1、- 1 -辽宁省实验中学东戴河分校 2018-2019 学年高二数学下学期第四次周测试题一、单选题1已知复数 ，则 （ ）A4 B3 C5 D22设函数 ，则 在 处的切线斜率为（ ）A0 B-1 C-6 D33函数 在点（0，f（0） ）处的切线方程为（ ）Ayx1 Byx Cy2x1 Dy2x4函数 在区间 上的平均变化率 等于（ ）A4 B C D4x5已知物体的运动方程为 ( 是时间， 是位移)，则物体在时刻 时的速度大小为( )A1 B C D6设函数 ，若 ，则 的值为 A0 B1 C2 D47若函数 ，则 A B1 C D38已知函数 ，则其导数 （ ）A B C D9利用定积分
2、的的几何意义，可得 ( )A BC D10由直线 ， ， 与曲线 所围成的封闭图形的面积为( )A B1 C D- 2 -11已知函数 ,若方程 恰有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ( )A B C D12函数 的图象关于直线 对称，当 时， 成立，若，则 的大小关系是（ ）A B C D二、填空题13定义一种运算如下： ，则复数 的共轭复数是_14函数 的单调递减区间是 _15设 x2 与 x4 是函数 f(x)x 3ax 2bx 的两个极值点，则常数 ab 的值为_16已知 ，若 ， ，使 成立，则实数 的取值范围是_.三、解答题17已知 ， .1zi2zi（1）求 ；2（2）若
3、，求 .12zz18已知函数 f（x）=k（x1）e x+x2（1）求导函数 f（x） ；（2）当 k=- 时，求函数 f（x）在点（1，1）处的切线方程.19已知函数 在 与 时都取得极值.(1)求 的值及函数 的单调区间；(2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围20已知函数 当 时，求函数 的单调区间；若 ，求证：当 时， - 3 -21已知函数 .（1）求 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.参考答案1C【解析】【分析】先将 化成 的形式，然后利用复数模的公式求解.【详解】因为 ，所以 ，故选 C.【点睛】本题主要考查复数的运算以及模的计算，属于基础题.2C【解析】【
4、分析】欲求切线斜率，只须利用导数求出在 x0 处的导函数值，从而问题解决【详解】f（ x）在 x0 处的切线斜率为 f（0）（2 x6）| x0 6故选： C【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线的斜率问题，考查了导数的几何意义，属于基础题3B【解析】【分析】分别求函数值及切线斜率即可得解.【详解】由 ，可得 ，所以 ，又 .- 4 -所以切线方程为：yx.故选 B.【点睛】本题主要考查了由函数导数求解函数的切线方程，属于基础题.4B【解析】【分析】先由变化量的定义得到 ，再根据平均变化率的计算公式对 化简,即可求出结果.【详解】因为 ，所以 +4.故选 B【点睛】本题主要考查平均变
5、化率的计算，结合概念，即可求解，属于基础题型.5A【解析】【分析】根据题意，对 s t2 进行求导，然后令 t1 代入即可得到答案【详解】 S t2 ， s2 t当 t1 时， v s1故选： A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，本题的关键是正确求出导数，对于基础题一定要细心6B【解析】【分析】- 5 -先对函数 求导，利用 列方程求解即可【详解】函数 ，即 ，故选 B【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题7C【解析】【分析】可先求出导函数 ，把 换上 即可求出 的值【详解】由于 ，所以 .故选：C【点睛】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法8
6、C【解析】【分析】根据初等函数的导数即可得结果.【详解】 ，根据对数函数求导公式可得 ，故选 C.【点睛】本题主要考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题9B【解析】【分析】- 6 -函数 表示单位圆位于 轴上方的部分，结合定积分的几何意义可得答案.【详解】解：函数 表示单位圆位于 轴上方的部分，结合定积分的几何意义可得： .故选 B.【点睛】本题主要考查定积分的计算与几何意义，相对简单.10B【解析】【分析】通过计算定积分 ，求得封闭图像的面积.【详解】题目所求封闭图形的面积为定积分 ，故选 B.【点睛】本小题主要考查利用定积分计算曲边图形的面积，考查定积分的计算，属于基础题.1
7、1A【解析】【分析】由方程 恰有两个不同实数根，等价于 y f（ x）与 y a 有 2 个交点，数形结合求出 a 的取值范围【详解】 ,则 = ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，x= 时， 最大为 ，- 7 -f（x）的大致图像如图：要使方程 恰有两个不同的实数根，即函数 y=a 与函数 y= 有两个不同的交点， .故选 A.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根的问题，考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，考查了函数与方程的转化，属于中档题12B【解析】【分析】由函数 的图象关于直线 对称可得函数 的图象关于直线 对称，即函数为偶函数再根据题意构造
8、函数 ，则 为偶函数，且，故 在 上单调递减最后通过比较 到 y 轴距离的大小可得 的大小关系【详解】函数 的图象关于直线 对称，函数 的图象关于直线 对称，即函数 为偶函数设 ，则 为偶函数，又当 时， ， 在 上单调递减又 ，- 8 - ，即 故选 B【点睛】本题综合考查函数性质和导数求导法则的应用，解题的关键是根据题意构造函数 ，然后根据此函数的奇偶性和单调性将比较函数值大小的问题，转化为比较自变量大小的问题考查转化思想方法的运用和计算能力，属于中档题13【解析】【分析】直接利用定义的运算求复数，再求其共轭复数.【详解】由题得复数 z=（1+i）3i+2=3i-3+2=-1+3i,所以它
