1、- 1 -会泽一中 2019 年春季学期半月考试卷 2高二数学（理科） 1、 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1. 已知集合 A= ，B= ，则 AB=（ ）)1(log|2xyx2|xA. B. C. D.R0| 1|2. 椭圆 + =1 的焦点坐标为（ ）24x1yA. B. C. D.）（ 0,）（ 0,2）（ 2,0）（ 32,03. 已知实数 满足 ，则函数 的最大值为（ ）yx,15xyyxz3A.10 B.8 C.5 D.14. 已知双曲线的离心率为 2，焦点是（-4,0） ， （4,0） ，则双曲
2、线的方程是（ ）A. B. C. D.142yx160yx124yx1062yx5. 在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则 =（ na31 543a）A.33 B.72 C.84 D.1896. 设向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）)3,1(),1(xba2xba/A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A B 1+521+25C D8. 有四个关于三角函数的命题：- 2 -： x R, + = : x、y R, sin(x-y)=sinx-siny1p2sin2cosx12p: x
3、, =sinx : sinx=cosy x+y= 3042其中假命题的是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，1p42p41p32p49. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ nm， ，）A. B., nmn,C. D.n/ /m10. 已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 （ ）ba,3,2bab31baA.-2 B. C. D.4946或11. 已知定义在 R 上的函数 满足 ，且当 时， ，若)(xf)(xff013)(xf， ， ，则有（ ）342a52b31cA. B. C. D.)()(ff)()(afcbfcfabfc12. 已知直
4、线 与双曲线 交于 ， 两点( ， 在同一支上), 为双曲线的两个焦lCAB21,F点,则 在（ ）21,FA以 ， 为焦点的椭圆上或线段 的垂直平分线上 BB以 ， 为焦点的双曲线上或线段 的垂直平分线上ABC以 为直径的圆上或线段 的垂直平分线上D以上说法均不正确2、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 在 的展开式中常数项是 _ （用数字作答）621x14已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，- 3 -若 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_(2,)P15等比数列 的公比 ， 已知 =1，
5、，则 的前 4 项和na0q2a216nnan=_4S16已 知 数 列 中 , , , ,则 = .n12nn12n32110三、解答题（本大题共 6 个小题，17 题 10 分，其余 12 分，共 70 分）17.（本小题满分 10 分）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ，且满足cba,，caos4sin33（1）求 ABC 的面积 S；（2）若 ，求 的值.a18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中， PAB 是等边三角形， PAC = PBC = 90PABC（1）证明： AB PC；（2）若 ，且平面 平面 ，求三棱锥 体积4PBPABC19.（本小题满分 12
6、分）某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数） （1）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？- 4 -（2）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2表 1：生产能力分组 10,10,210,30,410,5人数 4 8 x5 3表 2：生产能力分组 10,2120,3130,4140,5人数 6 y 36 18（i）先确定 ，
7、再在答题卡上完成下列频率分布直方图就生产能力而言，A 类工人中个,xy体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，精确到 0.1） 20.（本小题满分 12 分）为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.上图中，已知课程 为人文类课程，课程 为自然
8、科学类课程.为进一步研究,ABCDE,FGH学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取 的学生作为研究样本组(以1%- 5 -下简称“组 M”).(1)在“组 M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？(2)为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取 4 名同学前往，其中选择课程 F 或课程 H 的同学参加本次活动，费用为每人 1500 元，选择课程 G 的同学参加，费用为每人 2000 元.()设随机变量 表示选出的 4 名同学中选择课程 的人数，求随机变量 的分布列；XGX()设随机变量 表示选出的 4 名同学参加自然科学营的
