1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 14 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_2.设 A 是一个 n 阶方阵，已知|A|2，则|2A|等于：（分数：2.00）A.(2) n+1B.(1) n 2 n+1C.2 n+1D.2 23.设 A 为三阶方阵，且|A|3，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A、B 都是 n 阶可逆矩阵，则 （分数：2.00）A.(3) n |A|B| 1B.3|A| T |B| TC.3|A|
2、T |B| 1D.(3) 2n |A|B| 15.以下结论中哪一个是正确的？（分数：2.00）A.若方阵 A 的行列式|A|0，则 A0B.若 A 2 0，则 A0C.若 A 为对称阵，则 A 2 也是对称阵D.对任意的同阶方阵 A、B 有(A+B) (AB)A 2 B 26.方程 的解 X 是： （分数：2.00）A.B.C.D.7.矩阵 （分数：2.00）A.4B.3C.2D.18.设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB0，则 R(A)，R(B)满足：（分数：2.00）A.必有一个等于 0B.都小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n9.设 A mn ，B mn （mn），
3、则下列运算结果不为 n 阶方阵的是：（分数：2.00）A.BAB.ABC.(BA) TD.A T B T10.若 1 ， 2 ， r 是向量组 1 ， 2 ， r ， n 的最大无关组，则结论不正确的是：（分数：2.00）A. n 可由 1 ， 2 ， r 线性表示B. 1 可由 r+1 ， r+2 ， n 线性表示C. 1 可由 1 ， 2 ， r 线性表示D. n 可由 r+1 ， r+2 ， n 线性表示11.如果向量 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则下列结论中正确的是：（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s 使等式 pk 1 1 +k 2 2
4、 +k s s 成立B.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s 使等式 pk 1 1 +k 2 2 +k s s 成立C.存在一组数 k 1 ，k 2 ，k s 使等式 k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立D.对 的线性表达式唯一12.设向量组的秩为 r，则：（分数：2.00）A.该向量组所含向量的个数必大于 rB.该向量级中任何 r 个向量必线性无关，任何 r+1 个向量必线性相关C.该向量组中有 r 个向量线性无关，有 r+1 个向量线性相关D.该向量组中有 r 个向量线性无关，任何 r+1 个向量必线性相关13.非齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2B.4C.6D.8
5、14.线性方程组 Ax0，若是 A 是 n 阶方阵，且 R(A)n，则该方程组：（分数：2.00）A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.A，B，C 皆不对15.矩阵 的特征值是： （分数：2.00）A.B.C.D.16.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.1，0，1B.1，1，2C.1，1，2D.1，1，117.设 （分数：2.00）A.3B.4C.D.118.设二次型 f(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+2x 1 x 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 ，当 为何值时，f 是正定的？（分数：2.00）A.1B.2C.2D.019.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 1
6、 2 +（ 一 1） 2 2 +( 2 +1)x 3 2 ，当满足( )时，是正定二次型。（分数：2.00）A.0B.1C.1D.以上选项均不成立20.设事件 A，B 相互独立，且 P(A) ，则 P(B|A ）等于： （分数：2.00）A.B.C.D.21.将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率为： （分数：2.00）A.B.C.D.22.设随机变量 X 的概率密度为 ，则 P(0X3)等于： （分数：2.00）A.B.C.D.23.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为 f(x，y) （分数：2.00）A.2B.1C.D.24.若 P(A)05，
7、P(B)04，P( （分数：2.00）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.925.设随机变量 XN(0， 2 )，则对于任何实数 ，都有：（分数：2.00）A.P(X)P(X)B.P(X)P(X)C.XN(， 2 2 )D.XN(0， 2 )26.设随机变量 X 的概率密度为 数学期望是： （分数：2.00）A.B.C.D.27.设总体 X 的概率密度为 f(x，) （分数：2.00）A.B.C.min(x 1 ，x 2 ，x n )D.max(x 1 ，x 2 ，x n )28.若 P(A)0，P(B)0，P(A|B)P(A)，则下列各式不成立的是：（分数：2.00）A.P(B|A)P(B
