1、2017年上海市徐汇区高考一模数学 一、填空题 (共 12小题，第 1题至第 6题每小题 4分，第 7题至第 12题每小题 4分，满分54分 ) 1. 25lim1n nn =_. 解析：522 5 2 0l i m l i m11 1 01nnn nnn =2. 答案： 2. 2.已知抛物线 C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x轴上，若 C经过点 M(1， 3)，则其焦点到准线的距离为 _. 解析： 由题意可知：由焦点在 x轴上，若 C经过点 M(1， 3)， 则图象经过第一象限， 设抛物线的方程： y2=2px， 将 M(1， 3)代入 9=2p，解得： 92p， 抛物线的标准方程为：
2、 y2=9x， 由焦点到准线的距离 9 2dp. 答案： 92. 3.若线性方程组的增广矩阵为 0201ab，解为 21xy，则 a+b=_. 解析： 由题意知 21xy是方程组 2axyb的解， 即 221ab， 则 a+b=1+1=2. 答案 ： 2. 4.若复数 z满足： 3i z i (i是虚数单位 )，则 |z|=_. 解析： 由 3i z i ，得 3 13izii ， 故 1 3 2z . 答案： 2. 5.在 622()x x 的二项展开式中第四项的系数是 _. 解析： 在 622()x x 的二项展开式中第四项： 33 3 3 3 34 6 622 8 1 6 0T C x
3、C x xx . 在 622()x x 的二项展开式中第四项的系数是 160. 答案： 160. 6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，若 AB=BC=1， AA1= 2 ，则异面直线 BD1与 CC1所成角的大小为_. 解析： 如图，连接 D1B1； CC1 BB1； BD1与 CC1所成角等于 BD1与 BB1所成角； B1BD1为异面直线 BD1与 CC1所成角； 在 Rt BB1D1中， 111122c o s21 1 2BBB B DBD ； 异面直线 BD1与 CC1所成角的大小为4. 答案：4. 7.若函数2( ) 2 00xf x xx m x ， 的值域为 (-， 1，
4、则实数 m的取值范围是 _. 解析： x 0时： f(x)=2x (0， 1. x 0时， f(x)=-x2+m，函数的对称轴 x=0， f(x)在 (-， 0)递增， f(x)=-x2+m m， 函数2( ) 2 00xf x xx m x ， 的值域为 (-， 1， 故 0 m 1. 答案： (0， 1. 8.如图，在 ABC中，若 AB=AC=3， 1c o s2BAC， 2DC BD ，则 AD BC =_. 解析： 根据条件： AD AB BD = 13AB BC= 13A B A C A B= 2133AB AC； 2133A D B C A B A C A C A B = 221
5、 2 13 3 3A B A C A B A C = 1 1 2 13 3 9 93 2 3 3 = 32. 答案 ： 32. 9.定义在 R上的偶函数 y=f(x)，当 x 0时， f(x)=lg(x2-3x+3)，则 f(x)在 R上的零点个数为 _个 . 解析： 当 x 0时， f(x)=lg(x2-3x+3)， 函数的零点由： lg(x2-3x+3)=0，即 x2-3x+3=1，解得 x=1或 x=2. 因为函数是定义在 R上的偶函数 y=f(x)，所以函数的零点个数为： 4个 . 答案： 4. 10.将 6辆不同的小汽车和 2辆不同的卡车驶入如图所示的 10 个车位中的某 8 个内，
6、其中 2辆卡车必须停在 A与 B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 _种？ (结果用数值表示 ) 解析：由题意，不同的停车位置安排共有 2628 40320AA种 . 答案： 40320. 11.已知数列 an是首项为 1，公差为 2m 的等差数列，前 n项和为 Sn，设2nn nSb n (n N*)，若数列 bn是递减数列，则实数 m 的取值范围是 _. 解析： 21 2 ( 1 )2nnnS n m m n m n . 122nn nnS m n mb n ， 数列 bn是递减数列， bn+1 bn， 111 122nnn m m m n m ， 化为： m(n-2)+1 0，对于 n
