1、12019 年安徽省合肥市十校联考中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1 a， b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把 a， a， b， b 按照从小到大的顺序排列（ ）A b a a b B a b a b C b a a b D b b a a22018 年 10 月 24 日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度 55000 米，则数据 55000 用科学记数法表示为（ ）A551
2、0 5 B5.510 4 C0.5510 5 D5.510 53下列运算正确的是（ ）A6 x35 x2 x B（2 a） 22 a2C（ a b） 2 a2 b2 D2（ a1）2 a+24如图，直线 l m n，等边 ABC 的顶点 B、 C 分别在直线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n 所夹的角为25，则 的度数为（ ）A25 B45 C35 D305如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）A B C D6在一次中学生田径运动会上，参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 2成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80人数
3、2 3 2 3 4 1则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.707如图是二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象，根据图象信息，下列结论错误的是（ ）A abc0 B2 a+b0 C4 a2 b+c0 D9 a+3b+c08如图，边长为 1 的小正方形网格中， O 的圆心在格点上，则 sin EDB 的值是（ ）A B C D9如图，直线 l1 x 轴于点（1，0），直线 l2 x 轴于点（2，0），直线 l3 x 轴于点（3，0），直线 ln x 轴于点（ n，0）函数 y x 的图象与直线 l1、
4、l2、 l3、 ln分别交于点A1、 A2、 A3、 An；函数 y2 x 的图象与直线 l1、 l2、 l3、 ln分别交于点B1、 B2、 B3、 Bn如果 OA1B1的面积记作 S1，四边形 A1A2B2B1的面积记作 S2，四边形A2A3B3B2的面积记作 S3，四边形 An1 AnBnBn1 的面积记作 Sn，那么 S2018（ ）A2017.5 B2018 C2018.5 D2019310如图， AD 为等边 ABC 的高， E、 F 分别为线段 AD、 AC 上的动点，且 AE CF，当 BF+CE 取得最小值时， AFB（ ）A112.5 B105 C90 D82.5二填空题（
5、共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11把多项式 3mx6 my 分解因式的结果是 12不等式组 的所有整数解的积为 13如图，一次函数 y k1x+b 的图象过点 A（0，3），且与反比例函数 y 的图象相交于 B、 C 两点若 AB BC，则 k1k2的值为 14如图，在 ABC 中， DE BC， ，则 三解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分）15用适当的方法解方程：（1）（ x+1）（ x2） x+1；4（2）（2 x5） 2（ x2） 2016某一天，水果经营户老张用 1600 元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共 50 千克，后再到水果市场去卖，已知猕猴桃和
6、芒果当天的批发价和零售价如表所示：品名 猕猴桃 芒果批发价（元/千克） 20 40零售价（元/千克） 26 50（1）他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？（2）如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？四解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分）17有这样一个题目：按照给定的计算程序，确定使代数式 n（ n+2）大于 2000 的 n 的最小正整数值想一想，怎样迅速找到这个 n 值，请与同学们交流你的体会小亮尝试计算了几组 n 和 n（ n+2）的对应值如下表：n 50 40n（ n+2） 2600 1680（1）请你继续小亮的尝试，再算几组填在上表中（几组随意，自己画格），并写出满足题
7、目要求的 n 的值；（2）结合上述过程，对于“怎样迅速找到 n 值”这个问题，说说你的想法18如图，已知 O 是坐标原点， B、 C 两点的坐标分别为（3，1）、（2，1）（1）以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将 OBC 放大到两倍（即新图与原图的相似比为 2），画出图形；5（2）分别写出 B、 C 两点的对应点 B、 C的坐标；（3）如果 OBC 内部一点 M 的坐标为（ x， y），写出 M 的对应点 M的坐标五解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分）19如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F求证：
8、四边形 AEDF 是菱形20如图，大海中有 A 和 B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线 PQ 上点 E 处测得 AEP60， BEQ45；在点 F 处测得 AFP45， BFQ90， EF2 km（1）判断 AB、 AE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿 A 和 B 之间的距离（结果保留根号）六解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分）21抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为 A， B， C， D 四个等级请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为 C
9、等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有 700 名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为 D 等级的6学生有多少名？（4）若从体能为 A 等级的 2 名男生 2 名女生中随机的抽取 2 名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率七解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分）22如图，已知抛物线 y x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0）、 C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N，其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 APC 的
