .13即当 SE EC21 时， .BE DS 而 BE平面 PAC，故 BE平面 PAC.7
