1、1问题 32 与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点( x， y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如 u 型的最值问题，可转化为过点y bx a(a， b)和点( x， y)的直线的斜率的最值问题；形如 t a
2、x by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如( x a)2( y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点( a， b)的距离平方的最值问题2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化三、知识拓展1.圆外一点 P到圆 C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于 PCr.2.圆 C上的动点 P到直线 l距离的最大值等于点 C到直线 l距离的最大值加上半径，最小值等于点 C到直线 l距离的最小值减去半径.3.设点 M是圆 C内一点，过点 M作圆 C的弦，则弦长的最大值为直径，
3、最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式 k tan( 90) 将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.2处理方法：直线倾斜角的范围是0,),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分 与 两种情况讨论由正切函数图象可以看出,当 时,斜率0，2) (2， ) 0， 2)k0,)；当 时,斜率不存在；当 时,斜率 k(,0)2 (2， )【例 1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A,
4、4B C D3,4【答案】C【解 析】,且 0ABk.设直线的倾斜角为 ,当 01ABk时,则,所以倾斜角 的范围为04.当时,则,所以倾斜角 的范围为34.【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数 ytan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数 ytan x的单调性求 k的范围 【小试牛刀】若过点的直线与圆24x有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A0 6，B0 3，C. ，D，【答案】B【解析】当过点的直线与圆24xy相切时,设斜率为 k,则此
5、直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得 0k或 3,故直线的倾斜角的取值范围是0,3,所以 B选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.3【例 2】 过点 1,2M的直线 l与圆 C：交于 ,AB两点, C为圆心,当 ACB最小时,直线 l的方程是 答案: 解析：要使 ACB最小,由余弦定理可知,需弦长 AB最短.要使得弦长最短,借助结论可知当 1,2M为弦的中点时最短.因
6、圆心和 1,2M所在直线的 ,则所求的直线斜率为 1,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例 3】若圆 C： 关于直线 对称,则由点 (,)ab向圆 C所作的切线长的最小值是（ ）A 2 B 3 C 4 D 6【答案】C【解析】圆 C： 化为（x+1） 2+（y-2） 2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为 2圆 C： 关于直线 2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即 a=b+3点（a,b）与圆心的距离, ,所以点
7、（a,b）向圆 C所作切线长：当且仅当 b=-1时弦长最小,为 4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形【小试牛刀 】 【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点 到焦点的距离为 ， 分别为抛物线与圆 上的动点，则4的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由抛物线 焦点在 轴上，准线方程 ，则点 到焦点的距离为 ，则 ，所以抛物线方程： ，设 ，圆 ，圆心为 ，半径为 1，则 ，当 时， 取得最小值，最小值为 ，故选 D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题
