1、- 1 -江苏省江阴市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 文一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1. 全集 U=2，3，4，5，6，集合 A=2，5，6，B=3，5，则（ U A）B= _ 2. 命题“ x0， x2-3x+2 0”的否定是_3. 已知 a R， i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为_.4. 求值： = _ 5. 已知 -2，-1，- ，1，2，3，若幂函数 f（ x）= x 为奇函数，且在（0，+）上递减，则 =_6. 若“ x a”是“ x2-5x+60”成立的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_7. 函数 的单
2、调递减区间是_8. 已知命题 恒成立，命题 ，使得 ，若命题为真命题，则实数 的取值范围为_.9. 已知函数 f（x）= ，若 f（-3）=5，则 f（3）= _ 531abxc10. 已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f（ x+2）= - ，且当x0，2）时， f（ x）=log 2（ x+1），则 f（-2017）+ f（2019）=_11. 已知边长分别为 a，b，c 的三角形 ABC 面积为 S，内切圆 O 的半径为 r，连接OA，OB，OC，则三角形 OAB，OBC，OAC 的面积分别为 ，由 得，类比得四面体的体积为 V，四个面的面积分别为 ， ，
3、， ，则内切球的半径 _12. 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当 时 ， 函 数()fx2,(0,2x()21xf.如果对于 ， ，使得 ，则2gm12,x()gf实数 的取值范围是 . 13. 知函数 ，实数 且 ，满足，则 的取值范围是_.- 2 -14. 若函数 f（x）= 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分）15 （本题满分 14 分）已知 ， 和 都是实数zC2i+zi-（1）求复数 ；z（2）若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围2()ai+a16. （本题满分 14 分）设全集是实数集 R
4、，A=x| x3，B=x|x|+a0（1）当 a=-4 时，求 AB 和 AB；（2）若（ RA）B=B，求实数 a 的取值范围- 3 -17. （本题满分 14 分）命题 p：函数 有意义，命题 q：实数 x 满足 当 时，若 p、 q 都是真命题，求实数 x 的取值范围；若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围18.（本题满分 16 分）某辆汽车以 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公x路行车安全要求 ）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为6012x升，其中 为常数，且 .45xkk6012k（1）若汽车以 千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为 升，欲使每小
5、时的油耗不120 .5超过 9 升，求 的取值范围；x（2）求该汽车行驶 千米的油耗的最小值 .- 4 -19.（本题满分 16 分）已知函数 ，函数 .xf31)( xg3lo)(若 的定义域为 R，求实数 的取值范围；)2(mxgm当 ，求函数 的最小值 ；1 ,)(2)(xaffy )(ah是否存在实数 ， ，使得函数 的定义域为 ， ,值域为nlog23mn4 ，4 ？若存在，求出 ， 的值；若不存在，则说明理由.- 5 -20. （本题满分 16 分）已知函数 f（ x）= x|x-a|+2x-3（1）若 a=0 时，求函数 f（ x）的零点；（2）若 a=4 时，求函数 f（ x）
6、在区间2，5上的最大值和最小值；（3）当 x1，2时，不等式 f（ x）2 x-2 恒成立，求实数 a 的取值范围- 6 -江阴市第一中学 20182019 学年度第二学期期中考试答案和解析1.【答案】3【解析】【分析】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题根据补集与交集的定义计算即可【解答】解：U=2，3，4，5，6，集合 A=2，5，6，B=3，5，所以 UA=3，4，所以（ UA）B=3故答案为32.【答案】 x 0， x2-3x+20【解析】解：命题“对xR，x 3-x2+10”是全称命题，否定时将量词 x0 改为x0，改为 故答案为： x 0，x 3-x2+10命题“对xR，x 3
7、-x2+10” 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化对命题“ xA ，P（X）”的否定是：“xA，P（X）”；对命题“xA，P（X）”的否定是： “xA，P（X）”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题3.【答案】-2【解析】【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为 0，解方程即可得到所求值，本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为 0，考- 7 -查运算能力，属于基础题【解答】解：aR，i 为虚数单位，= = = - i由 为实数，可得- =0，解得 a=-2故答案为-24.
