1、12018-2019 学年浙江省台州市联谊五校高二上学期期中考试数学试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为 120 A B C D333 33 32过点 且斜率为 的直线方程为(2,3) 2A B C D2+7=0 27=0 2+1=0 21=03设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是,lA若 ，则 B若 ，则 l/,/llC若 ，则 D若 ，则 ,/l 4下列直线中，与直线 垂直的是2+1=0A B
3、C D23=0 2+3=0 2+5=0 +25=05点（0，0）到直线 x+y1=0 的距离是A B C1 D22 32 26在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的1111 =1 1=3 1 1余弦值为A B C D22 55 56 157对任意的实数 ，直线 恒过定点 +3=0A B C D(0,3) (0,3) (3,0) (2,0)8已知直线 过点 且与以 、 为端点的线段相交，则直线 的斜率的取值范 (1,1) (1,0) (3,4) 围为A B C D 或52 12 5212 52 129如图，设梯形 所在平面与矩形 所在平面相交于 ，若 ， ， =1 =3，则下列二面角的平
4、面角大小为定值的是=1A B C D 二、填空题10直线 的倾斜角为 _；在 轴上的截距为_.=1 11已知 ， ，则线段 的中点坐标为_； _.(3,3,3) (1,1,1) |=12某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_；该四面体四个面的面积中最大的是_.13已知直线 与 ，则直线 与 的交点坐标为_；过1:21=0 2:+311=0 1 2直线 与 的交点且与直线 平行的直线方程为 _.1 2 1=014已知直线 在两坐标轴上的截距相等 .则实数 的值为:(+1)+2=0() _.15设 ， 是直角梯形 两腰的中点， 于 ，如图所示，现将 沿 折起， 使二面角 为 ，此时点 在面
5、 内的射影恰为点 ，则 ， 的连线与 所成角的大 45 小为_.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 216如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上=2 =1 一动点，现将 沿 折起，使平面 平面 ，在平面 内过点 作 ， 为垂 足，设 ，则 的取值范围是_= 三、解答题17如图，在三棱锥 中， ， ， ， .=1 =60()求证: ；()求直线 与面 所成角的正弦值. 18如图，四边形 为正方形， 、 分别为 、 的中点，以 为折痕把 折起，使 点 到达点 的位置，且 . ()证明:面 面 ； ()求二面角 的大小.2018-2019 学 年 浙 江
6、 省 台 州 市 联 谊 五 校高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题数 学 答 案参考答案1D【解析】【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为直线 的倾斜角为 ， 120所以 的斜率是 ，故选 D. 120=3【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2B【解析】【分析】直接利用直线的点斜式方程写出所求直线方程，再化为一般式即可.【详解】直线 过点 且斜率为 , (2,3) 2则直线 的方程为 ， +3=2(2)即 ，故选 B.27=0【点睛】本题考查直线的点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基
7、础题.3C【解析】对于 A、B、D 均可能出现 ，而对于 C 是正确的/l4C【解析】【分析】求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线 的斜率之积为是否为 即可得2+1=0 1结果.【详解】直线 的斜率为 ，2+1=012而直线 的斜率为 2 ,23=0的斜率为 ，2+3=012的斜率为 ,2+5=0 2的斜率为 ，+25=012可得直线 的斜率与 的斜率之积为-1，2+1=0 2+5=0与直线 垂直的是 ，故选 C. 2+1=0 2+5=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.5A【解析】【分析】直接利用点到直线的距
8、离公式求解即可.【详解】点 到直线 的距离 ，故选 A .(0,0) +1=0=|01|2 =22【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，意在考查利用所学知识解答问题的能力，属于基础题.6B【解析】【分析】以 为原点， 为 轴、 为 轴、 为 轴，建立空间直角坐标系，求出 与 的方向向 1 1 1量，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线 与 所成角的余弦值.1 1【详解】以 为原点， 为 轴、 为 轴、 为 轴，建立空间直角坐标系， 1 在长方体 中， ， 1111 =1,1=3，(1,0,0),1(0,0,3),(0,0,0),1(1,1,3)，1(1,0,3),1(1,1,3)设异面直线
9、与 所成角的为 ，1 1 则 ，=|11|1|1|=225=55异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 B. 1 155【点睛】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7A【解析】【分析】由 时,总有 即可得结果 .=0 =3【详解】为任意实数时,若 时,总有=0 =3所以直线 恒过定点 ,+3=0 (0,3)即定点 ,故选 A.(0,3)
10、【点睛】判断直线过定点主要方程形式有：（1）斜截式， ，直线过定点 ；（2）点斜=+0 (0,0)式 直线过定点 .0=(0), (0,0)8D【解析】【分析】先由 的坐标求得直线 和 斜率,再根据直线 的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线, 绕 点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线 斜率的范围，从而 可得结果.【详解】点 、 、 (1,1) (1,0) (3,4)直线 的斜率 ， 1=1+110=12可得直线 的斜率 ，2=1+413=52直线 与线段 交于 点， 当直线的倾斜角为锐角时，随着 从 向 移动的过程中， 的倾斜角变大， 的斜率也变大，直到 平行 轴时
11、 的斜率不存在，此时 的斜率 ； 12当直线的倾斜角为钝角时，随着 的倾斜角变大， 的斜率从负无穷增大到直线 的斜率， 此时 的斜率 ，52综上所述，可得直线 的取值范围为 或 ，故选 D.52 12【点睛】本题通过经过定点 的直线 与线段 有公共点，求 的斜率取值范围，着重考查了直线的斜率 与倾斜角及其应用，以及数形结合思想、转化思想的应用，属于中档题.9D【解析】【分析】在等腰梯形 中,过 作 于 ，作 于 ,连接 ,可得 为二面角 ,的平面角， 为二面角 的平面角，由 平面 平面 ，可得 , 二面角 的平面角为 ，进一步求得 得结果. + +=90【详解】如图，在等腰梯形 中,过 作 于