8、)B.P(A|C.P(AB)P(A)P(B)D.A，B 互斥29.10 张奖券含有 2 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前四个购买者恰有 1 人中奖的概率是：（分数：2.00）A.08 4B.1C.C 10 6 02 08 3D.08 3 0230.若 P(A)08， （分数：2.00）A.0.4B.0.6C.0.5D.0.3注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 14 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是一个
9、n 阶方阵，已知|A|2，则|2A|等于：（分数：2.00）A.(2) n+1B.(1) n 2 n+1 C.2 n+1D.2 2解析：解析： 3.设 A 为三阶方阵，且|A|3，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A 2 为三阶方阵，数乘矩阵时，用这个数乘矩阵的每一个元素。矩阵的行列式，按行列式运算法则进行， 4.设 A、B 都是 n 阶可逆矩阵，则 （分数：2.00）A.(3) n |A|B| 1B.3|A| T |B| TC.3|A| T |B| 1D.(3) 2n |A|B| 1 解析：解析：因为 A、B 都是 n 阶可逆矩阵，矩阵 为 2n 行 2n 列矩阵，同时注意
10、正确运用数乘矩阵和行列式的运算法则，计算如下：5.以下结论中哪一个是正确的？（分数：2.00）A.若方阵 A 的行列式|A|0，则 A0B.若 A 2 0，则 A0C.若 A 为对称阵，则 A 2 也是对称阵 D.对任意的同阶方阵 A、B 有(A+B) (AB)A 2 B 2解析：解析：利用两矩阵乘积的转置运算法则，(AB) T B T A T ，得出结论 C。计算如下： (A 2 ) T (AA) T A T A T AAA 26.方程 的解 X 是： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：AXB，XA 1 B， 7.矩阵 （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：利
11、用矩阵的初等行变换，把矩阵 A 化为行的阶梯形，非零行的个数即为矩阵的秩。8.设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB0，则 R(A)，R(B)满足：（分数：2.00）A.必有一个等于 0B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：解析：利用矩阵的秩的相关知识，可知 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB0，则有 R(A)+R(B)n，而 A、B 已知为 n 阶非零矩阵，1R(A)n，1R(B)n，所以 R(A)、R(B)都小于 n。9.设 A mn ，B mn （mn），则下列运算结果不为 n 阶方阵的是：（分数：2.00）A.BAB.AB C.(BA) TD.A T
12、 B T解析：解析：选项 A，B nm A mn (BA) nn ，故 BA 为 n 阶方阵。选项 B，A mn B nm (AB) mm ，故 AB 为 m 阶方阵。选项 C，因 BA 为行阶方阵，故其转置(BA) T 也为 n 阶方阵。选项 D，因 A T B T (BA) T ，故 A T B T 也是 n 阶方阵。10.若 1 ， 2 ， r 是向量组 1 ， 2 ， r ， n 的最大无关组，则结论不正确的是：（分数：2.00）A. n 可由 1 ， 2 ， r 线性表示B. 1 可由 r+1 ， r+2 ， n 线性表示 C. 1 可由 1 ， 2 ， r 线性表示D. n 可由
13、r+1 ， r+2 ， n 线性表示解析：解析：可通过向量组的极大无关组的定义，以及向量的线性表示的定义，判定 A、C 成立，选项 D也成立，选项 B 不成立。11.如果向量 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则下列结论中正确的是：（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s 使等式 pk 1 1 +k 2 2 +k s s 成立B.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s 使等式 pk 1 1 +k 2 2 +k s s 成立C.存在一组数 k 1 ，k 2 ，k s 使等式 k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立 D.对 的线性表达式唯一解析：
14、解析：向量 能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，仅要求存在一组数 k 1 ，k 2 ，k s ，使等式 k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立，而对 k 1 ，k 2 ，k s 是否为零并没有做规定，故选项 A、B 排除。若 的线性表达式唯一，则要求 1 ， 2 ， s 线性无关，但题中没有给出该条件，故 D 也不成立。12.设向量组的秩为 r，则：（分数：2.00）A.该向量组所含向量的个数必大于 rB.该向量级中任何 r 个向量必线性无关，任何 r+1 个向量必线性相关C.该向量组中有 r 个向量线性无关，有 r+1 个向量线性相关D.该向量组中有 r 个向量线性无关，任何 r
15、1 个向量必线性相关 解析：解析：设该向量组构成的矩阵为 A，则有 R(A)r，于是在 A 中有 r 阶子式 D r 0，那么这 r 阶子式所在列（行）向量组线性无关。又由 A 中所有 r+1 阶子式均为零，则可知 A 中任意 r+1 个列（行）向量都线性相关，故正确选择为选项 D。13.非齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2B.4 C.6D.8解析：解析：a 应使增广矩阵秩 系数矩阵秩 R(A)。14.线性方程组 Ax0，若是 A 是 n 阶方阵，且 R(A)n，则该方程组：（分数：2.00）A.有唯一解B.有无穷多解 C.无解D.A，B，C 皆不对解析：解析：当方阵的行列式|A|0，
