1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 10及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.2010年第 4题求极限 （分数：2.00）A.用洛必达法则后，求得极限为 0B.因为C.原式=D.因为不能用洛必达法则，故极限不存在2.2011年第 3题当 x0 时，3 x 一 1是 x的( )。（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小3.2012年第 2题设 (x)=1 一 cosx，(x)=2x 2 ，则当 x0 时，下列结论中正确的是( )。（分数：2.00）A.(x)与
2、x)是等价无穷小B.(x)与 (x)的高阶无穷小C.(x)与 (x)低阶无穷小D.(x)与 (x)是同阶无穷小但不是等价无穷小4.2013年第 2题若 （分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=2C.a=1，b=1D.a=1，b=15.2014年第 1题若 （分数：2.00）A.一 ln 2B.ln 2C.1D.26.2014年第 7题设 a n =(1+ （分数：2.00）A.单调增而无上界B.单调增而有上界C.单调减而无下界D.单调减而有上界7.2005年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.一 1D.8.2009年第 4题若函数 f(x)在点 x
3、0 间断，g(x)在点 x 0 连续，则 f(x)g(x)在点 x 0 ( )。（分数：2.00）A.间断B.连续C.第一类间断D.可能间断可能连续9.2010年第 5题下列命题正确的是( )。（分数：2.00）A.分段函数必存在间断点B.单调有界函数无第二类间断点C.在开区间连续，则在该区间必取得最大值和最小值D.在闭区间上有间断点的函数一定有界10.2011年第 4题函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.无穷多个11.2012年第 1题设 f(x)= （分数：2.00）A.跳跃间断点B.可去间断点C.第二类间断点D.连续点12.2014年第 3题点 x=0是 y=arc
4、tan （分数：2.00）A.可去间断点跳跃间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点13.2016年第 5题f(x)在点 x 0 处的左、右极限存在且相等是 f(x)在点 x 0 处连续的( )。（分数：2.00）A.必要非充分的条件B.充分非必要的条件C.充分且必要的条D.既非充分又非必要的条件14.2005年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.0D.一 115.2006年第 5题函数 y= 在点 x的导数是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.16.2007年第 5题函数 y= 在 x处的微分是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.17.2008
5、年第 5题函数 y=sin 2 是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.18.2008年第 6题已知 f(x)是二阶可导的函数，y=e 2f(x) ，则 （分数：2.00）A.e 2f(x)B.e 2f(x) f“(x)C.e 2f(x) (2f(x)D.2e 2f(x) 2(f(x) 2 +f“(x)19.2009年第 5题函数 y=cos 2 是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.20.2010年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=2C.a=1，b=0D.a=一 1，b=021.2011年第 5题若函数 f(x)在点 x 0 可
6、导，g(x)在点 x 0 不可导，则 f(x)g(x)在点 x 0 处( )。（分数：2.00）A.可能可导，也可能不可导B.不可导C.可导D.连续22.2012年第 3题设 y=ln(cosx)，则微分 dy等于( )。（分数：2.00）A.B.cotxdxC.一 tanxdxD.23.2013年第 3题已知 （分数：2.00）A.一 tantB.tantC.一 sintD.cott24.2013年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导25.2014年第 5题 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.26.2016年
7、第 2题已知 （分数：2.00）A.1B.一 1C.2D.027.2006年第 7题设函数 f(x)在(一，+)上是奇函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内必有( )。（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)028.2007年第 7题函数 y=f(x)在点 x=x 0 处取得极小值，则必有( )。（分数：2.00）A.f(x 0 )=0B.f“(x 0 )0C.f(x 0 )=0且 f“(x 0 )0D.f(x 0 )=0或导数不存在29.2007年第 8题对于曲线 y= （分数：