10、面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点 M，使 ANM 的周长最小若存在，请求出 M 点的坐标和 ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由八解答题（共 1 小题，满分 14 分，每小题 14 分）23如图 1，在 Rt ABC 中， ACB90， AC2 BC，点 D 在边 AC 上，连接 BD，过 A 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E（1）若 M， N 分别为线段 AB， EC 的中点，如图 1，求证： MN EC；（2）如图 2，过点 C 作 CF EC 交 BD 于点 F，求证： AE2 BF；（3）如图 3，以 AE 为一边作一个角等于 BAC，这个
11、角的另一边与 BE 的延长线交于 P 点， O 为7BP 的中点，连接 OC，求证： OC （ BE PE）82019 年安徽省合肥市十校联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】利用有理数大小的比较方法可得 a b， b a， b0 a 进而求解【解答】解：观察数轴可知： b0 a，且 b 的绝对值大于 a 的绝对值在 b 和 a 两个正数中， a b；在 a 和 b 两个负数中，绝对值大的反而小，则 b a因此， b a a b故选： C【点评】有理数大小的比较方法：正数大于 0；负数小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对
12、值大的反而小2【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：将数据 55000 用科学记数法表示为 5.5104故选： B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】 A、原式不能合并，错误；B、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式
13、利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；D、原式去括号得到结果，即可做出判断【解答】解： A、原式不能合并，错误；B、原式4 a2，错误；C、原式 a2+b22 ab，错误；D、原式2 a+2，正确，故选： D【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键4【分析】根据两直线平行，内错角相等求出1，再根据等边三角形的性质求出2，然后根据9两直线平行，同位角相等可得2【解答】解：如图， m n，125， ABC 是等边三角形， ACB60，2602535， l m，235故选： C【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质
14、，熟记性质是解题的关键，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观5【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形故选： B【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图6【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是 4.70，4.75故选： C【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题7【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：（ A）由图象可知： a0， c0，对称轴 x 0，1
15、0 b0， abc0，故 A 正确；（ B）由对称轴可知： 1，2 a+b0，故正确；（ C）当 x2 时， y0，4 a2 b+c0，故 C 错误；（ D）（1，0）与（3，0）关于直线 x1 对称，9 a+3b+c0，故 D 正确；故选： C【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型8【分析】由于所求的 EDB 是圆周角，因此可将其转化到另外一个圆周角来求解，设圆 O 与小正方形网格的另外一个切点为 F，连接 EF、 BF、 BE，因此 EDB EFB45，所以sin EDB 【解答】解：设圆 O 与小正方形网格的另一个切点为 F，连接 BF、 BE
16、， ， EDB EFB，由题意知： EB BF， EFB45，sin EDBsin EFB ，故选： B【点评】本题考查圆周角定理的应用，如若条件出现的角是圆周角，可考虑圆周角定理将其转移到适合的位置进行求解9【分析】根据直线解析式求出 An1 Bn1 ， AnBn的值，再根据直线 ln1 与直线 ln互相平行并判断11出四边形 An1 AnBnBn1 是梯形，然后根据梯形的面积公式求出 Sn的表达式，然后把 n2013 代入表达式进行计算即可得解【解答】解：根据题意， An1 Bn1 2（ n1）（ n1）2 n2 n+1 n1，AnBn2 n n n，直线 ln1 x 轴于点（ n1，0）
17、，直线 ln x 轴于点（ n，0）， An1 Bn1 AnBn，且 ln1 与 ln间的距离为 1，四边形 An1 AnBnBn1 是梯形，Sn （ n1+ n）1 （2 n1），当 n2018 时， S2018 （220181）2017.5故选： A【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，读懂题意，根据直线解析式求出An1 Bn1 ， AnBn的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方10【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明 AEC CFH，得 CE FH，将 CE 转化为FH，与 BF 在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点 F 的位置，即
18、 F 为 AC 与 BH 的交点时， BF+CE 的值最小，求出此时 AFB105【解答】解：如图，作 CH BC，且 CH BC，连接 BH 交 AD 于 M，连接 FH， ABC 是等边三角形， AD BC， AC BC， DAC30， AC CH， BCH90， ACB60， ACH906030， DAC ACH30， AE CF， AEC CFH， CE FH， BF+CE BF+FH，当 F 为 AC 与 BH 的交点时，如图 2， BF+CE 的值最小，此时 FBC45， FCB60， AFB105，故选： B12【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问