9、费用总和，求随机变量 的数学期Y Y望.21.（本小题满分 12 分）已知动点 到点 和直线 ： 的距离相等. M(1,0)Nl1x（1）求动点 的轨迹 E 的方程；（2）已知不与 垂直的直线 与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 的交点为 ，以 AP 为直ll lP径作圆 .C求证： 在圆 上.N22. (本小题满分 12 分)椭圆 C 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分xOyx别是 7 和 1 （1）求椭圆 的方程；（2）若 为椭圆 的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， ， （e 为椭圆PMPxOPMC 的离心率） ，求点 的轨迹方程，并说明轨
10、迹是什么曲线- 6 -高二 数学（理科） 参考答案一、选择题1-5: BCACC 6-10:AAACA 11、12：DB12.【解析】：当直线 垂直于实轴时，则易知 在 的垂直平分线上；当直线 不垂l 21,FABl直于实轴时，不妨设双曲线焦点在 轴， 分别为双曲线的左、右焦点，且 、 都在x AB右支上，由双曲线定义： ， ，则12|AFa12a，由双曲线定义可知， 在以 、 为焦点的双曲线21AFBB1,F上，故选二、填空题13. 15 14. 15. 16.24yx15213061、解答题17(本题满分 12 分）解：（1）3asinC=4ccosA，3sinAsinC=4sinCcos
11、A，sinC0，tanA= ，可得sinA= ，cosA= =3，bccosA=3，bc=5S= bcsinA= =2（2）由（I）可得：b=5a 2=1+52251 =20，解得 a=2 18.（本小题共 12 分）解：（1）因为PAB 是等边三角形， ，90PACB所以 ，可得 AC=BCRtPBCt如图，取 AB 中点 D，连结 PD，CD，则 PDAB，CDAB，所以 AB平面 PDC，所以 ABPC（2）作 BEPC，垂足为 E，连结 AE因为 ，RtPBCtA所以 AEPC，AE=BE由已知，平面 PAC 平面 PBC，故 90E因为 ，所以 都是等腰直角三角形由已知RtABtP
12、,A- 7 -PC=4，得 AE=BE=2， 的面积 AEB2S因为 PC 平面 AEB，所以三角锥 的体积 PAC183VSPC19(本小题满分12分)解：（1）A 类工人中和 类工人中分别抽查 25 名和 75 名（2） （）由 ，得 ； ，得 ；48532x5x631875y1y频率分布直方图如下从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小（ii） ，48531051251422Ax， 6364.8757B 3.8.10xA 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123，133.8 和 131.1.20.(本小题满分 12 分
13、)解： (1)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300) 1%=12(人)； 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300) 1%=8(人). (2) () 依题意，随机变量 可取 0，1，2. X- 8 -； ；406283()1CpX316248()7CpX26483().1CpX故随机变量 的分布列为X 0 1 2p 34734()法 1：依题意，随机变量 =2000 +1500 =6000+500 ， YX()X所以随机变量 的数学期望为YE( )=6000+500E( )=6000+500( )3430127=6500. ()法 2：依题意，随机变量 可取
14、 6000，6500，7000. Y所以随机变量 的分布列为YY 6000 6500 7000p 3147314所以随机变量 的数学期望为YE( )= 36050714=6500. 21. (本小题满分 12 分)（1）设动点 ，(,Mxy由抛物线定义可知点 的轨迹 E 是以 为焦点，直线 l： 为准线的抛物线，(1,0)N1x所以轨迹 E 的方程为 . (5 分）24yx（2）由题意可设直线 ， :lxmyn- 9 -由 可得 （*） ，2,4xmyn240myn因为直线 与曲线 E 有唯一公共点 A，l所以 ，即 . 2160n2所以（*）可化简为 ， 240ym所以 ， 2(,)Am令 得 ， 1x,)nP因为 ，2n所以 021,2, 2 nmnmNA所以 ，P所以点 在以 PA 为直径的圆 上. （12 分）C22.(本小题满分 12 分)解：（1）设椭圆长半轴长及分别为 a，c，由已知得 解得 a=4，c=3，17ac所以椭圆 C 的方程为 （6 分）21.7xy（2）设 M（x，y） ，P(x， )，其中 由已知得 而 ，故14,.x221.xye34 由点 P 在椭圆 C 上得 代入式并化简2216()9().2217,6得 29,y所以点 M 的轨迹方程为 轨迹是两条平行于 x 轴的线段 （12 分）47(4),3yx- 10 -
