1、127.2.1 相似三角形的判定(第 3 课时)学习目标1.掌握相似三角形的性质,理解相似三角形对应线段的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方 .2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算 .学习过程一、自主预习1.根据相似三角形的定义可知,相似三角形有什么性质?2.三角形中有各种各样的几何量,除了三条边的长度、三个内角的度数外,还有高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等 .如果两个三角形相似,那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢?二、探究新知探究 1:如图, ABC ABC,相似比为 k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?猜想:相似三角形对应高
2、、对应中线、对应角平分线的比各是 . 证明:如图 1,分别作 ABC ABC的对应高 AD 和 AD, ABC ABC, B= ; = =90, ; =k.ADAD= ABAB即:相似三角形对应高的比是 . 类似的,可以证明相似三角形 、 的比也等于 . 这样,我们得到 . 探究 2:相似三角形面积的比与相似比有什么关系?设 ABC 与 ABC的相似比为 k,分别作 ABC 和 ABC的对应高 AD,AD.则 AD= AD,BC= BC. S ABC= BCAD= BC AD= S ABC, = . 12 12 S ABCS ABC相似三角形的面积比等于 . 2三、例题学习【例 3】如图,在
3、ABC 和 DEF 中, AB=2DE,AC=2DF, A= D,BC 边上的高为 6,面积是12 ,求 DEF 的边 EF 上的高和面积 .5解:四、反馈练习1.判断题( 正确的画“”,错误的画“ ”).(1)一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍,这个三角形的角平分线也扩大为原来的 5倍; ( )(2)一个三角形的各边长扩大为原来的 9 倍,这个三角形的面积也扩大为原来的 9 倍 .( )2.如图, ABC 与 ABC相似, AD,BE 是 ABC 的高, AD,BE是 ABC的高,求证:.ADAD= BEBE3.在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的 2 cm 变成了 6 c
4、m,放缩比例是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化?五、能力提升1.如果两个相似三角形对应高线的比是 9 4,那么它们的对应角平分线的比为( )A.9 4 B.8116 C.16 81 D.232. ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是 15 cm,则 ABC 的周长为( )A.60 cm B.45 cmC.30 cm D. cm1523.两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm,若较大三角形的周长是 42 cm,面积是 12 cm2,则较小三角形的周长为 cm,面积为 cm 2. 4.如图,在 ABC 中, AB=8,AC=6,BC=9,如果动点 D 以每秒 2 个单
5、位长的速度,从点 B 出发沿边 BA 向点 A 运动,直线 DE BC,交 AC 于 E.记 x 秒时 DE 的长度是 y,写出 y 关 于 x 的函数关系式 .并画出它的图象 .3六、系统小结相似三角形的性质总共有哪些?评价作业1.如图所示, AB CD, ,则 AOB 的周长与 DOC 的周长比是 ( )AOOD=23A.25B.32C.49D.232.若两个相似三角形面积的比为 1 5,则它们的相似比为( )A.1 25 B.1 5C.1 2.5 D.1 53.如图所示,在 ABCD 中, E 是 AD 边上的中点,连接 BE,并延长 BE 交 CD 的延长线于点 F,则 EDF 与 B
6、CF 的周长之比是( )A.1 2B.1 3C.1 4D.1 54.如图所示,在 ABC 中, DE BC, ,则下列结论中正确的是( )ADDB=12A.AEAC=12B.DEBC=12C. ADE的周长 ABC的周长 =134D. ADE的面积 ABC的面积 =135. ABC ABC,且相似比是 3 4, ABC 的面积是 27 cm2,则 ABC的面积为 cm2. 6.已知 ABC DEF,若 ABC 与 DEF 的相似比为 2 3,则 ABC 与 DEF 对应边上的中线的比为 . 7.如图所示,把 ABC 沿 AB 边平移到 ABC的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是
7、ABC 的面积的一半,若 AB= ,则此三角形移动的距离 AA= . 28.如图所示,平行于 BC 的直线 DE 把 ABC 分成的两部分面积相等,则 = . ADAB9.在 ABC 中, AB=9,AC=12,BC=18,D 为 AC 上一点, AD=4,在 AB 上取一点 E,得到 ADE,若这两个三角形相似,则它们的周长之比是 . 10.如图所示,若 BC DE, ,S ABC=4,求 S 四边 形 DBCE的值 .ABAD=3411.如图所示,在 ABCD 中, E 是 CD 延长线上的一点, BE 与 AD 交于点 F,DE= CD.12(1)求证: ABF CEB;(2)若 DEF
8、 的面积为 2,求 ABCD 的面积 .5参考答案学习过程一、自主预习1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例 .2.其他几何量之间的比值有的等于相似比,有的等于相似比的平方 .二、探究新知探究 1:猜想:相似比证明: B ADB ADB ADB ADB 相似比 对应中线 对应角平分线 相似比相似三角形对应线段的比等于相似比探 究 2:k k k k k2 k2 相似比的平方三、例题学习【例 3】解:在 ABC 和 DEF 中,AB= 2DE,AC=2DF, .DEAB=DFAC=12又 D= A, DEF ABC, DEF 与 ABC 的相似比为 .12 ABC 的边 BC 上的高为 6,面
9、积为 12 ,5 DEF 的边 EF 上的高为 6=3,面积为 12 =3 .12 (12)2 5 5四、反馈练习答案:1.(1) (2)2.证明: ABC ABC,令相似比为 k,AD ,AD分别是 BC 边和 BC边上的高, =k,同理, =k,即 .ADAD BEBE ADAD= BEBE3.解:放缩比例是 3 1,面积扩大为原来的 9 倍 .五、能力提升1.A 2.C3.14 434.解:由题意可知 BD=2x,则 AD=AB-BD=8-2x,DE BC,6 ,即 ,ADAB=DEBC 8-2x8 =y9y=- x+9(0 x4),94其图象如图所示:六、系统小结(1)相似三角形的对应
10、边成比例;(2)相似三角形的对应角相等;(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方 .评价作业1.D 2.D 3.A 4.C 5.48 6.2 3 7. -1 8. 9.222 49或 1310.解: BC DE, ABC ADE, . , .又 S S ABCS ADE=(ABAD)2 ABAD=34 S ABCS ADE=916ABC=4,S ADE= ,S 四边形 DBCE= .649 28911.(1)证明: 四边形 ABCD 是平行四边形, A= C,AB CD, ABF= CEB, ABF CEB.(2)解: 四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC,AB 平行且等于 CD, DEF CEB,DEF ABF.DE= CD, .S DEF=2, S CEB=18,S ABF12 S DEFS CEB=(DEEC)2=19,S DEFS ABF=(DEAB)2=14=8,S 四边形 BCDF=S BCE-S DEF=16.S 四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S ABF=16+8=24.7