19、题，关键是作出辅助线，当 BF+CE 取得最小值时确定点 F 的位置，有难度二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11【分析】直接提取公因式 3m，进而分解因式即可【解答】解：3 mx6 my3 m（ x2 y）故答案为：3 m（ x2 y）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键12【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的 x的所有整数解相乘即可求解【解答】解： ，解不等式得： x ，解不等式得： x50，不等式组的解集为 x50，不等式组的整数解为1，0，150，所以所有整数解的积为 0，故答案为：013
20、【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了13【分析】设一次函数的解析式为 y k1x+3，反比例函数解析式 y ，都经过 B 点，得等式k1x+3x k20，得到再由 AB BC，点 C 的横坐标是点 B 横坐标的 2 倍，不防设 x22 x1，列出x1， x2关系等式，据此可以求出 k1k2的值【解答】解： k1k22，是定值理由如下：一次函数 y k1x+b 的图象过点 A（0，3），设一次函数的解析式为 y k1x+3，反比例函数解析式 y ， k1x+3 ，整理得 k1x
21、2+3x k20， x1+x2 ， x1x2 ， AB BC，点 C 的横坐标是点 B 横坐标的 2 倍，不防设 x22 x1， x1+x23 x1 ， x1x22 x12 ， （ ） 2，整理得， k1k22，是定值故答案为2【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是运用好 AB BC 这一条件，此题有一定的难度，需要同学们细心领会14【分析】由 DE BC 可得出 ADE B， AED C，进而可得出 ADE ABC，利用相似三角形的性质可得出 ，进而可得出 ，此题得解【解答】解： DE BC， ADE B， AED C，14 ADE ABC， （ ） 2（ ） ，
22、故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键三解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分）15【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得【解答】解：（1）（ x+1）（ x2）（ x+1）0，则（ x+1）（ x3）0， x+10 或 x30，解得： x11， x23；（2）（2 x5）+（ x2）（2 x5）（ x2）0，（3 x7）（ x3）0，则 3x70 或 x30，解得： x1 ， x23【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法
23、、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键16【分析】（1）设购进猕猴桃 x 千克，购进芒果 y 千克，由总价单价数量结合老张用 1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共 50 千克，即可得出关于 x， y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据利润销售收入成本，即可求出结论【解答】解：（1）设购进猕猴桃 x 千克，购进芒果 y 千克，15根据题意得： ，解得： 答：购进猕猴桃 20 千克，购进芒果 30 千克（2）2620+50301600420（元）答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚 420 元钱【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）
24、找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算四解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分）17【分析】（1）取 n44 与 n43，分别计算 n（ n+2），即可完成表格，从而确定满足题目要求的 n 的值；（2）根据表格中给出的 n50 与 n40 时 n（ n+2）的对应值，将它们与 2000 比较，得出n45，取 n44 计算，根据此时 n（ n+2）2000，再取 n43 计算，根据434519352000，即可求出 n 的值【解答】解：（1）填表如下：n 50 40 44 43n（ n+2） 2600 1680 2024 1935由上表可得，满足条件的
25、n 值为 44；（2）由于 n 与（ n+2）是连续的两个偶数，确定使代数式 n（ n+2）大于 2000 的 n 的最小正整数值，因为 50522600，40421680，2600200060020001680320，所以 n45，取 n44 计算，发现 444620242000，再取 n43 计算，由于 434519352000，从而确定满足条件的 n 值为 44【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，理解题意，根据表格得出 n45 是解题的关键18【分析】（1）延长 BO， CO 到 B C，使 OB， OC的长度是 OB， OC 的 2 倍顺次连接三点即可；（2）从直角坐标系中，读出
26、B、 C的坐标；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以2 的坐标，所以 M 的坐标为（ x， y），写出 M 的对应点 M的坐标为（2 x，2 y）16【解答】解：（1）（2） B（6，2）， C（4，2）；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以2 的坐标，所以 M 的坐标为（ x， y），写出 M 的对应点 M的坐标为（2 x，2 y）【点评】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键很多信息是需要从图上看出来的五解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分）19【分析】由
27、 BAD CAD， AO AO， AOE AOF90证 AEO AFO，推出 EO FO，得出平行四边形 AEDF，根据 EF AD 得出菱形 AEDF【解答】证明： AD 平分 BAC BAD CAD又 EF AD， AOE AOF90在 AEO 和 AFO 中， AEO AFO（ ASA）， EO FO， EF 垂直平分 AD， EF、 AD 相互平分，四边形 AEDF 是平行四边形又 EF AD，平行四边形 AEDF 为菱形17【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边
28、形是菱形20【分析】（1）根据 SAS 即可证明 AEF ABF，得到 AB AE；（2）作 AH PQ，垂足为 H设 AE x，在直角 AHF，直角 AEP 中，利用三角函数表示出 HE与 HF，从而可得到关于 x 的方程，解方程即可得解【解答】解：（1）相等 BEQ45， BFQ90， EBF BEQ45， EF BF，又 AFP45， BFA45在 AEF 与 ABF 中， AEF ABF（ SAS）， AB AE；（2）过点 A 作 AH PQ，垂足为 H设 AE xkm，则 AH xsin60km， HE xcos60km， HF HE+EF xcos60+2，Rt AHF 中， A