8、,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例 4】 在平面直角坐标系中, ,AB分别是 x轴和 y轴上的动点,若以 AB为直径的圆 C与直线相切,则圆 C面积的最小值为（ ）A.45B.3C.(625) D. 4【答案】A【解析】设直线 l： .因为 ,所以圆心 C的轨迹为以 O为焦点, l为准线的抛物线.圆 C半径最小值为 ,圆 C面积的最小值为 选 A.【例 5】动圆 C经过点 (1,0)F,并且与直线 1x相切,若动圆 C与直线 总有公共点,则圆C的面积（ ）A有最大值 8
9、B有最小值 2 C有最小值 3 D有最小值 4【答案】D5【解析】设圆心为 (,)ab,半径为 r, ,即 ,即214ab,圆心为21(,)4b,21r,圆心到直线 的距离为 ,或 b,当 2时, , .【小试牛刀】 【山东省恒台第一中学 2019届高三上学期诊断】已知 O为坐标原点，直线若直线 l与圆 C交于 A，B 两点，则OAB 面积的最大值为（ ）A4 B C2 D【答案】C【解析】由圆的方程 可知圆心坐标 ，半径为 2，又由直线 ，可知 ，即点 D为 OC的中点，所以 ,设 ，又由 ，所以 ，又由当 ，此时直线 ，使得 的最小角为 ，即当 时，此时 的最大值为 2，故选 C。(二)
10、与圆相关的最值问题的常用的处理方法2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.6【例 6】已知实数 x,y满足方程 x2 y24 x10,求：(1) 的最大值和最小值；yx(2)y x的最大值和最小值；(3)x2 y2的最大值和最小值【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为( x2) 2 y23,表示以(2,0)为圆心,半径 r 的圆3(1)设 k,即 y kx,由题知,直线 y kx与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 .yx 3 . k23,即 k , 的最大值为 ,
11、最小值为 .|2k 0|k2 1 3 3 3 yx 3 3(2)设 y x b,则当直线 y x b与圆相切时, b取最值,由 ,得 b2 ,|2 0 b|2 3 6 y x的最大值为 2,最小值为2 .6 6(3)令 d 表示原点与点( x,y)的距离,x2 y2原点与圆心(2,0)的距离为 2, dmax2 ,dmin2 .3 3 x2 y2的最大值为(2 )274 ,最小值为(2 )274 .3 3 3 3【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种类型：形如 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；形如 t ax by形式的最值y
12、bx a问题,可转化为动直线截距的 最值问题；形如( x a)2( y b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 【小试牛刀】已知直线 和曲线 ,点 A在直线 l上,若直线AC与曲线 M至少有一个公共点 C,且 ,则点 A的横坐 标的取值范围是（ ）A 0,5 B 15 C 13 D 0,3【答案】B【解析】设 ,依题意有圆心到直线的距离 ,即 ,解得 01,5x.72.2 建立函数关系求最值 根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例 7】设 QP,分别为 和椭圆102yx上的点,则 QP,两点间的最大距离是
13、（ ）A. 25 B. 246 C. 27 D.6【答案】D【解析】依题意 P,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径 2.设(,)Qxy.圆心到椭圆的最大距离 .所以 P两点间的最大距离是 26.故选 D.2.3 利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如 ab或者 的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.【例 8】 设 mR,过定点 A的动直线 0xmy和过定点 B的动直线 交于点 (,)Pxy,则 |PAB的最大值是 .【分析】根据 ,可用均值不等式求最值【解析】
14、易得 .设 ()Pxy,则消去 m得： ,所以点 P在以 AB为直径的圆上, PAB,所以 , .8【小试牛刀】设 ,mnR,若直线 与圆 相切,则 mn的取值范围是（ ）A BC D【答案】D 【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即 ,化简得 ,由基本不等式得 ,令 tmn,则 ,解得.四、迁移运用1 【黑龙江省齐齐 哈尔市 2019届高三第一次模拟】已知半圆 ： ， 、 分别为半圆 与轴的左、右交点，直线 过点 且与 轴垂直，点 在直线 上，纵坐标为 ，若在半圆 上存在点 使，则 的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，设 PQ与 x轴交于点 T，则| PB| t
