1、1山东省日照青山学校 2018-2019 学年高二数学 3 月月考试题共 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.设 ,则 等于（ ） 1ln)2xf )(fA. B. C. D.54551532. ,则 等于( )cos(l)si(lxxyyA.2cos( ) B. C. D.ln1n2)sin(l2x)sin(lx3.在曲线 的切线中,与直线 平行的切线方程是( )3xy 14yxA. B. C. D. 或04x04y004yxy4.函数 的极值点是( )2)1()32xfA. B. C. 或 或 0 D.1x 1x0x5.设
2、 ，则此函数在区间(0, )和( ,1)内分别( )yln82 42A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减6.已知 ，则 为( )5(4)3(2)1() xxxf 0fA. B. C.0 D.5!5 17.方程 的实根个数是( )09623A.3 B.2 C.1 D.08.若函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 、 ,则 的axf)(33, MN值为( )A.2 B.4 C.18 D.209.已知 ，则 等于( )1(2)(fxf0fA.0 B. C. D.24210.函数 ，则( )efx)(2A.仅有极小值 B.仅有极大值 C.有极小
3、值 0,极大值 D.以上皆不正e21e21e21确11.设 是函数 的导函数, 的图象如右图所示,则 的图象最有)(xf)(xf )(xfy)(xfy可能是( )班级 姓名 考号 分数 12.已知 有极大值和极小值，则 的取值范围为( )1)6()(23xaxf aA. B. C. 或 D. 或1a1236a二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)13.已知函数 是可导函数,且 ，则 等于_.)(xf )(afaxlimxaff)()(14.在半径为 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积r最大时，其梯形的上底长为_.15.设偶函数 在点 处可
4、导，则 _.)(xf0)0(f16.函数 在 时有极值 10，那么 、 的值为_.223abx1ab三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)17.(本小题满分 12 分)已知函数 在 处有极值,其图象在cbxf23( 2处的切线平行于直线 ,试求函数的极大值与极小值之差.1xxy318.(本小题满分 12 分) 利用导数证明当 时，0x2)1ln(x19.(本小题满分 12 分)用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?420.(本小题
5、满分 12 分)已知函数 cbxxf231)(1)若 的图象有与 轴平行的切线，求 的取值范围；(xfx(2)若 在 时取得极值，且 时 恒成立，求 的取值范围.)12,1x2)(cxfc521.(本小题满分 12 分)设 ,点 是函数 与 的图象0t),(tPaxf3)( cbxg2)(的一个公共点,两函数的图象在点 处有相同的切线.(1)用 表示 、 、 ;tabc(2)若函数 在(-1,3)上单调递减,求 的取值范围.)(xgfyt22.(本小题满分 14 分)设 、 是函数 的两个极值点，1x2 )0(23)(2axbxaf且 .21x(1)证明： ;0a6(2)证明： ;934b(3
6、)若函数 ，证明：当 且 时， .)(2)(1xafxh21x01axh4)(7高二下学期第一次月考数学试题 答案1.解析: = = . 。答案:B)1(ln)2xf 212x1252)(f2.解析: 答案:Bcosln)sin(l)co(lcoslsil xxy 3.解析: ，又 的斜率为 4,132x14y设曲线 的切线中与 平行的切线的切点为 ，则yx ),(0yxM,420x 或 . 切点为 、 均不在 上.10)0,1(M)4,(N1yx有两条直线与 平行. 答案:Dyx4.解析:f(x)=32x(x 2-1)2,令 ,得 或 x=1,)(xf但 或 时,两侧的导数值的符号同号,不是
7、极值点.答案:D1x5.解析:y=16x- .当 x(0, )时,y0,y=8x 2-lnx 为增函数.答案:C6.解析:f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),f(0)=-1(-2)(-3)(-4)(-5)=-5!. 答案:B7.解析:应用导数的几何意义易判断函数的增减性,然后根据极值判断实根的个数.设 f(x)=x3-6x2+9x-10 f(x)=3x 2-12x+9 f(x)=0 得 x1=1 或 x=3.x1 时,f(x)单调递增,最大值为-6.当 13 时,f(x)单调递增,最小值为-10.由上分析知 y=f