29、H HFtan60， xsin60（ xcos60+2）tan60，解得： x12 km即 AB AE12 km答：两个岛屿 A 与 B 之间的距离约为 12 km18【点评】此题考查了方向角问题注意能运用了三角函数，把求线段的问题转化为方程求解的问题是解此题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用六解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分）21【分析】（1）用 A 等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）用总人数分别减去 A、 B、 D 等级的人数得到 C 等级的人数，然后补全条形图；（3）用 700 乘以 D 等级的百分比可估计该中学八年
30、级学生中体能测试结果为 D 等级的学生数；（4）画树状图展示 12 种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）1020%50，所以本次抽样调查共抽取了 50 名学生；（2）测试结果为 C 等级的学生数为 501020416（人）；补全条形图如图所示：（3）700 56，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为 D 等级的学生有 56 名；（4）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为 2，19所以抽取的两人恰好都是男生的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n
31、，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图七解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分）22【分析】（1）根据点 A， C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）过点 P 作 PE y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ y 轴交 x 轴于点 Q，设点 P 的坐标为（ x， x22 x+3）（2 x1），则点 E 的坐标为（ x，0），点 F 的坐标为（ x， x+1），进而可得出 PF 的值，由点 C 的坐标可得出点 Q 的坐标，进而可得出 AQ 的
32、值，利用三角形的面积公式可得出 S APC x2 x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点 C， N 的坐标可得出点 C， N 关于抛物线的对称轴对称，令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，则此时 ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点 M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出 ANM 周长的最小值即可得出结论【解答】解：（1）将 A（1，0）， C（2，3）代入 y x2+bx+c，得：，解得： ，抛物线的函数关系式为 y x22 x+3；设
33、直线 AC 的函数关系式为 y mx+n（ m0），将 A（1，0）， C（2，3）代入 y mx+n，得：，解得： ，直线 AC 的函数关系式为 y x+1（2）过点 P 作 PE y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ y 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所示设点 P 的坐标为（ x， x22 x+3）（2 x1），则点 E 的坐标为（ x，0），点 F 的坐标为（ x， x+1）， PE x22 x+3， EF x+1，20EF PE EF x22 x+3（ x+1） x2 x+2点 C 的坐标为（2，3），点 Q 的坐标为（2，0）， AQ1（2）3， S
34、 APC AQPF x2 x+3 （ x+ ） 2+ 0，当 x 时， APC 的面积取最大值，最大值为 ，此时点 P 的坐标为（ ， ）（3）当 x0 时， y x22 x+33，点 N 的坐标为（0，3） y x22 x+3（ x+1） 2+4，抛物线的对称轴为直线 x1点 C 的坐标为（2，3），点 C， N 关于抛物线的对称轴对称令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示点 C， N 关于抛物线的对称轴对称， MN CM， AM+MN AM+MC AC，此时 ANM 周长取最小值当 x1 时， y x+12，此时点 M 的坐标为（1，2）点 A 的坐标为（1，0），点
35、 C 的坐标为（2，3），点 N 的坐标为（0，3）， AC 3 ， AN ， C ANM AM+MN+AN AC+AN3 + 在对称轴上存在一点 M（1，2），使 ANM 的周长最小， ANM 周长的最小值为3 + 21【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出 S APC x2 x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点 M 的位
36、置八解答题（共 1 小题，满分 14 分，每小题 14 分）23【分析】（1）连接 EM、 CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 EM CM；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）证明 AEC BFC，得 ，由 AC2 BC 得 AE2 BF；（3）证明 ACB AEP，得 ，从而知道 AE2 PE，由 AE2 BF 得 PE BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得 OC EF，代入得结论【解答】证明：（1）如图 1，连接 EM、 CM， AE BE， M 是 AB 的中点， EM AB， CM AB， EM CM，22 N 是 EC 的中点， MN EC；（2）如图 2，
37、ECF90， ACB90， ECA+ ACF90， ACF+ FCB90， ECA FCB， CFB ECF+ CEF90+ CEF， AEC AEB+ CEF90+ CEF， CFB AEC， AEC BFC， ， AC2 BC， AE2 BF；（3）如图 3，过点 C 作 CF EC 交 BD 于点 F， AEP ACB90， BAC PAE， ACB AEP， ， AC2 BC， AE2 PE， AE2 BF， PE BF， O 为 BP 的中点， PO BO， EO FO， CO EF （ BE BF） （ BE PE）23【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系；同时，在直角三角形中，如果有斜边上的中线，可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系；对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外，也可以利用等腰三角形的三线合一来证明