7、 N*都成立 . n=1时， m 1； n=2时， m R； n 2时， 12m n，解得 m 0. 综上可得： m 0， 1). 答案： 0， 1). 12.若使集合 A=x|(kx-k2-6)(x-4) 0， x Z中的元素个数最少，则实数 k的取值范围是_. 解析： 集合 A=x|(kx-k2-6)(x-4) 0， x Z， 方程 (kx-k2-6)(x-4)=0， 解得：1 6xkk， x2=4， (kx-k2-6)(x-4) 0， x Z 当 k=0时， A=(-， 4)； 当 k 0时， 64 kk， A=(-， 4) ( 6kk， + )； 当 k 0时， 6kk 4， A=(
8、6kk， 4). 当 k 0时，集合 A 的元素的个数无限； 当 k 0时， 6kk 4， A=( 6kk， 4).集合 A的元素的个数有限， 令函数 g(k)= 6kk， (k 0) 则有： 26gk（ ） ， 题意要求 x Z， 故得： 6kk -5，且 6kk -4， 解得： -3 k -2 答案 ： -3， -2. 二、选择题 (共 4小题，每小题 5分，满分 20分 ) 13.“4x k k Z （ ）”是“ tanx=1”成立的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： tanx=1，4x k k Z （ ）4x k k
9、 Z （ ）则 tanx=1， 根据充分必要条件定义可判断： “4x k k Z （ ）”是“ tanx=1”成立的充分必要条件 . 答案： C 14.若 12i (i是虚数单位 )是关于 x的实系数方程 x2+bx+c=0的一个复数根，则 ( ) A.b=2， c=3 B.b=2， c=-1 C.b=-2， c=-1 D.b=-2， c=3 解析： 12i 是关于 x的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根， 12i 是关于 x的实系数方程 x2+bx+c=0的一个复数根， 1 2 1 21 2 1 2i i bi i c ，解得 b=-2， c=3. 答案： D. 15.已知函数 f
10、(x)为 R 上的单调函数， f-1(x)是它的反函数，点 A(-1， 3)和点 B(1， 1)均在函数 f(x)的图象上，则不等式 |f-1(2x)| 1的解集为 ( ) A.(-1， 1) B.(1， 3) C.(0， log23) D.(1， log23) 解析： 点 A(-1， 3)和点 B(1， 1)在图象上， f(-1)=3， f(1)=1，又 f-1(x)是 f(x)的反函数， f-1(3)=-1， f-1(1)=1， 由 |f-1(2x)| 1，得 -1 f-1(2x) 1， 即 f-1(3) f-1(2x) f-1(1)， 函数 f(x)为 R的减函数， f-1(x)是定义域
11、上的减函数， 则 1 2x 3，解得： 0 x log23. 不等式 |f-1(2x)| 1 的解集为 (0， log23). 答案： C. 16.如图，两个椭圆 22125 9xy， 22125 9yx内部重叠区域的边界记为曲线 C， P是曲线 C上任意一点，给出下列三个判断： P到 F1(-4， 0)、 F2(4， 0)、 E1(0， -4)、 E2(0， 4)四点的距离之和为定值； 曲线 C关于直线 y=x、 y=-x均对称； 曲线 C所围区域面积必小于 36. 上述判断中正确命题的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析： 对于，若点 P 在椭圆 22125 9xy
12、上， P到 F1(-4， 0)、 F2(4， 0)两点的距离之和为定值、到 E1(0， -4)、 E2(0， 4)两点的距离之和不为定值，故错； 对于，两个椭圆 22125 9xy， 22125 9yx关于直线 y=x、 y=-x均对称，曲线 C关于直线y=x、 y=-x均对称，故正确； 对于，曲线 C所围区域在边长为 6的正方形内部，所以面积必小于 36，故正确 . 答案 ： C 三、解答题 (共 5小题，满分 76分 ) 17.如图，已知 PA平面 ABC， AC AB， AP=BC=2， CBA=30， D是 AB的中点 . (1)求 PD与平面 PAC所成的角的大小； (2)求 PDB