8、2.00）A.有 3个极值点B.有 3个拐点C.有 2个极值点D.对称原点30.2008年第 7题函数 y=x 3 一 6x上切线平行于 x轴的点是( )。（分数：2.00）A.(0，0)B.(C.D.(1，2)和(一 1，2)31.2008年第 8题设函数 f(x)在(一，+)上是偶函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内必有( )。（分数：2.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)0注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 10答案解析(总分：62.00，做题时间
9、90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.2010年第 4题求极限 （分数：2.00）A.用洛必达法则后，求得极限为 0B.因为C.原式= D.因为不能用洛必达法则，故极限不存在解析：解析：因为 =0(无穷小与有界量的乘积)，而 ，当 x0 时极限不存在，故不能用洛必达法则，但求导后极限不存在，不能得出原极限不存在，所以选项 A和 D都不对；又2.2011年第 3题当 x0 时，3 x 一 1是 x的( )。（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析： 3.2012年第 2题设 (x)=1 一 cosx，(x)=2x
10、2 ，则当 x0 时，下列结论中正确的是( )。（分数：2.00）A.(x)与 (x)是等价无穷小B.(x)与 (x)的高阶无穷小C.(x)与 (x)低阶无穷小D.(x)与 (x)是同阶无穷小但不是等价无穷小 解析：解析：因4.2013年第 2题若 （分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=2C.a=1，b=1 D.a=1，b=1解析：解析：当 x1 时分母的极限为零，又因为这个商式的极限存在，分子的极限必为零，故 5.2014年第 1题若 （分数：2.00）A.一 ln 2 B.ln 2C.1D.2解析：解析：由 6.2014年第 7题设 a n =(1+ （分数：2.00）A
11、单调增而无上界B.单调增而有上界 C.单调减而无下界D.单调减而有上界解析：解析：利用二项式公式 比较 a n 、a n+1 的展开式，可以看到除前两项外，a n 的每一项都小于 a n+1 的对应项，并且 a n+1 还多了值大于零的最后一项，因此 a n a n+1 ；又有 7.2005年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.0 B.1C.一 1D.解析：解析：f(x)在 x=0处连续，则在该点左右极限存在且相等，并等于 f(0)=1+a，由于 8.2009年第 4题若函数 f(x)在点 x 0 间断，g(x)在点 x 0 连续，则 f(x)g(x)在点 x 0 ( )。（分
12、数：2.00）A.间断B.连续C.第一类间断D.可能间断可能连续 解析：解析：可通过举例说明，例如取 x 0 =0，f(x)= ，g(x)=0，f(x)在 x 0 间断，g(x)连续，f(x)g(x)=g(x)在 x 0 连续；取 x 0 =0，f(x)= 9.2010年第 5题下列命题正确的是( )。（分数：2.00）A.分段函数必存在间断点B.单调有界函数无第二类间断点 C.在开区间连续，则在该区间必取得最大值和最小值D.在闭区间上有间断点的函数一定有界解析：解析：第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，有界函数不可能有无穷间断点，单调函数不可能有振荡间断点，故单调有界函数无第二类间断点。
13、分段函数可以不存在间断点，闭区间上连续的函数在该区间必取得最大值和最小值，在闭区间上连续的函数一定有界，故其他三个选项都是错误的，应选 B。10.2011年第 4题函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.无穷多个解析：解析：函数 f(x)有无穷多个间断点 x=0，1，2，11.2012年第 1题设 f(x)= （分数：2.00）A.跳跃间断点B.可去间断点C.第二类间断点D.连续点 解析：解析： 12.2014年第 3题点 x=0是 y=arctan （分数：2.00）A.可去间断点跳跃间断点B.跳跃间断点 C.连续点D.第二类间断点解析：解析： ，左右极限存在但不相等，故
14、 x=0是 y=arctan13.2016年第 5题f(x)在点 x 0 处的左、右极限存在且相等是 f(x)在点 x 0 处连续的( )。（分数：2.00）A.必要非充分的条件 B.充分非必要的条件C.充分且必要的条D.既非充分又非必要的条件解析：解析：由 f(x)在点 x 0 处连续，能得出 f(x)在点 x 0 处的左、右极限存在且相等，但仅由 f(x)在点 x 0 处的左、右极限存在且相等，不能得到 f(x)在点 x 0 处连续，应选 A。14.2005年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.0D.一 1 解析：解析：分段函数在交接点处要考虑左右导数，只有当左右
15、导数都存在且相等才在这点可导，因为f - (0)= 15.2006年第 5题函数 y= 在点 x的导数是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用两个函数乘积求导公式以及复合函数求导法则，有 y=16.2007年第 5题函数 y= 在 x处的微分是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：首先 dy=ydx，再利用两个函数商的求导公式以及复合函数求导法则，有 dy=17.2008年第 5题函数 y=sin 2 是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由复合函数求导规则，以及 2sin xcos x=sin 2x，有18.2008年第 6题
