1、- 1 -北京市东城区 2018-2019 学年度第 学期高三综合练习（一）数学 （理科）本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考 生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。（1）已知集合 ， ， 则20Ax210BxABI（A） （B）1x 12x（C） （D）R0（2）在复平 面内，若复数 对应的点在第 二象限，则 可以为(2)izz（A） （B） 1（C） （D）i 2+i（3）在平面直角坐标系 XOY
2、 中，角 以 OX 为始边，终边经过点 ，则下(,)0Pm列各式的值一定为负的是(A) (B) sincosinco(C) (D) ta（4）正方体被一个平面截去 一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A）等腰三角形 （B）直角三角形（C）平行四边形 （D）梯形（5）若 满足 ，则 的最大值为,xy0126xy（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知直线 过抛物线 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于点 C.若l28y- 2 -点 F 是 的 AC 中点，则线段 BC 的长为(A) (B)3 (C) (D)683163（7）南北朝时代的伟大数学家祖
3、暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 ，被平行于这两个12,V平 面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 ，则“ 相等”是“ 总相等”12,S12,S的(A) 充分 而不必要条件(B) 必要 而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（8）已知数列 满足： ， ，则下列关于 的判 断正确na1a+1=(*)2nNana的是（A） 使得0,2,n
4、（B） 使得an1a（C） 总有,*,mNmn（D） 总有0第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9）在 的展开式中， 的系数是 .（用数字作答）6(2)x2x（ 10 ）在 中，若 ，则 .ABCcosin0bB=C（ 11）若曲线 （ 为参数）关于直线 ( 为参数)对称，则:iay 1:2xtly； 此时原点 O 到曲线 C 上点的距离的最大值为 .a（ 12）已知向量 a= ，向量 b 为单位向量，且 ab=1，则 2 b- a 与 2 b 夹角为 .(1,3)（13）已知函数 ，若 都有4fx121,xabx- 3 -成立，则 满
5、足条件的一个区间是 .1212()()()fxfxf（14）设 A,B 是 R 中两个子集，对于 ，定义：xR0,1xAm， 0,1xBn若 .则对任意 ， ；ABx(1)mn若对任意 ， ，则 A,B 的关系为 .三、解 答题共 6 小题，共 80 分。解答应 写出 文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知函数 ，且 .()4cosin()6fxax()13f( ) 求 的值及 的最小正周期；)f( ) 若 在区间 上单调递增，求 的最大值.()fx0,m()fx（16） （本小题 13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国
6、 2006 年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元） ，折线图为体育产业年增长率（） （ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿 元以上的概率；（ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设 X 是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的年数，求 X 的分布列与数学期望；（ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不要求证明）- 4 -（17） （本小题 14 分）如图，在棱长均为 2 的三棱柱
7、 中，点 C 在平面 内的射影 O 为 与1ABC1AB1AB的 交点， E,F 分别为 的中点1AB,（ ）求证：四边形 为正方形；1AB（ ）求直线 EF 与平面 所成角的正弦值；1C（ ）在线段 上存在一点 D，使得直线 EF 与平面 没有 公共点，求 的值.1 1ACD1ADB（18） （本小题 13 分）设函数 的极小值点为 .2()()lnfxax0x（I）若 ，求 的值 的单调区间；01(f（II）若 ，在曲线 上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存在，x)yx求出一个 点 P 坐标，若不存在，说明理由.（19） （本小题 13 分）已知椭圆 与 x 轴交于两点
8、，与 y 轴的一个交点为 B，2:1(0)4xyCm12,A12A的面积 为 2.（ ）求椭圆 的方程及离心率；（ ）在 y 轴右侧且平行于 y 轴的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 与直线 l 12,P1- 5 -交于点 P.以原点 O 为圆心，以 为半径的圆与 x 轴交于 两点 M,N（点 M 在点 N 的2AP1AB左侧） ，求 的值.MN（20） （本小题 14 分）已知 LN，数列 12:nAaL， ， ， 中的项均为不大于 L的正整数. kc表示 12,naL中k的个数 (1)， 2， ， . 定义变换 T， 将数列 A变成数列 ()T1:,()tt 其中 )kcctLn.（）
9、若 4，对数列 A： 1， ， 2， 3， ， 4，写出 ic4)(1的值；（）已知对任意的 (,)kn ，存在 A中的项 ma，使得 mk. 求证： iita（ ） (1,2)L的充分必要条件为 (12)ijcL， ， ， ， ；（）若 ln，对于数列 12:,nAa，令 12():,nTAbL， 求证： ()iibta(1,2).i- 6 -北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）B （3）D （4）A（5）D （6）C （7）B （8）D 二、填