13、绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积 . 解析： (1)先判断 DPA就是 PD与平面 PAC所成的角，再在 Rt PAD中，即可求得结论； (2) PDB绕直线 PA旋转一周所构成的旋转体，是以 AB为底面半径、 AP 为高的圆锥中挖去一个以 AD为底面半径、 AP 为高的小圆锥，从而可求体积 . 答案： (1) PA平面 ABC， PA AB， 又 AC AB， PA AC=A AB平面 PAC， DPA就是 PD 与平面 PAC 所成的角 . 在 Rt PAD中， PA=2， 32AD， 3t a n4D P A 3a r c t a n4D P A， 即 PD与平面 PAC所成的
14、角的大小为 3arctan4. (2) PDB绕直线 PA旋转一周所构成的旋转体，是以 AB为底面半径、 AP 为高的圆锥中挖去一个以 AD为底面半径、 AP 为高的小圆锥， 221 1 3 33 2 23 3 2 2V . 18.已知函数 23 c o s s i n()c o s 1xxfxx . (1)当 x 0，2时，求 f(x)的值域； (2)已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 32Af ， a=4， b+c=5，求ABC的面积 . 解析： (1)由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式3( ) s i n ( 2 )32f x
15、 x ，结合范围 42 33 3x ， ，利用正弦函数的性质即可得解值域 . (2)由已知可求 3s i n32A （ ），结合范围 4()3 3 3A ，可得3A ，由余弦定理解得： bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解 . 答案： (1) 2 2 33 c o s s i n( ) 3 c o s s i n c o s s i n ( 2 )32c o s 1xxf x x x x xx ， x 0，2， 4233 3x ， 3s i n ( 2 ) 32 1x ，可得： 33( ) s i n ( 2 ) 0 13 22f x x ，. (2) 3s i n ( ) 32 3 2A
16、fA ，可得： 3s i n ( )32A ， A (0， )， 4()3 3 3A ，可得： 233A ，解得：3A . a=4， b+c=5， 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，可得： 16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=25-3bc，解得： bc=3， 1 1 3 3 3s i n 32 2 2 4ABCS b c A . 19.某创业团队拟生产 A、 B两种产品，根据市场预测， A产品的利润与投资额成正比 (如图1)， B产品的利润与投资额的算术平方根成正比 (如图 2).(注：利润与投资额的单位均为万元 ) (1)分别将 A、 B两种产品的利润 f(x)、 g(
17、x)表示为投资额 x的函数； (2)该团队已筹到 10万元资金，并打算全部投入 A、 B两种产品的生产，问：当 B产品的投资额为多少万元时，生产 A、 B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 解析： (1)由 A产品的利润与投资额成正比， B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系； (2)由 (1)的结论，我们设 B产品的投资额为 x万元，则 A产品的投资额为 10-x万元 .这时可以构造出一个关于收益 y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解 . 答案： (1)f(x)=k1x，2()g x k x， f(1)=0
18、.25=k1， g(4)=2k2=2.5， f(x)=0.25x(x 0)， ( ) 1 .2 5g x x (x 0)， (2)设 B产品的投资额为 x万元，则 A产品的投资额为 10-x万元 . y=f(10-x)+g(x)=0.25(10-x)+1.25 x (0 x 10)， 令 t= x ，则 y=-0.25t2+1.25t+2.5， 所以当 t=2.5，即 x=6.25万元时，收益最大，max 6516y 万元 . 20.如图，双曲线： 2 2 13x y的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2作直线 l交 y轴于点 Q. (1)当直线 l平行于的一条渐近线时，求点 F1到直线
