1、1【课时训练】几何概型一、选择题1(2018 佛山模拟)如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A16.32 B15.32C8.68 D7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为 S，则 ，故 S16.32.S46 300 963002(2018 昆明三中、玉溪一中统考)已知 P 是 ABC 所在平面内一点， 2 0，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在 PBC 内的概率是( )PB PC PA A. B. C. D.14 13 23 12【答案】D【解析】以 PB、 PC 为邻边作平
2、行四边形 PBDC，则 ，PB PC PD 因为 2 0，所以 2 ，解得 2 .PB PC PA PB PC PA PD PA 由此可得， P 是 ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于点 A 到 BC 距离的 ，所以 S PBC S ABC.所以将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，黄豆落在 PBC 内的概率为12 12 ，故选 D.S PBCS ABC 123(2018 菏泽一模)已知 ABC 中， ABC60， AB2， BC6，在 BC 上任取一点D，则使 ABD 为钝角三角形的概率为( )A. B. C. D.16 13 12 23【答案】C【解析】如图，
3、当 BE1 时， AEB 为直角，则点 D 在线段 BE(不包含 B， E 点)上时， ABD 为钝角三角形；当 BF4 时， BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C， F 点)上时， ABD 为钝角三角形，所以 ABD 为钝角三角形的概2率为 .1 26 124(2018 广州五校联考)四边形 ABCD 为长方形， AB2， BC1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )A. B1 4 4C. D1 8 8【答案】B【解析】如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P 1 .S阴 影S长 方
4、 形 ABCD 2 22 45(2018 贵阳监测考试)在4,4上随机取一个实数 m，能使函数 f(x) x3 mx23 x 在 R 上单调递增的概率为( )A. B. C. D.14 38 58 34【答案】D【解析】由题意，得 f ( x)3 x22 mx3，要使函数 f(x)在 R 内单调递增，则3x22 mx30 在 R 内恒成立，即 4 m2360，解得3 m3，所以所求概率为 ，故选 D.3 34 4 346(2018 湖北八校二联)已知平面区域 D( x， y)|1 x1，1 y1，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线 y kx(kR)下方的概率为( )A. B. C. D.
5、12 13 23 34【答案】A【解析】由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，直线 y kx 将其面积平分，如3图，所求概率为 .127(2018 韶关调研)在区间 上随机取一个数 x，则 sin x cos x1， 的 6， 2 2概率是( )A. B. C. D.12 34 38 58【答案】B【解析】因为 x ，所以 x .由 sin x cos x sin 6， 2 4 12， 34 21， ，得 sin 1，所以 x .故要求的概率为 (x 4) 2 22 (x 4) 0， 2 2 0 2 ( 6).348(2018 重庆适应性测试)在区间1,4上任取两个实数，则所取两个实数之
6、和大于 3的概率为( )A. B. C. D.118 932 2332 1718【答案】D【解析】依题意，记从区间1,4上取出的两个实数为 x， y，不等式组Error!表示的平面区域的面积为(41) 29，不等式组Error!表示的平面区域的面积为(41)2 12 ，因此所求的概率为 ，选 D.12 172 1729 17189(2016 石家庄一模)在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于 的概率是( )65A. B. C. D.1225 1625 1725 1825【答案】C【解析】设这两个数分别是 x， y，则总的基本事件构成的区域是Error!确定的平面区域，4所求事件包含的基本
7、事件构成的区域是Error!确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是 1 2 ，所以这两个数之和小于 的概率是 .12 (45) 1725 65 172510(2018 河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为 2、宽为 1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为 m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有 n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A. B.nm 2nmC. D.mn m2n【答案】B【解析】长方形的面积为 2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为 ，故图中nm飞鸟图案的面积约为 .故选 B.2nm二、填空题11(2018 河南六市第一次联考)有一个底
8、面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_【答案】23【解析】 V 圆柱 2， V 半球 1 3 ， ，12 43 23 V半 球V圆 柱 13故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 .2312(2018 扬州中学期末)在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为 m 和 n，则方5程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是_x2m2 y2n2【答案】12【解析】方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， mn.x2m2 y2n2如图，由题意，知在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m， n)，点 Q
9、 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线 m n 恰好将矩形平分，所求的概率为 P .1213(2018 广州调研)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M，则满足 AMB90的概率为_【答案】 8【解析】如图，如果 M 点位于以 AB 为直径的半圆内部，则 AMB90，否则， M 点位于半圆上及空白部分，则 AMB90，所以 AMB90的概率 P .12 1222 814(2018 南昌月考)一个边长为 3 cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为 2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于 2 cm 的区域内的概率等于_【答案】126【解析】如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于 2 cm，其中黑色区域面积为 S1 S 正方形 4 S 扇形 S 小圆 (3 )22 21 2954，所以小虫离四个顶点的距离都大于 2 cm 的概率为P .S19 48 12