15、|，由于 BP与 x轴垂直，且 BPQ ，则在 Rt PBT中，|BT| |PB| |t|，当 P在 x轴上方时， PT与半圆有公共点 Q， PT与半圆相切时，| BT|有最大值 3，此时 t有最大值 ，当 P在 x轴下方时，当 Q与 A重合时，| BT|有最大值 2，| t|有最大值 ，则 t取得最小值 ，t0 时， P与 B重合，不符合题意，9则 t的取值范围为 ， 0） ；故选： A2 【河北省五个一名校联盟 2019届高三下学期第一次诊断】已知点 为圆 上一点，,则 的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】取 AB中点 D(2,-3), , d+r=的最大值为 ，故选 C.3
16、【河北省唐山市 2018-2019学年高三上学期期末】已知点 在圆 上， ， ， 为中点，则 的最大值为 ( )A B C D【答案】B【解析】设点 M的坐标为 ，则 ，将点 P的坐标代入圆的方程可得点 M的轨迹方程为 ，如图所示，当 与圆 相切时， 取得最大值，10此时 .本题选择 B选项.4 【广西柳州市 2019届高三毕业班 1月模拟】已知点 是抛物线 上的动点，以点 为圆心的圆被轴截得的弦长为 ，则该圆被 轴截得的弦长的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设圆心 ，而 ，圆 的方程为： ，当 时，得.故选 D.5 【山东省滨州市 2019届高三期末】直线 被圆 所截得的最短弦
17、长等于（ ）A B C D【答案】C【解析】圆的方程为圆（ x2） 2+（ y2） 25，圆心 C（2，2） ，半径为 直线 y3 k（ x1） ，此直线恒过定点（1，3） ，11当圆被直线截得的弦最短时，圆心 C（2，2）与定点 P（1，3）的连线垂直于弦，弦心距为： 所截得的最短弦长：2 故选： C6 【湖南省长沙市 2019届高三上学期第三次调研】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为 2，渐近线方程为 ， ，点 N在圆 上，则的最小值为A B2 C D3【答案】C【解析】因为 ，所以点 M在双曲线 C右支上，因为渐近线方程为 ，所以圆 ，即 ，设圆心为 ,则有 ，选 C.7.【江西
18、省南昌市 2019届高三第一次模拟】 已知 ， ， 为圆 上的动点，过点 作与 垂直的直线 交直线 于点 ，则 的横坐标范围是( )A B C D【答案】A【解析】设 P（ ） ，则 Q（2 ，2 ） ，当 0 时，kAP ，k PM ，直线 PM：y （x ） ，12直 线 QB：y0 （x ） ，联立消去 y得 x ， ，由 | |1 得 x21，得|x|1，当 0 时，易求得|x|1，故选：A8 【山东省菏泽市 2019届高三下学期第一次模拟】已知点 是直线 上的动点，过点 引圆的两条切线 为切点，当 的最大值为 时，则 的值为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】D【解析】结合题意，绘制
19、图像，可知当 取到最大值的时候，则 也取到最大值，而 ，当 PC取到最小值的时候，取到最大值，故 PC的最小值为点 C到该直线的最短距离，故 ，故，解得 ，故选 D。9 【四川省成都市 2019届高三 11月阶段性】已知圆 ，圆13，过圆 M上任意一点 P作圆 C的两条切线 ，切点分别为 ，则 的最小值是（ ）A B3 C D【答案】D【解析】由题意，圆 的圆心为（1，0） ，半径为 1，圆 的圆心（ ， ） ，半径为 2，所以，而 ，所以两圆相离。 ，要使取得最小值，需要 和 越小，且 越大才能取到，设直线 和圆 交于 两点（如下图） 。则 的最小值是 .= ， ，则 .所以 .故选 D.1
20、0 【北京市朝阳区 2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前 262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 k（ 0且 1k）的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点 ,AB间的距离为 2，动点 P与 A， B距离之比为 2，当 ,PAB不共线时， PAB面积的最大值是A. 2 B. 2 C. 3 D. 2【答案】A【解析】如图，以经过 AB， 的直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系；则： 14设 ,Pxy（ ， ） ，两边平方并整理得： ， PAB面积的最大值是 选 A11 【山西省太原十二中 2018届高三上学期 1月月考】如
21、图，两条距离为 4的直线都与 y轴平行，它们与抛物线 和圆 分别交于 ,AB和 ,CD，且抛物线的准线与圆相切，则当 ABCD取得最大值时，直线 AB的方程为（ ）A. 2x B. 3x C. 2x D. 1x 【答案】B【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得 2p或 7，又 014p，故 2，设直线 AB 的方程为 ，则直线 CD的方程为 4xt则设 则 令 ，令 故 ，此时直线 AB 的方程为 3x，故选 B12 【西藏拉萨市 2018届高三第一次模拟】已知点 P在圆 C： 上运 动，则点15P到直线 l： 的距离的最小值是（ ）A. 4 B. 5 C. 1 D. 51【答案】D【解
