1、- 1 -四川省宜宾市叙州区第一中学 2019 届高三数学 4 月月考试题 理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 ， ，则 （ ）2|560Ax|210BxABA B C D,3,3,31,23,2.已知复数 满足： 则复数 的虚部为（ ）z312iizA B C Dii13.已知实数 满足： ，则（ ）,ab1abA. B. C. D.122logl abcosab4.在区域 内任意取一点 ，则 的概率是（ ）10yx),(yxP12yA. B. C. D. 244445.将函数
2、的图像上所有的点向右平移 个单位长度 ,再把图像上各点的横坐sin()6x标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（ ）A. B. C. D. 5si1ysin()21xy5sin()21xyn()24x6.已知 ，点 为斜边 的中点， , , ,则RtABCDBC6AB6CAED等于 EA. B. C. D.1499147. 已知 ，则 展开式中 的系数为 2eadx4yxa3xA.24 B.32 C.44 D.568.中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步- 2 -健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走 3
3、78 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A.24 里 B.18 里 C.12 里 D.6 里9.正方体 中，若 外接圆半径为 ，则该正方体外接球的表面积为1ABCD1DAC 263( )A. B. C. D.2821610.已知函数 的图象的一个对称中心为 ，且 ，sin(0)fx,02142f则 的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 2234311.已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线C2xyab0,ab1F2P上一点， 为双曲线 C 渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且 ， QP
4、Q23Q，则双曲线 的离心率为（ ）120FA. B. C. D. 82132112.已知函数 满足 ，若对任意正数 都有fx,xeffxfe,ab，则 的取值范围是 （ ）22113648x abfaA B C. D,00,11,第卷 非选择题（90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 ，且 ，则 2,16,abx/ab14执行如图所示的程序，若输入的 ，则输出的所有 的值之和为 1x15若 是双曲线 同一支上的任意两点， 为坐标原点，AB、 2:CyO则 的最小值为 O16.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， , , ,abc20a14第
5、题 图- 3 -,则 tan3CB三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本大题满分 12 分)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .ABCCabc(2sinco)A（I）求 ；sin（II）若 ， ，求 的面积.2a34AB18.（本小题满分 12 分）由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观
6、众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了两个地区的 名观众，得到如下的 列联表：AB、 102已知在被调查的 名观众中随机抽取 名，该观众是 地区当中“非常满意”的观众1B的概率为 ，且 354yz(I)现从 名观众中用分层抽样的方法抽取 名进行问卷调查，则应抽取“满意”的1020地区的人数各是多少.AB、(II)完成上述表格，并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关9%系.(III)若以抽样调查的频率为概率，从 地区随机抽取 人，设抽到的观众“非常满意”的A3人数为 ，求 的分布列和期望.X附：参考公式：非常满意 满意 合计合计- 4 -19.（本小题满分 12 分）如图，在
7、四棱柱 中，底面 是等腰梯形，1ABCDABCD2,AB，1,BC/顶点 在底面 上的射影恰为点 (I)求证：平面 平面 ；11(II)若直线 与底面 成 角，求二面角 的余弦值ABC301CA20. （本大题满分 12 分）已知椭圆 ，动圆 ： （圆心 为椭26:1(2)3xyCbb P2200()()3xy P圆上异于左右顶点的任意一点） ，过原点 作两条射线与圆 相切，分别交椭圆于 ， 两OMN点，且切线长最小值时, .tan2MP（）求椭圆 的方程；C（）判断 的面积是否为定值，若是，则求出该值；不是，请说明理由。ONA1DA BCB1C1D1- 5 -21. （本大题满分 12 分）
8、已知函数 （ 为自然对数的底数）.21xfxabe（）若 ，求函数 的单调区间；1f（）若 ，且方程 在 内有解，求实数 的取值范围.fx0,a选考部分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（本大题满分 10 分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 处，极轴与 轴的非负半轴重合，且长度单Ox位相同，直线 的极坐标方程为 ，曲线 ( 为参数).其中lsin562cos:inCy.0,2a（）试写出直线 的直角坐标方程及曲线 的普通方程；l（）若点 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最大值.PCPl23.选修 4-5
9、：不等式选讲已知函数 22fxax（）当 时，解不等式 ；1f（）若对于任意非零实数 以及任意实数 ，不等式 恒成立，求实数ax2fxba的取值范围b- 6 -四川省叙州区第一中学高 2019 届四月月考数学（理工）试题答案一、选择题1-5:DCBBC 6-10 CBBCA 11-12 BD二、填空题(共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13. 14127 151 16. 52 4三、解答题17解：（）由 得，(2sinco)bA，sin2issi(2sinsicoBCCACA所以 ； 15icointan,iA（） ，设 ，2si5nbBcC,2bkc，310os()cossinA
10、CB由余弦定理得： ，2 2552kkk所以 ，10,bc所以 的面积 ABC12sin12SacB18. 解：(1)由题意，得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以0.35x35x25yz43yz， ，15y0zA 地抽取 ，B 地抽取 ，2=2=410非常满意 满意 合计- 7 -合计(2) 所以没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系(3) 从 地区随机抽取 人，抽到的观众“非常满意”的概率为A1 23P随机抽取 人， 的可能取值为3X0,23，(0)(27P126()()79PC,314)9C38XX2P1279487E19解：（1）由已知可得 ，又 ACB1DABC底 面 CD1且