16、即 R(A)n 时，Ax0 仅有唯一解，当|A|0，即 R(A)n 时，齐次线性方程组有无穷多解。15.矩阵 的特征值是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：令|AE|0，即 16.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.1，0，1B.1，1，2C.1，1，2 D.1，1，1解析：解析：方法 1：计算特征方程的根，|E A|0，求 值。 求出 值。 方法 2：用此方法较简便。利用 n 阶矩阵 A 的特征值与矩阵 A 的行列式之间的关系，设矩阵 A 的特征值为 1 ， 2 ， n 。 1 2 3 n |A|， 1 + 2 + 11 a 11 +a 22 +a m ，计算 17.设 （分数
17、2.00）A.3B.4 C.D.1解析：解析：利用矩阵的特征值与矩阵的特征向量关系的重要结论：设 为 A 的特征值，则矩阵kA、aA+bE、A 2 、A m 、A 1 、A * 分别有特征值：k、a+b、 2 、 m 、 ，（0）且特征向量相同（其中 a，b 为常数，m 为正整数）。 矩阵(2A 3 ) 1 对应的特征值应是矩阵 2A 3 对应特征值的倒数，下面求矩阵 2A 3 对应的特征值。已知 是非奇异矩阵 A 的特征值，矩阵 A 3 对应的特征值为矩阵 A 对应的特征值 的三次方（ ） 3 ，矩阵 2A 3 对应的特征值为 ，从而(2A 3 ) 1 对应的特征值为 18.设二次型 f(
18、x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+2x 1 x 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 ，当 为何值时，f 是正定的？（分数：2.00）A.1B.2C.2 D.0解析：解析：写出二次型 f 对应的矩阵 ，f 是正定的，只要各阶顺序主子式大于 0。 19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 1 2 +（ 一 1） 2 2 +( 2 +1)x 3 2 ，当满足( )时，是正定二次型。（分数：2.00）A.0B.1C.1 D.以上选项均不成立解析：解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数等于未知数的个数，它的标准形中的系数全为正，即
19、0，10， 2 +10，推出 1。20.设事件 A，B 相互独立，且 P(A) ，则 P(B|A ）等于： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 因为 A、B 相互独立，所以 也相互独立。 有 P(AB)P(A)P(B)，21.将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率为： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然为古典概型， 一个球一个球地放入杯中，每个球都有 4 种放法，所以所有可能结果数 n44464，事件 A“杯中球的最大个数为 2 n 即 4 个杯中有一个杯子里有 2 个球，有 1 个杯子有 1 个球，还有两个空杯。 第一个球有 4
20、 种放法，从第二个球起有两种情况： 第 2 个球放到已有一个球的杯中（一种放法），第 3 个球可放到 3 个空杯中任一个（3 种放法）； 第 2 个球放到 3 个空杯中任一个（3 种放法），第 3 个球可放到两个有球杯中（2 种放法）。 则 m413+3236， 因此 P(A) 或设 A i （i1，2，3）表示“标中球的最大个数为 i”，则 P(A 2 )1P (A 1 )一P(A 3 ) 22.设随机变量 X 的概率密度为 ，则 P(0X3)等于： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P(0X3) 0 3 (x)dx 23.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为 f
21、x，y) （分数：2.00）A.2 B.1C.D.解析：解析：因 所以 XN(0，1)，yN(0，1)，X，Y 相互独立。 E(X 2 +Y 2 )E(X 2 )+E(Y 2 )D(X)+E(X) 2 +D(Y)+E(Y) 2 1+12 24.若 P(A)05，P(B)04，P( （分数：2.00）A.0.6B.0.7 C.0.8D.0.9解析：解析：25.设随机变量 XN(0， 2 )，则对于任何实数 ，都有：（分数：2.00）A.P(X)P(X)B.P(X)P(X) C.XN(， 2 2 )D.XN(0， 2 )解析：解析：判断选项 A、B 对错。 方法 1：利用定积分、广义积分的几何意
22、义 P（aXb） a b f(x)dxS S 为a，b上曲边梯形的面积。 N（0， 2 ）的概率密度为偶函数，图形关于直线 x0 对称。因此选项 B 对，选项 A 错。 方法 2：利用正态分布概率计算公式 26.设随机变量 X 的概率密度为 数学期望是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：27.设总体 X 的概率密度为 f(x，) （分数：2.00）A.B.C.min(x 1 ，x 2 ，x n ) D.max(x 1 ，x 2 ，x n )解析：解析：似然函数： 28.若 P(A)0，P(B)0，P(A|B)P(A)，则下列各式不成立的是：（分数：2.00）A.P(B|A)P(B)B.P(A|C.P(AB)P(A)P(B)D.A，B 互斥 解析：解析：因 P(A|B)P(A)，所以29.10 张奖券含有 2 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前四个购买者恰有 1 人中奖的概率是：（分数：2.00）A.08 4B.1 C.C 10 6 02 08 3D.08 3 02解析：解析：设 A i 表示第 i 个买者中奖（i1，2，3，4），B 表示前 4 个购买者恰有 1 个人中奖。 30.若 P(A)08， （分数：2.00）A.0.4 B.0.6C.0.5D.0.3解析：解析： P(AB)P(A)P(AB)，P(AB)P(A) 080206，