9、的共轭复数为-1- 3i.故答案为：-1-3i.【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查新定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和运用新定义解答问题的能力.(2) 复数 的共轭复数14【解析】【分析】求出函数的导数，在定义域内令 求得 的范围，可得函数 的减区间【详解】的定义域是 ，令 ，解得： ，所以 在 递减，故答案为【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查了导数的应用，属于简单题利用导数求函数单调区间的步骤：求出 ，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间，令- 9 -求得 的范围，可得函数 的减区间.1521【解析】【分析】由已知得 ，且 ， ，由此利用导数性质能求
10、出常数 的值.【详解】因为 ，所以因为 与 是函数， 的两个极值点，可得解得 ， ，所以 ，故答案为 21.【点睛】在极值点处，曲线若有切线则切线是水平的，即：当切线存在时，极值点处的导数为 0；注意：导数为 0 的点不一定是极值点，如 .16【解析】【分析】问题等价于“当 x e， e2时，有 f（ x） max f（ x） max+a”，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数 a 的取值范围【详解】若 ， ，使 成立，等价于“当 x e， e2时，有 f（ x） max f（ x） max+a”，当 x e， e2时， lnx1，2， ，1，f（ x） a+ （ ） 2+ a，f（ x）
11、 max+a ，问题等价于：“当 x e， e2时，有 f（ x） max ”，当 a ，即 a 时，- 10 -f（ x） a+ （ ） 2+ a0，f（ x）在 e， e2上为减函数，则 f（ x） max f（ e） e ae e（1 a） ， a1 ，当 a0，即 0 a 时， x e， e2， ，1， f（ x） a+ ，由复合函数的单调性知 f（ x）在 e， e2上为增函数，存在唯一 x0（ e， e2） ，使 f（ x0）0 且满足： f（ x）在 e， x0）递减，在（ x0， e2递增，f（ x） max f（ e）或 f（ e2） ，而 f（ e2） ae2，故 ae2
12、，解得： a ，无解舍去；综上，实数 a 的取值范围为故答案为： 【点睛】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用17 （1）4; （2） .625iz【解析】试题分析：（1）利用复数运算公式，可求得两个复数的乘积.（2）先根据原方程化简出 的表达式，再代入已知 的值，最后将分母实数化即可求得 的值.z12,z z试题解析：（1） .214zii（2）由 ，得 ，12z12z.4635iziii18 （1）f（x）=kxe x+2x（2）xy=0【解析】- 11 -【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出；（2）利用导数的几何意义可得切线
13、的斜率，利用点斜式即可得出【详解】（1）f（x）=ke x+k（x1）e x+2x=kxex+2x（2） ，则切线的斜率为 函数 f（x）在点（1，1）处的切线方程为 xy=0【点睛】本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于简单题19(1) ;增区间 ，减区间 ；(2) 或 .【解析】【分析】(1)求出 ，利用函数 在 与 时都取得极值列方程组求得 ，令 即可求得函数的增区间，问题得解。(2)将不等式 恒成立转化成 ，利用(1) 中的结论，求出 ，解不等式即可。【详解】(1)因为 ，所以 ，又已知函数 在 与 时都取得极值，所以 ，解得： ，所以 ，令 ，解
14、得： 或 ，所以函数 的单调增区间为： ，减区间为 .(2)对 ，不等式 恒成立可转化成 ，由(1)得： 在 上递增，在 递减，在 上递增，- 12 -， ， ，所以 ，所以 ，解得： 或 .【点睛】本题主要考查了导数与极值的关系，考查了方程思想及转化思想，还考查了单数与函数单调性的关系，考查计算能力，属于基础题。20(1) 在 递减，在 递增(2)见证明【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 问题转化为证明 ，令 ，根据函数的单调性证明即可【详解】由 ， ，由 ，解得： ，由 ，解得： ，故 在 递减，在 递增，证明：要证明 ，即证 ，令 ，则 ，令
15、，则 ，故 即 在 递增，又 ，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，故 ，故 ，即 ，故 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，是一道常规题利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.- 13 -21 （1）函数 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） .【解析】【分析】（1）先求函数 的导数，利用导函数的正负情况，得到原函
16、数的单调区间.（2）构造函数，求 得导数，对 分成 三类，结合 的单调区间，根据 列不等式，解不等式求得 的取值范围.【详解】解：（1） ，令 ，解得 ，当 ， ，则函数 在 上单调递减；当 ， ，则函数 在 上单调递增.（2）令 ，根据题意，当 时， 恒成立.当 ， 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，且 ，所以不符合题意；当 ， 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，且 ，所以不符合题意；当 时，因为 ，所以恒有 ，故 在 上是减函数，于是“ 对任意 都成立”的充要条件是 ，即 ，解得 ，故 .综上， 的取值范围是 .【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.要利用导数求解不等式恒成立问题，首先构造一个函数，然后利用导数研究这个函数的最值，根据最值的情况列不等式，解不等式求得参数的取值范围.- 14 -