19、l的距离； (2)当直线 l的斜率为 1时，在的右支上是否存在点 P，满足110F P FQ？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若直线 l与交于不同两点 A、 B，且上存在一点 M，满足 40O A O B O M (其中O为坐标原点 )，求直线 l的方程 . 解析： (1)由双曲线： 2 2 13x y，焦点在 x轴上， a= 3 ， b=1， 3 1 2c ，则令 13k，直线 l的方程为： 1 ( 2 )3yx，即 x- 3 y-2=0，则点 F1到直线 l的距离为2 0 2 213d ； (2)直线 l的方程为 y=x-2，点 Q(0， -2)，假设在的右支上存在点
20、 P(x0， y0)，则 x0 0，110F P FQ，代入求得 y0=x0+2，代入双曲线方程求得 2x02+12x0+15=0，由 0，所以不存在点 P在右支上； (3)设直线 l的方程为 y=kx+b，联立方程组，由韦达定理则33()OM x y ，1 ()4O M O A O B ， M为双曲线上一点，即 x32-3y32=3，则 x1x2-3y1y2=21由x1x2-3y1y2=x1x2-3(x1+b)(x2+b)， =-2x1x2-3b(x1+x2)-3b22 2226 3 32 3 3 2 11 3 1 3k b bbbkk ，即可求得 k与 b的值，求得直线 l的方程；方法二：
21、设直线 l的方程为 y=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得 M点坐标，代入双曲线的方程，即可求得 m的值 . 答案： (1)双曲线： 2 2 13x y，焦点在 x轴上， a= 3 ， b=1， 3 1 2c ， 则双曲线左、右焦点分别为 F1(-2， 0)， F2(2， 0)， 过 F2作直线 l，设直线 l的斜率为 k， l交 y轴于点 Q. 当直线 l平行于的一条渐近线时，不妨令 13k， 则直线 l的方程为： 1 ( 2 )3yx， 即 x- 3 y-2=0， 则点 F1到直线 l的距离为 2 0 2 213d ； (2)当直线 l的斜率为 1时，直线 l的
22、方程为 y=x-2， 则点 Q(0， -2)； 假设在的右支上存在点 P(x0， y0)，则 x0 0； 110F P FQ， (x0+2)(0+2)+(y0-0)(-2-0)=0， 整理得 y0=x0+2， 与双曲线方程 2 200 13x y联立，消去 y0， 得 2x02+12x0+15=0， =24 0，方程有实根， 解得： 1 2 2 6 34x ， 所以不存在点 P在右支上； (3)当 k=0时，直线 l 的方程 x=2， 则 A(2， 33)， B(2， - 33)，由 1 ()4O M O A O B ， M(1， 0)，则 M不椭圆上，显然不存在， 当直线 l的斜率存在且不为
23、 0时，设直线 l的方程为 y=kx+b， 联立方程组 22 13y kx bx y ， 消去 y，得 (1-3k2)x2-6kbx-3b2-3=0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则12 2613kbxx k， 212 23313bxx k ， 设33()OM x y ， 40O A O B O M ， 1 ()4O M O A O B ， 即 3 1 23 1 21-414x x xy y y ， 又 M为双曲线上一点，即 x32-3y32=3， 由 (x1+x2)2-3(y1+y2)2=48， 化简得： (x12-3y12)+(x22-3y22)+2(x1x2-3y1y
24、2)=48， 又 A(x1， y1)， B(x2， y2)在双曲线上， 所以 x12-3y12=3， x22-3y22=3， x1x2-3y1y2=21， 由直线 l过椭圆的右焦点 F(2， 0)，则2bk， 而 x1x2-3y1y2=x1x2-3(kx1+b)(kx2+b)， =x1x2-3k2x1x2-3kb(x1+x2)-3b2= 2 2226 3 32 3 3 2 11 3 1 3k b bbbkk ， 由解得： 222kb ，或 222kb ， 直线 l的方程 x= 2 y+2. 方法二：设直线 l的方程为 y=my+2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y