16、已知 f(x)是二阶可导的函数，y=e 2f(x) ，则 （分数：2.00）A.e 2f(x)B.e 2f(x) f“(x)C.e 2f(x) (2f(x)D.2e 2f(x) 2(f(x) 2 +f“(x) 解析：解析： 19.2009年第 5题函数 y=cos 2 是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由复合函数求导规则，20.2010年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=2 C.a=1，b=0D.a=一 1，b=0解析：解析：显然函数 f(x)在除 x=1点外处处可导，只要讨论 x=1点则可。由于 f(x)在 x=1连
17、续，f(1+0)=f(1一 0)a+b=1，f - (1)= 21.2011年第 5题若函数 f(x)在点 x 0 可导，g(x)在点 x 0 不可导，则 f(x)g(x)在点 x 0 处( )。（分数：2.00）A.可能可导，也可能不可导 B.不可导C.可导D.连续解析：解析：可举例说明，取 f(x)=1，g(x)=x，x 0 =0，则 f(x)在点 x 0 可导，g(x)在点 x 0 不可导，而 f(x)g(x)=g(x)在点 x 0 不可导；取 f(x)=x，g(x)=x，x 0 =0，则 f(x)在点 x 0 可导，g(x)在点 x 0 不可导，而 f(x)g(x)=xx在点 x 0
18、可导，应选 A。22.2012年第 3题设 y=ln(cosx)，则微分 dy等于( )。（分数：2.00）A.B.cotxdxC.一 tanxdx D.解析：解析：dy=f(x)dx=23.2013年第 3题已知 （分数：2.00）A.一 tant B.tantC.一 sintD.cott解析：解析：24.2013年第 6题设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导 D.可导解析：解析：由 (4x1)=3，知 f(x)在 x=1连续，再由 f - (1)= 25.2014年第 5题 等于( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：
19、令 t=26.2016年第 2题已知 （分数：2.00）A.1B.一 1C.2 D.0解析：解析：27.2006年第 7题设函数 f(x)在(一，+)上是奇函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内必有( )。（分数：2.00）A.f(x)0，f(x)0B.f(x)0，f(x)0 C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)0解析：解析：该题有两种解法，利用奇函数图形关于原点对称，偶函数图形关于 y轴对称。 方法一：当f(x)在(一，+)上一阶和二阶导数存在时，若 f(x)在(一，+)上是奇函数，则 f(x)在(一，+)上是偶函数，且 f“(x)在(一，+)
20、上是奇函数；再由在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，利用上述对称性，故在(一，0)内必有 f(x)0，f“(x)0，应选 B。 方法二：函数 f(x)在(一，+)上是奇函数，其图形关于原点对称，由于在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，f(x)单调减少，其图形为凹的；故在(一，0)内，f(x)应单调减少，且图形为凸的，所以有 f(x)0，f“(x)。28.2007年第 7题函数 y=f(x)在点 x=x 0 处取得极小值，则必有( )。（分数：2.00）A.f(x 0 )=0B.f“(x 0 )0C.f(x 0 )=0且 f“(x 0 )0D.f(x 0 )=0或导数不存在 解析
21、解析：f(x 0 )=0的点 x=x 0 是驻点，并不一定是极值点；f(x 0 )=0且 f“(x 0 )0 是 y=f(x)在点 x=x 0 处取得极小值的充分条件，但不是必要的，故选项 A、B、C 都不正确；极值点必从驻点或导数不存在点取得，应选 D。29.2007年第 8题对于曲线 y= （分数：2.00）A.有 3个极值点 B.有 3个拐点C.有 2个极值点D.对称原点解析：解析：函数 y= x 3 在(一，+)处处可导，由 y=x 2 (x 2 1)=0，求得三个驻点x=1，x=0，在 x=1的两侧邻近一阶导数符号发生变化，故 x=1是极值点，而在 x=0两侧邻近一阶导数符号没发生
22、变化，故 x=0不是极值点，因而曲线 y= x 3 有两个极值点，A 选项是错的。再由y“=2x(2x 2 一 1)=0，解得 x=0，x= ，经判别这三个点都是拐点的横坐标，故有 3个拐点，B 选项正确；函数 y= 30.2008年第 7题函数 y=x 3 一 6x上切线平行于 x轴的点是( )。（分数：2.00）A.(0，0)B.(C. D.(1，2)和(一 1，2)解析：解析：由于导数 f(x 0 )表曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处切线的斜率，故要求切线平行于 x轴的点即是求导数为零的点，由 y=3x 2 一 6=0x= ，代入 y=x 3 一 6x，得 y= 31.2008年第 8题设函数 f(x)在(一，+)上是偶函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内必有( )。（分数：2.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0 C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)0解析：解析：函数 f(x)在(一，+)上是偶函数，其图形关于 y对称，由于在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，f(x)单调增加，其图形为凹的；故在(一，0)内，f(x)应单调减少，且图形仍为凹的，所以有 f(x)0，f“(x)0，应选 B。
