1、1课时跟踪检测（四十八） 深化提能与圆有关的综合问题1(2019莆田模拟)已知圆 O： x2 y21，若 A， B是圆 O上的不同两点，以 AB为边作等边 ABC，则| OC|的最大值是( )A. B.2 62 3C2 D. 13解析：选 C 如图所示，连接 OA， OB和OC. OA OB， AC BC， OC OC， OACOBC， ACO BCO30，在 OAC中，由正弦定理得 ， OC2sin OAC2，故| OC|的最大值为OAsin 30 OCsin OAC2，故选 C.2已知圆 C1： x2 y24 ax4 a240 和圆 C2： x2 y22 by b210 只有一条公切线，若
2、 a， bR 且 ab0，则 的最小值为( )1a2 1b2A2 B4C8 D9解析：选 D 圆 C1的标准方程为( x2 a)2 y24，其圆心为(2 a,0)，半径为 2；圆C2的标准方程为 x2( y b)21，其圆心为(0， b)，半径为 1.因为圆 C1和圆 C2只有一条公切线，所以圆 C1与圆 C2相内切，所以 21，得 2a 0 2 0 b 24a2 b21，所以 (4a2 b2)5 52 9，当且仅当1a2 1b2 (1a2 1b2) b2a2 4a2b2 b2a24a2b2 ，且 4a2 b21，即 a2 ， b2 时等号成立所以 的最小值为 9.b2a2 4a2b2 16
3、13 1a2 1b23(2017全国卷)在矩形 ABCD中， AB1， AD2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上若 ，则 的最大值为( )AP AB AD A3 B2 2C. D25解析：选 A 以 A为坐标原点， AB， AD所在直线分别为 x轴， y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1,0)， C(1,2)， D(0,2)，可得直线 BD的方程为 2x y20，点 C到直线 BD的距离为 222 12，所以圆 C：( x1) 2( y 2)2 .25 452因为 P在圆 C上，所以 P .(1255cos ， 2 255sin )又 (1,0)， (0,2
4、)， ( ，2 )，AB AD AP AB AD 所以 Error! 2 cos sin 2sin( )3(其中 tan 2)，255 55当且仅当 2 k ， kZ 时， 取得最大值 3.24(2019拉萨联考)已知点 P在圆 C： x2 y24 x2 y40 上运动，则点 P到直线l： x2 y50 的距离的最小值是( )A4 B. 5C. 1 D. 15 5解析：选 D 圆 C： x2 y24 x2 y40 化为( x2) 2( y1) 21，圆心 C(2,1)，半径为 1，圆心到直线 l的距离为 ，则圆上一动点 P到直线 l的距离的最小|2 2 5|12 22 5值是 1.故选 D.5
5、5(2019赣州模拟)已知动点 A(xA， yA)在直线 l： y6 x上，动点 B在圆C： x2 y22 x2 y20 上，若 CAB30，则 xA的最大值为( )A2 B4C5 D6解析：选 C 由题意可知，当 AB是圆的切线时， ACB最大，此时| CA|4.点 A的坐标满足( x1) 2( y1) 216，与 y6 x联立，解得 x5 或 x1，点 A的横坐标的最大值为 5.故选 C.6(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记 d为点 P(cos ，sin )到直线x my20 的距离当 ， m变化时， d的最大值为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 由题知点 P(cos ，si
6、n )是单位圆 x2 y21 上的动点，所以点 P到直线 x my20 的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离又直线 x my20 恒过点(2,0)，所以当 m变化时，圆心(0,0)到直线 x my20 的距离 d 的最大值为21 m22，所以点 P到直线 x my20 的距离的最大值为 3，即 d的最大值为 3.7(2019安徽皖西联考)已知 P是椭圆 1 上的一点，Q， R分别是圆( x3)x216 y272 y2 和( x3) 2 y2 上的点，则| PQ| PR|的最小值是_14 14解析：设两圆圆心分别为 M， N，则 M， N为椭圆的两个焦点，因此3|PQ| PR| PM| | P
7、N| 2 a12417，即| PQ| PR|的最小值是 7.12 12答案：78(2019安阳一模)在平面直角坐标系 xOy中，点 A(0，3)，若圆 C：( x a)2( y a2) 21 上存在一点 M满足| MA|2| MO|，则实数 a的取值范围是_解析：设满足| MA|2| MO|的点的坐标为 M(x， y)，由题意得 2x2 y 3 2，x2 y2整理得 x2( y1) 24，即所有满足题意的点 M组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆 x2( y1) 24 与圆 C：( x a)2( y a2) 21 有交点，据此可得关于实数 a的不等式组Error!解得 0 a3，综上可得，实
8、数 a的取值范围是0,3答案：0,39(2019唐山调研)已知点 A(3,0)， B(3,0)，动点 P满足| PA|2| PB|.(1)若点 P的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程；(2)若点 Q在直线 l1： x y30 上，直线 l2经过点 Q且与曲线 C只有一个公共点M，求|Q M|的最小值解：(1)设点 P的坐标为( x， y)，则 2 .化简可得 x 3 2 y2 x 3 2 y2(x5) 2 y216，故此曲线方程为( x5) 2 y216.(2)曲线 C是以点(5,0)为圆心，4 为半径的圆，如图所示由题知直线 l2与圆 C相切，连接 CQ， CM，则|Q M| ，|CQ|2 |C
9、M|2 |CQ|2 16当 CQ l1时，| CQ|取得最小值，|Q M|取得最小值，此时| CQ| 4 ，|5 3|2 2故|Q M|的最小值为 4.32 1610(2019广州一测)已知定点 M(1,0)和 N(2,0)，动点 P满足| PN| |PM|.2(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)若 A， B为(1)中轨迹 C上两个不同的点， O为坐标原点设直线 OA， OB， AB的斜率分别为 k1， k2， k.当 k1k23 时，求 k的取值范围解：(1)设动点 P的坐标为( x， y)，4因为 M(1,0)， N(2,0)，| PN| |PM|，2所以 . x 2 2 y2 2 x
10、 1 2 y2整理得， x2 y22.所以动点 P的轨迹 C的方程为 x2 y22.(2)设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB的方程为 y kx b.由Error! 消去 y，整理得(1 k2)x22 bkx b220.(*)由 (2 bk)24(1 k2)(b22)0，得 b222 k2. 由根与系数的关系，得 x1 x2 ， x1x2 . 2bk1 k2 b2 21 k2由 k1k2 3，y1x1 y2x2 kx1 bx1 kx2 bx2得( kx1 b)(kx2 b)3 x1x2，即( k23) x1x2 bk(x1 x2) b20. 将代入，整理得 b23 k2.由得 b23 k20，解得 k . 3 3由和，解得 k 或 k . 33 33要使 k1， k2， k有意义，则 x10， x20，所以 0不是方程(*)的根，所以 b220，即 k1 且 k1.由，得 k的取值范围为 ，1) (1, 3 ( 1， 33) (33， 1) 35