25、0) 22213x myx y ，整理得： (m2-3)y2+4my+1=0， 则12 24 3myy m ，12 21 3yy m ， 1 2 1 2 2124 3x x m y y m （ ）， 221 2 1 2 1 2 1 2 21 2 3( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4 3mx x m y m y m y y m y y m ， O A O B O M ，则 (x1+x2， y1+y2)= OM ， 1 2 01 2 0-4-4x x xy y y ， 求得：00223 33mxymm， 由 M在椭圆方程，代入 2 200 13x y，求得 m2=2，解得： 2m ， 直线 l
26、的方程 22xy . 21.正整数列 an， bn满足： a1 b1，且对一切 k 2， k N*， ak是 ak-1与 bk-1的等差中项，bk是 ak-1与 bk-1的等比中项 . (1)若 a2=2， b2=1，求 a1， b1的值； (2)求证： an是等差数列的充要条件是 an为常数数列； (3)记 cn=|an-bn|，当 n 2(n N*)时，指出 c2+ +cn与 c1的大小关系并说明理由 . 解析： (1)正整数列 an， bn满足： a1 b1，且对一切 k 2， k N*， ak是 ak-1与 bk-1的等差中项， bk是 ak-1与 bk-1的等比中项 .可得 2ak=
27、ak-1+bk-1， bk2=ak-1bk-1，对 k取值即可得出 . (2)an是等差数列， 2ak=ak-1+bk-1， 2ak=ak-1+ak+1，可得 bk-1=ak+1， bk=ak+2， bk2=ak-1bk-1， ak+22=ak-1ak+1，k=2时， a42=a1a3， (a1+3d)2=a1(a1+2d)，可得 d=0.即可证明 . (3)对一切 k 2， k N*， ak是 ak-1与 bk-1的等差中项， bk是 ak-1与 bk-1的等比中项 .2an=an-1+bn-1，bn2=an-1bn-1，利用基本不等式的性质可得 211112nnn n n n naba a
28、 b b b ，cn=|an-bn|=an-bn.可得 11 1 1 1222 2 2 2nnn n n n n n n n n n n n naba b a b a b a b a b b a b （ ），即1 12nncc .利用等比数列的求和公式即可得出 . 答案： (1)正整数列 an， bn满足： a1 b1，且对一切 k 2， k N*， ak是 ak-1与 bk-1的等差中项， bk是 ak-1与 bk-1的等比中项 . 2ak=ak-1+bk-1， bk2=ak-1bk-1， a2=2， b2=1，可得 4=a1+b1， 1=a1b1， 解得 a1=2+ 3 ， b1=2- 3
29、 . (2)证明： an是等差数列， 2ak=ak-1+bk-1， 2ak=ak-1+ak+1，可得 bk-1=ak+1， 则 bk=ak+2， bk2=ak-1bk-1， ak+22=ak-1ak+1， k=2时， a42=a1a3， (a1+3d)2=a1(a1+2d)， 6a1d+9d2=2a1d，即 d(4a1+9d)=0，正整数列 an，可知 d 0， 4a1+9d 0， d=0. 数列 an为常数数列 . an是等差数列的充要条件是 an为常数数列 . (3)对一切 k 2， k N*， ak是 ak-1与 bk-1的等差中项， bk是 ak-1与 bk-1的等比中项 . 2an=an-1+bn-1， bn2=an-1bn-1， 211112nnn n n n naba a b b b ， 又已知 a1 b1， cn=|an-bn|=an-bn. 11 1 1 1222 2 2 2nnn n n n n n n n n n n n naba b a b a b a b a b b a b （ ）， 即1 12nncc . 1 2 1211 1 12 2 2n n n nc c c c ， 2 1 1 1 1 12 1 11 1 1 112 2 2 2n nnc c c c c c c . 当 n 2(n N*)时， c2+ +cn c1.