11、1ACDB平 面11平 面平 面（2） ， 303AC1D如图所示建立空间直角坐标系则 ， ， 3,0A1,D,02取平面 的法向量 设平面 的法向量 1C10,n1AD21,nyz则由 得 2ADn3yz123cos7n二面角 的余弦值为 1C73,1OT 20.解 ： （ ） 如 图 ， 由 题 可 得 切 线 长 最 小 时 ， 分min=12 此 时 OP分 A1DA BC B1C1D1 z yx- 8 -,又 在椭圆上， 得220OPxyP201xyb， 2200xb22201b1椭圆 C 的方程为：2yx（）解：（1）当切线 OM 或 ON 斜率不存在即圆 P 与 y 轴相切时，易
12、得 ，代06,3xr入椭圆方程得： ，说明圆 P 同时也与 x 轴相切（图 2） ，此时 M、N 分别为长、短06,3y轴一个端点，则 的面积为 MON2（2）当切线 OM、ON 斜率都存在时，设切线方程为： ,ykx由 得：dr02631kxy整理得： 22000(3)ky12012*k由 知 ： 方 程 （ ） 必 有 两 个 非 零 根 ，则 分 别 对 应 直 线 O记 、 （ ） ,、 M,N的 斜 率 ，由韦达定理得 ： 001223146yxyA设 ，由于点 P 不与点 A、B 重合时，直线 的斜率存在，12(,)(,)MxyN不妨设直线 的方程为： ,ykxm将 与椭圆方程联立
13、可得： 22140,kx22 2216(8)()68,1,kmk km A A由 得1224xkA- 9 -1212121222112 ()()()()0OMN iykxyxkxmxkm代入有： 整理得： 2821k又2 2221168841kmkMNkx而原点 O 到直线 的距离为 2211dkk2212MNsAAA所以 O的面积为定值 . 221. 解: （I）当错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。 ，得错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引
14、用源。时，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的单调递减区间为错误！未找到引用源。；错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的单调递增区间为错误！未找到引用源。，递减区间为错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ；错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的单调递增区间为错误！未找到引用源。，递减区间为错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源
15、。（II）由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ，由 错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。 ，设错误！未找到引用源。 ，1)(xf则错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内有零点.设错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内的一个零点，则由错误！未找到引用源。知错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。和错误！- 10 -未找到引用源。上不可能单调.设错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。上均存在零点，即错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上至少有两个零点错误！未
16、找到引用源。 ，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上递增，错误！未找到引用源。不可能有两个及以上零点；当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上递减，错误！未找到引用源。不可能有两个及以上零点；当错误！未找到引用源。时，令错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。 ，所以错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上递减，在错误！未找到引用源。上递增，错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上存在最小值错误！未找到引用源。.若错误！未找到引用源。有
17、两个零点，则有：错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. )41()4ln(6)4ln()4(ln eaabaah 设错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。 ，令错误！未找到引用源。 ，得错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。递增，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。递减，错误！未找到引用源。 ，所以错误！未找到引用源。恒成立.由错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ，得错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。的两个零点为错误！未找到
18、引用源。，则错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。递增，在错误！未找到引用源。 递减，在错误！未找到引用源。递增，所以错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内有零点. 综上，实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。.22、解析：（1） ，即 ，又5)6sin(10cossin3.i,cosyx- 11 -直线 的直角坐标方程为 .l 013yx曲线 （ 为参数） ，消去参数 可得曲线 的普通方程为sin2,coyxC： C.)(2（2）由（1）可知，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.C)2,0(圆心 到直线 的距离 ，),0(l 35)1(302d点 到直线 距离的最大值为 .Pl523.（1）当 时， 所以 的解集为a1,3,21)( xxxf 2)(xf.5 分（2）由 ，知 ，即),35(2)(abf 222 aba，)1(22ax而 ， 4)1()( 222 a所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 . 4bbb)2,(- 12 -