12、 ，作 于 , 连接 ,在梯形 中,由 ，可得 ，=12由三角形 直角三角形，且 ，可得 ， =1,=3 =60则 ，=12+(12)2211212=32，即 ，则 平面 ，=90 为二面角 的平面角， 同理可得 为二面角 的平面角， 平面 平面 ， , 则二面角 的平面角为 ， +与 均为等腰三角形，=1802 ,=1802，/,/,+=180，+=360(+)2 =3601802 =90即二面角 为 ，故选 D. 90【点睛】本题主要考查二面角的求解法，意在考查数形结合思想、转化思想以及空间想象能力，属于难题. 求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路
13、清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，或者利用“互补法”、“分割法”、“公式法”求解.10 45 1【解析】【分析】由斜截式方程可知，直线 的斜率为 1，由 可得 ；令 ，从=1 =1, =45 =0=1而可得结果.【详解】由斜截式方程可知，直线 的斜率为 1，=1设倾斜角为 ，则 ， 0由 可得 ；=1, =45令 ，=0=1所以，直线 在 轴上的截距为 ，=1 1故答案为 ， .45 1【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的截距，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.11 (1,1,1) 43【解析】【分
14、析】直接利用中点坐标公式可得线段 的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得 的值. |【详解】设线段 的中点坐标为 ， (,)由中点坐标公式可得 ，=3+12 =1=3+12 =1=3+12 =1 即线段 的中点坐标为 ， (1,1,1)可得 ，| =16+16+16=43故答案为 ， .(1,1,1) 43【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.12 8 10【解析】【分析】由三视图还原几何体，利用三视图中数据，根据锥体的体积公式可得其体积，根据三视图的图形特征，判断四面体每一个面的形状，分别求出四面体四个面的面积，
15、从而可得结果.【详解】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图 ,该棱锥的底面是直角三角形，面积为 ，高为 4，1234=6可得体积为 ；1364=8四个面都是直角三角形，由三角形面积公式可得，四个面的面积分别为 ，8,6,62,10面积的最大值 10，故答案为 8，10.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.13 (2,3) +1
16、=0【解析】【分析】联立直线 和 的方程组成方程组，直接求解交点坐标；求出与直线 平行的直线的1 2 1=0斜率，利用点斜式方程求出过直线 与 的交点且与直线 平行的直线方程.1 2 1=0【详解】由 ，21=0+311=0 =2=3 解得交点坐标为 ，(2,3)所求直线与直线 平行，则所求直线方程的斜率为 ， 1=0 1由点斜式方程可得 ，整理得 ，3=1(2) +1=0直线方程为 ，故答案为 ， . +1=0 (2,3) +1=0【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平
17、行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （ ）；（2）1|21=2 1|21 211=0（ ），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易1212=1 1212+12=0遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.14 2或 0【解析】【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别利用截距相等求出 的值即可.【详解】当直线过原点时，该直线在 轴和 轴上的截距均为 0 , ； 2=0=2当直线不过原点时,由截距相等且均不为 0，求得直线 轴上的截距为 ，2+1直线 轴上的截距为 ， 2由 可得 ，2+1=2 +1=1,=0故答案为 2 或 0.【点睛】本题考査了直线的截距与直线方程，意在考
18、查分类讨论思想的应用以及对基础知识掌握的熟练程度，是一道基础题.求解有关直线截距的问题时，一定要注意讨论截距是否为零，这是易错点.15 90【解析】【分析】先取 的中点 ,可证明四边形 为平行四边形，则 ，则锐角 就是异面直线 /与 所成的角,可证明三角形 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果. 【详解】如图，取 的中点 ,连接 ， ,，且 ，/,/,/=四边形 为平行四边形，则 ， /就是所求角可得三角形 是等腰直角三角形，,=45, ，所以 ， =90即 的连线与 所成的角大小等于 ，故答案为 ., 90 90【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找
19、到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.16 (12,1)【解析】当 位于 的中点，点 与 中点重合， =1随 点到 点，由 ， ， 得 平面 ，则 又 ， ，则 =2 =1 =3因为 ， ，=1 =2所以 ，故 =12综上， 的取值范围为 (12,1)点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.17（1）将解析；（2） .64【解析】【分析】（1）由 ， 可证明 平面 从而可得结果；（2）设 的中点为 ,由等边 , 三角形的性质可得 ，由（
20、 1）可得 平面 可得 ，由此可得 平面 , ,DE 就是直线 与面 所成角，在 中利用直角三角形的性质可得结果. 【详解】(1)由已知得：因 为 ,且 =所以 平面 ,因 为 平面 ，所以 .（ 2）取 中点 ， 连 接 ， 因 为 =1,且 =60,所以 是等 边 三角形所以 ,由 (1)知， 平面 ，因 为 平面 ,所以 DE，因 为 =，所以 平面 所以 是直 线 与平面 所成的角在 中，易知 =52,DE= 32， BD= 2所以 DBE=64【点睛】求线面角的方法：（1）传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；（2）对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.18（1）见解析；（2） .120【解析】【分析】()翻折后 结合 可得 平面 ，利用面面垂直的判定定理可得, PF 结论； 可得 平面 ，可得平面 平面 ，从而可得 平面 ，, 则 就是二面角 的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.