8、【答案】【解析】【分析】本题考查指数幂及对数运算，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用利用指数幂及对数运算法则直接求解.【解答】解：= += .故答案为 .5.【答案】-1【解析】解：-2，-1，- ，1，2，3，幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，a 是奇数，且 a0，a=-1- 8 -故答案为：-1由幂函数 f（x）=x 为奇函数，且在（0，+）上递减，得到 a 是奇数，且 a0，由此能求出 a 的值本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6.【答案】3，+）【解析】解：由 x2-5x+60 得 x3
9、或 x2，若“xa”是“x 2-5x+60”成立的充分不必要条件，则 a3，即实数 a 的取值范围是3，+），故答案为：3，+）求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价条件是解决本题的关键7.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数函数的单调区间，训练了复合函数的单调区间的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题求出原函数的定义域，分析内函数 t=x 2+2x 的单调性，由于外层函数 为减函数，则内层函数的增区间即为复合函数的减区间【解答】解：令 t=x 2+2x，由x 2+2x0，得 0x2函数 的定
10、义域为（0，2），当 x 时，内层函数 t=-x2+2x 为增函数，而外层函数 为减函数，函数 f（x）= 的单调递减区间是 故答案为 - 9 -8.【答案】【解析】【分析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词、指数函数与对数函数，考查了逻辑推理能力与计算能力.由 ， 恒成立，得 ，则 ，求出 a 的取值范围；由命题 Q 得 ，再由 为真命题即可求出总的取值范围.【解答】解：因为命题 ， 恒成立，所以 对于 恒成立，即 ，解得 ；因为命题 ，使得 ，所以 .因为命题 为真命题，所以命题 P 与 Q 均为真命题，则 ，即 .故答案为 .9.【答案】-7【解析】解：函数 f（x）=ax 5+
11、bx3+cx-1，f（-3）=5，f（-3）=-243a-27b-3c-1=5，243a+27b+3c=-6，f（3）=243a+27b+3c-1=-7故答案为：-7- 10 -由已知得 243a+27b+3c=-6，由此能求出 f（3）的值本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用10.【答案】0【解析】解：对于 x0，都有 f（x+2）=- ，f（x+4）=- =- =f（x），即当 x0 时，函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，当 x0，2）时，f（x）=log 2（x+1），f（-2017）=f（2017）=f（5044+1）=f（1）=log 22=
12、1，f（2019）=f（5044+3）=f（3）=f（2+1）=- =-1，则 f（-2017）+f（2019）=-1+1=0，故答案为：0根据条件关系得到当 x0 时，函数是周期为 4 的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可本题主要考查函数值的计算，根据条件求出是的周期性，以及利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形 ABC 的面积，根据类比推理可知，将四面体
13、分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此算出内切球的半径【解答】解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，根据体积相等可得 ，- 11 -即内切球的半径 ，故答案为 12. 【答案】 5,213.【答案】（12,32）【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根关系、指数函数、二次函数和分段函数，由的图象得，-a=b，c+d=4，且 1c2，所以，从而得出结果.【解答】解：由 的图象得，-a=b，c+d=4，且 1c2，1c2， ， ， 的取值范围是（12,32），故答案为（12,32）
14、.- 12 -14.【答案】 ，1）3，+）【解析】解：当 a0 时，f（x）0 恒成立，故函数 f（x）没有零点；当 a0 时，3 x-a=0，解得，x=log 3a，又x1；当 a（0，3）时，log 3a1，故 3x-a=0 有解 x=log3a；当 a3，+）时，log 3a1，故 3x-a=0 在（-，1）上无解；x 2-3ax+2a2=（x-a）（x-2a），当 a（0， ）时，方程 x2-3ax+2a2=0 在1，+）上无解；当 a ，1）时，方程 x2-3ax+2a2=0 在1，+）上有且仅有一个解；当 a1，+）时，方程 x2-3ax+2a2=0 在1，+）上有且仅有两个解；
