1、1【课时训练】函数的奇偶性与周期性一、选择题1(2018 河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是( )A f(x) B f(x)e xxC f(x)cos x D f(x)e xe x【答案】D【解析】对于 A，定义域不关于原点对称，故不是；对于 B, f( x)e x f(x)，1ex故不是；对于 C， f( x)cos( x)cos x f(x)，故不是；对于 D， f( x)e xe x(e xe x) f(x)，是奇函数，故选 D.2(2018 江南十校联考)设函数 f(x) xsin x(xR)，则下列说法错误的是( )A f(x)是奇函数 B f(x)在 R 上单调递增 C f(x)的
2、值域为 R D f(x)是周期函数【答案】D【解析】因为 f( x) xsin( x)( xsin x) f(x)，所以 f(x)为奇函数，故 A 正确；因为 f ( x)1 cos x0，所以函数 f(x)在 R 上单调递增，故 B 正确； f(x)的值域为 R，故 C 正确； f(x)不是周期函数，故 D 错误3(2018 兰州模拟)已知函数 f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数，那么a b 的值是( )A B13 13C D12 12【答案】B【解析】 f(x)是偶函数， f( x) f(x)， b0.又a12 a， a ， a b .故选 B.13 134(2018
3、 四川遂宁一模)已知函数 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4) f(x)，当x(2,0)时， f(x)2 x2，则 f(2 019)( )A2 B2C98 D98【答案】B【解析】由 f(x4) f(x)知，函数 f(x)的周期为 4，则 f(2 019) f(50443) f(3)，又 f(3) f(1)，且 f(1)2， f(2 019)2.5(2018 湖南师范大学附属中学月考)已知函数 y f(x)满足 y f( x)和 y f(x2)都是偶函数，且 f(1)1，则 f(1) f(7)( )A0 B1C2 D3【答案】C2【解析】 y f( x)为偶函数， f( x) f(
4、x)， f( x) f(x)， y f(x)为偶函数，当 x1 时，有 f(1) f(1)1.又 y f(x2)是偶函数， f( x2) f(x2)， f(x2) f(x2)则 f(x) f(x4)，函数 y f(x)为周期函数，且周期为 4. f(7) f(81) f(1)1.故 f(1) f(7)2.故选 C.6(2019 吉林东北师大附中第一次摸底)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )A f(25)0 时， f(x) 1，x则当 x0 时， f(x) 1，当 x0，有 f(x)x f( x)( 1)，即 x0，所以 f( x)
5、( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所4以 m2.(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,314(2018 天津六校期中联考)已知函数 f(x)的定义域为 D x|x0，且满足对任意x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1， f(x1)2, 且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围【解】(1)对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)，令 x1 x21，得f(1)2 f(1)， f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1 x21，有 f(1) f(1) f(1)， f(1) f(1)0.12令 x11， x2 x，有 f( x) f(1) f(x)， f( x) f(x)， f(x)为偶函数(3)依题意有 f(44) f(4) f(4)2，又由(2)知， f(x)是偶函数， f(x1)2 f(|x1|) f(16) f(x)在(0，)上是增函数，0| x1|16，解得15 x17 且 x1. x 的取值范围是(15,1)(1,17)5