8、(x)的图象如图,与 x 轴只有一个公共点, 所以只有一个实根。故选 C.答案:C8.解析:本题考查导数的应用.f(x)=3x 2-3,令 f(x)=0 得 x=1.当 0x0,则 f(1)最小.又 f(0)=-a,f(3)=18-a, 则 f(3)f(0), 则最大值为 f(3),即 M=f(3),N=f(1) M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20, 故选 D.答案:D9.解析:f(x)=2x+2f(1), 令 x=1 得 f(1)=2+2f(1), f(1)=-2.令 x=0 得 f(0)=2f(1), f(0)=-4.答案:B 10.解析:f(x)=-e -x +
9、 e-x=e-x(- + )=e-x .令 f(x)=0,得 x=x21x21x2.21当 时, ；当 时, . 时取极大值,x0)(xf210)(xf21.答案:Beef21)(11.解析:由 y=f(x)的图象可得. 当 x0, y=f(x)在(-,0)上单调递增.当 02 时,f(x)0, y=f(x)在(2,+)上单调递增. 答案:C12.解析:f(x)=3x 2+2ax+a+6. 要使 f(x)有极大值和极小值,需 f(x)=0 有两个不相等的实根. =4a 2-12(a+6)0. a6 或 a0; 当 0；当 02 时,f(x)0.x=0 时取极大值,x=2 时取极小值. f(0)
10、-f(2)=c-8+12-c=4.18.证明:设 f(x)=ln(1+x)-x+ ,其定义域为(-,+). f(x)= -1+x= 0.x2 x112所以 f(x)在(-1,+)上是增函数. 由增函数定义知,当 x0 时,f(x)f(0)=0,即 x0 时,ln(1+x)x- .219.解:设容器高为 ,容器的容积为 ，则 V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-xcm3)(cmxV276x2+4320x(0x24). 求 V(x)的导数,得 V(x)=12x 2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36),令 V(x)=0,得 x1=10,x
11、2=36(舍去).当 0x10 时,V(x)0,那么 V(x)为增函数;当 10x24 时,V(x)0,那么 V(x)为减函数.因此,在定义域(0,24)内,函数 V(x)只有当 x=10 时取得最大值,其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19600(cm3).答:当容器的高为 10 cm 时,容器的容积最大,最大容积为 19600 cm3. 20.解:( 1)f(x)=3x 2-x+b， 的图象上有与 轴平行的切线，则 有实数解，)(xfx0)(xf即方程 3x2-x+b=0 有实数解，由 =1-12b0，得 b .1210(2)由题意， 是方程 3x2-x+b=0 的一
12、个根，设另一根为 ，则 1x 0x,310bf(x)=x 3- x2-2x+c, f(x)=3x 2-x-2.2,30bx当 x(-1,- )时，f(x)0； x(- ,1)时，f(x)0.3当 x=- 时，f(x)有极大值 +c. 又 f(-1)= + c,f(2)=2+c,32721即当 x-1,2时，f(x)的最大值为 f(2)=2+c.对 时, 恒成立， 。解得 或 。故 的取值范21x2)(cxf2c1c2c围为 .)(21.(1)解:因为函数 f(x)、g(x)的图象都过点(t,0), 所以 f(t)=0,即 t3+at=0.因为 t0,所以 a=-t2. g(t)=0,即 bt2
13、+c=0,所以 c=ab.又因为 f (x)、g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以 f(t)=g(t).而 f(x)=3x 2+a,g(x)=2bx, 所以 3t2+a=2bt. 将 a=-t2代入上式得 b=t. 因此 c=ab=-t3. 故 a=-t2,b=t,c=-t3.(2)解法一:y=f(x)-g(x)=x 3-t2x-tx2+t3,y=3x 2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当 y=(3x+t)(x-t)0,则- 0,x 1x2=-a0 得 0x 1,|x-x 1|=x-x1. 又 x10. x 2+22. x2, x-x 2-20.|x-x 2-2|=x2+2-x. |x-x 1|+|x-x2-2|=x2-x1+2=4, |h(x)|4a.