15、综上所述，当 a ，1）或 a3，+）时，函数 f（x）= 恰有 2 个零点，故答案为： ，1）3，+）当 a0 时，f（x）0 恒成立，当 a0 时，由 3x-a=0 讨论，再由 x2-3ax+2a2=（x-a）（x-2a）讨论，从而确定方程的根的个数本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用15【答案】解：（）设 ，则(,)zabiR2()ziabi225zii- 13 - 和 都是实数， 4分2zi+zi-205ba解得 7分4ab2zi（）由（）知 ， 22()16()8()aai 在复平面上对应的点在第四象限，2()zai+ 11分1608()解得 2a即实数 a的取值范围是
16、（2 ，2） 1416.【答案】解：（1）全集是实数集 R， A=x| x3，1分当 a=-4时， B=x|x|4= x|-4 x4，.2分A B=x| x3，.4分A B=x|-4 x4；.6分（2） RA=x|x 或 x3，且（ R A） B=B， BRA；.8分当 B=时，即 a0，满足BR；10分当 B ，即 a0， B=x|a x- a；要使 BRA，只需- a ，解得- a0；.- 14 -.13分综上，实数 a的取值范围是 a|a-14分【解析】（1）化简a=-4时集合B，再写出AB与AB；（2）求出A的补集 RA，再根据（ R A）B=B得出B RA；讨论B= 和B时，求出a的
17、取值范围本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目17.【答案】解：（1）由- x2+4ax-3a20 得 x2-4ax+3a20，即（ x-a）（ x-3a）0，其中 a0，得 a x3 a， a0，则 p： a x3 a， a0若 a=1，则 p：1 x3，由 解得 2 x3即 q：2 x3若 p q 为真，则 p， q 同时为真，即 ，解得 2 x3，实数 x 的取值范围（2，3）.7 分（2）若 q 是 p 的充分不必要条件，即（2，3）是（ a，3 a）的真子集所以 ，且 3a=3,a=2 不能同时成立,解得 1 a2实数 a 的取值范围为1，2.14
18、 分【解析】- 15 -本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，属于中档题（1）若 a=1，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）利用 q 是 p 的充分不必要条件，得到集合之间的包含关系，从而求实数 a 的取值范围18.【答案】【解析】 （1）由题意可得当 x=120 时， =11.5，解得 k=100，由 （x100+ ）9，即 x2145x+45000，解得 45x100，又 60x120，可得 60x100，每小时的油耗不超过 9 升，x 的取值范围为60，100；.6 分（2）设该汽车行驶 100 千米油耗为 y 升，则y= =20 +
19、 （60x120） ，令 t= ，则 t ， ，即有 y=90000t220kt+20=90000（t ） 2+20 ，对称轴为 t= ，由 60k100，可得 ， ，若 即 75k100，则当 t= ，即 x= 时， ymin=20 ；若 即 60k75，则当 t= ，即 x=120 时，y min= 答：当 75k100，该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值为 20 升；当 60k75，该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值为 升.16分19. 【答案】由题意 对任意实数 恒成立，02mxx 时显然不满足0m- 16 - 0m .1.4分令 ，则)3,1()txf 2223)(3atat
20、y 3 ,6123 ,9628)(aah10分 =)(log223xfy 1)(2)31(log2xx 14n4n函数在 ， 单调递增，m 又nf)( 0,2m16分20.【答案】解：（1）当 a=0 时， f（ x）= x|x|+2x-3= ，由 x2+2x-3=0 得 x=1 或 x=-3（舍），由- x2+2x-3=0 得方程无解，综上得，函数 f（ x）的零点为x=1；4 分- 17 -（2）当 a=4 时， f（ x）= x|x-4|+2x-3；当 2 x4 时， f（ x）= x（4- x）+2 x-3=-x2+6x-3，当 x=2 时， f（ x） min=5；当 x=3 时，
21、f（ x） max=6；当 4 x5 时， f（ x）= x（ x-4）+2 x-3=x2-2x-3=（ x-1） 2-4，当 x=4 时， f（ x） min=5；当 x=5 时， f（ x） max=12；综上可知：函数 f（ x）的最大值为 12，最小值为5.10 分（3）若 x a，原不等式化为 f（ x）= x2-ax1，即 a x- 在 x1，2上恒成立， a（ x- ） max，即 a ，若 x a，原不等式化为 f（ x）=- x2+ax1，即 a x+ 在 x1，2上恒成立， a（ x+ ） min，即 a2，综上可知： a 的取值范围为 a216分【解析】（1）当 a=0 时，去绝对值变分段函数，再求 f（x）=0 的根，即为函数零点；（2）当 a=4 时，f（x）=x|x-4|+2x-3；再对 x 的取值进行分类讨论去掉绝对值符号：当2x4 时，当 4x5 时，分别求出在各自区间上的最值，最后综合得到函数 f（x）的最值（3）题目中条件：“x1，2时，f（x）2x-2 恒成立”转化为 f（x）=x 2-ax1 恒成立，下面只要利用分离参数法求出函数 x- 和 x+ 在给定区间上的最值即得本题考查了函数恒成立问题，属难题