22、析】圆 C： 化为 ，圆心 2,1C半径为 1，先求圆心到直线的距离 ，则圆上一点 P到直线 l： 的距离的最小值是 5.选 D.13 【辽宁省沈阳市东北育才学校 2018届高三第三次模拟】已知圆 的方程为 ，直线与圆 C交于 A，B 两点，则当 ABC面积最大时，直线 l的斜率 k（ ）A. 1 B. 6 C. 1或 7 D. 2或 6【答案】C【解析】圆可化标准方程： 直线可变形为 ，即圆心为（1，0） ，半径r=1,直线过定点（2，2） ，由面积公式 所以当时，即点到直线距离为2时取最大值. ，解得 k=1或 7,选 C.14 【天一大联考 20172018学年高中毕业班阶段性测试】过点
23、 3,0P作直线（ ,ab不同时为零）的垂线，垂足为 M，点 2,N，则 的取值范围是（ ）A. 0,5B. C. ,D. 【答案】D【解析】 ,整理为： 得直线恒过点 Q（1，-2） ，画出图16像可知 或者 M与 P,Q之一重合， 25PQ,故点 M在以 PQ为直径的圆上运动，设该圆的圆心为 F，则线段 MN满足的范围为 ,所以： N的取值范围是15 【陕西省西安市 2018届高三上学期期末】直线 被圆 所截得的最短弦长等于（ ）A. 3 B. 2 C. 2 D. 5【答案】C【解析】圆 的圆心 ,2C，半径为 ，直线 ， 此直线恒过定点 3,1，当圆被直线截得的弦最短时，圆心 与定点 3
24、,1P的连线垂直于弦，弦心距为， 所截得的最短弦长 ，故选 C.16 【山西省 2018届高三第一次模拟】若点 为圆 上的一个动点，点 ， 为两个定点，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】APB=90， ，由不等式可得 ，故选：B1717 【重庆市梁平区 2018届二调】过点 1,P作圆 C： R)的切线，切点分别为 A， B，则 P的最小值为（ ）A. 103B. 4C. 2D. 2 3【答案】C【解析】由题意可得圆心坐标为 ,Ct，半径 1r，其中 ，.利用平面向量数量积的定义有：设 ，则：，结合对勾函数的性质可得：函数 在区间 上单调递增当 3m时， .本题选择
25、 C选项.18 【甘肃省 2018届高三第一次诊断性考试】过直线 上的点作圆 的切线，则18切线长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】直线 上上任取一点 . 作圆 的切线，设切点为 A.圆 ，即 ，圆心为 ，半径为 .切线长为 .所以切线长的最小值为 .故选 A.19 【新疆乌鲁木齐市 2018年高三年级第二次质量监测】已知点 P是双曲线214yx的渐近线上的动点，过点 P作圆 的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（ ）A. 90 B. 6 C. 45 D. 30【答案】B【解析】由题意得渐近线方程为 2yx，过圆心 50， 向 2yx作垂线，则 ， 圆的半径 5r， 当
26、斜边最小是，夹角最大， ， 30， 26，故选 B20 【重庆市九校联盟 2018届高三上学期第一次联合考试】设 ,mR，则的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 9 D. 16【答案】C【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线 的距离的平方，故其最小值为 2419，故选：C21在平面直角坐标系 xOy中,已知点 (2,0)A,点 B是圆 上的点,点 M为 AB中点,若直线 上存在点 P,使得 ,则实数 k的取值范围为_19【答案】 2k【解析】因为点 M为 AB中点,所以 ,即点 M轨迹为以原点为圆心的单位圆,当 PM为单位圆切线时, OP取最大值,即 ,从而 ,因此原点到直线距离不大于 2
27、,即22.已知圆 ,点 (,)Pab是该圆面（包括 O圆周及内部）上一点,则 abc的最小值等于 【答案】12【解析】依题意可得 2abc.令 .所以 ,ab满足如图所示.所以目标函数 .所以当目标函数与直线相切的时候 z最小.由圆心到直线的距离可得. 2zc .所以当且仅当12c时, min12z. 23.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ,圆 C的 方 程 为 若 直 线 (1)ykx上 存 在 一 点 P,使过 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 k的取值范围是 【答案】 2,【解析】圆 C的方程为 先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点 P到圆心的距离为 2”,再将“直线上存在点 P到圆心的距离为 2”转化为“圆心到直线的20距离小于等于 2”,即