10、空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）034（11） （12） 31+60（13） (答案不唯一) （14） , ABR三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）由已知 ，得 ，解得 .()13f142a1a)4cosin6x2(sincos)23i1xsn()6x所以 的最小正周期为 . 2if7 分（）由（）知()sin()1.6fx当 时，0,m2,m若 在区间 上单调递增，()f,则有 ，即 .63所以 的最大值为 . - 7 -FEC1 OBB1A1 AC13 分（16） （共 13 分）解:（）设 表示事件“从 2007
11、年至 2016 年随机选出 1 年，该年体育产业年增加值比A前一年的体育产业年增加值多 亿元以上” 50由题意可知，2009 年，2011 年，2015 年，2016 年满足要求，故 42()1PA4 分（）由题意可知， 的所有可能取值为 , , ，3，且X012； ；3610C()=P46310C()=P； . 243X4X所以 的分布列为：0 1 2 3P16231010故 的期望 X36()005E10 分（）从 年或 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大2089从 年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大 1413 分（17） （共 14 分）解：（）连结 CO因为 在平面 内的射
12、影 为 与 的交1ABO1AB点，- 8 -F EC1 OBB1A1 Ax yzC所以 平面 CO1AB由已知三棱柱 各棱长均相等，1C所以 ，且 为菱形.由勾股定理得 ，即 . 1所以四边形 为正方形. .5 分1AB（）由（）知 平面CO1,1,.COA在正方形 中， 1如图建立空间直角坐标系 xyz由题意得，1 1(0,)(2,0)(,20),(,)(0,2),(,2)OABCEF所以 1(,),(,).A设平面 的法向量为Cxyzm则 即 10,.Am20,.令 则,x,yz于是 ()又因为 ，32,0)EF设直线 与平面 所成角为 ，则1AC 3sin|co|15EF,m 所以直线
13、与平面 所成角的正弦值为 . EF1010 分（）直线 与平面 没有公共点，即 平面 1ACDEF1ACD设 点坐标为 ， 与 重合时不合题意，所以 0(,)yO0y因为 ， 121(2,0)- 9 -设 为平面1(,)xyzn的法向量，1ACD则 即 10,.ACn102,.xyz令 ，则 ， .1x10y1于是 . 02(,)n若 平面 ， .EF1ACD0EFn又 ，32(,)所以 ，解得 0y023y此时 平面 ，EF1ACD所以 ， .234B所以 114 分（18） （共 13 分）解：（） 定义域为 .()fx(0,).21()1(2)12axxafa- 10 -由已知，得 ，解
14、得 .(1)0f1a=当 时，a=2)( ,x当 时， ；当 时， .0x(f()0fx所以 的递减区间为 ，单调递增区间为()f0,1)(1,).+所以 时函数 在 处取得极小值.1a(fx即 的极小值点为 时 的值为 . ()fxa6 分（II） 当 时，曲线 上不存在点 位于 轴的下方，理由如下：0()yfxPx由（I）知21(),afx当 时， ，所以 在 单调递减， 不存在极小值点；a ()fx0)()fx当 时，令 ，得 .0(21)xfa=当 时， 在区间 上单调递减；(,xa()0f， f1(0,)当 时， ， 在区间 上单调递增.x,a所以 是 在 上的最小值.11()lnf
15、aa=+-()f0,由已知，若 ，则有 ，即 .0x1当 时 ， ，且 ， .1ln所以 ().fa当 时，曲线 上所有的点均位于 轴的上方.0x()yfxx故当 时，曲线 上不存在点 位于 轴的下方. 1P. .13 分（19） （共 13 分）解：（）因为 由椭圆方程知： ，0,m224,ambabm，所以12BASab 1.- 11 -所以椭圆 的方程为 . C214xy由 ， ，得 ，2,1ab22c3所以椭圆 的离心率为 . 5 分（）设点 , 不妨设()Pxy10200(),(),Pxy12(,0)(,A设 ， ，01:A02:Ax由 得002yx， 04,2.Pxy即004,2=
16、.PPpxyyx又 ，得 ， 2014xy24()1Pyx化简得 2(0).PP因为 ，所以 ，即1(,),AB15A(,0)(5,).MN所以点 的轨迹为双曲线 的右支， 两点恰为其焦点， 为双曲P24xy, 12,A线的顶点，且 ，所以 . 124P13 分- 12 -（20） （共 14 分）解：（） 1=2c2=1c3=2c4=1.c3 分（）由于对任意的正整数 ，存在 中的项 ，使得 . 所以(1)kLAmak均不为零.12Lc， ， ，必要性：若 ，由于 ，()iita1)n12()kcctkLn所以有 ； ； ； ；cL12(ct 123(3)tL.12()ctLn通过解此方程组
17、，可得 成立.(12)ijcL， ， ， ，充分性：若 成立，不妨设 ，可以得到()ijcL， ， ， ， (12)ijhcL， ， ， ，. hLn所以有： ； ； ； ； .(1)htn2()htn3()tL()htLn所以 成立. iia9 分（）设 的所有不同取值为 ，且满足： . 12:nAaL， ， ， 12muL， ， ， 12muuL不妨设 ，1 2212:, mr r ruu， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中 ； ； ； . 112rL=22rL12mruuL=又因为 ，根据变换 有： ；nT11112()()rctutttn；122212 12()()urctuttutLnL ;L；1212 12)()mmuumr mctttt rrL 所以 1 212(:,(,(),(),().mr r rTAttttu 55555个 个 个， ，- 13 -即 12112():,.mrrrTAL 555个个 个 ， ， ，所以 1 21112():,(),(),()(,),(.mrr rtttttLt 55个个 个 ， ，因为 122,mrr 所以 有 .12(),mtL 因此， 11212, ,rrrbbb 1211211mmrrnmL 即 ():TA122,.rrr 555个个 个 ， ， ，从而 .(,)iibta因此结论成立. . .14 分
