1、2017年上海市杨浦区高考一模数学 一、填空题 (本大题满分 54 分 )共 12小题， 1-6题每题 4分， 7-12题每题 5分 1.若 “a b” ，则 “a 3 b3” 是 _命题 (填：真、假 ) 解 析 ：函数 f(x)=x3在 R是单调增函数， 当 a b，一定有 a3 b3，故是真命题 . 答案 ：真 . 2.已知 A=( ， 0， B=(a， + )，若 A B=R，则 a的取值范围是 _. 解 析 ：若 A B=R， A=( ， 0， B=(a， + )， 必有 a 0. 答案 ： a 0. 3.z+2z =9+4i(i为虚数单位 )，则 |z|=_. 解 析 ：设 z=x
2、+yi(x， y R)， z+2z =9+4i， x+yi+2(x yi)=9+4i，化为： 3x yi=9+4i， 3x=9， y=4，解得 x=3， y= 4. 223 ( 4 ) 5z . 答案 ： 5. 4.若 ABC中， a+b=4， C=30 ，则 ABC面积的最大值是 _. 解 析 ：在 ABC中， C=30 ， a+b=4， ABC的面积 21 1 1 1 1s i n s i n 3 0 4 12 2 4 4)4 ( 2S a b C a b bab a ，当且仅当 a=b=2时取等号 . 答案 ： 1. 5.若函数 2g 1lo xfx ax 的反函数的图象经过点 ( 2，
3、 3)，则 a=_. 解 析 ： 函数 2g 1lo xfx ax 的反函数的图象经过点 ( 2， 3)， 函数 2g 1lo xfx ax 的图象经过点 (3， 2)， 2 32 lo g 31a ， a=2. 答案： 2. 6.过半径为 2的球 O表面上一点 A作球 O的截面，若 OA与该截面所成的角是 60 ，则该截面的面积是 _. 解 析 ：设截面的圆心为 Q， 由题意得： OAQ=60 ， QA=1， S= 12=. 答案： . 7.抛掷一枚均匀的骰子 (刻有 1， 2， 3， 4， 5， 6)三次，得到的数字依次记作 a， b， c，则a+bi(i为虚数单位 )是方程 x2 2x+
4、c=0的根的概率是 _. 解 析 ：抛掷一枚均匀的骰子 (刻有 1， 2， 3， 4， 5， 6)三次，得到的数字依次记作 a， b， c， 基本事件总数 n=6 6 6=216， a+bi(i为虚数单位 )是方程 x2 2x+c=0的根， (a+bi)2 2(a+bi)+c=0， 即 22 2022a b c aa b b ， a=1， c=b2+1， a+bi(i为虚数单位 )是方程 x2 2x+c=0的根包含的基本事件为： (1， 1， 2)， (1， 2， 5)， a+bi(i为虚数单位 )是方程 x2 2x+c=0的根的概率是 212 1 6 1 0 8p . 答案 ： 1108.
5、8.设常数 a 0，9()ax x展开式中 x6的系数为 4，则 2l i mn na a a =_. 解 析 ： 常数 a 0，9()ax x展开式中 x6的系数为 4， 1 8 39 221 9 9rrr r r r rrT C x a x a C x ， 当 18 3 62 r 时， r=2， 229 4aC，解得 13a， 2211( 1 )1 1 1 1 133 ( 1 )13 3 3 2 313nnnna a a ， 2 1 1 1l i m l i m ( 1 ) 2 3 2n nnna a a . 答案 ： 12. 9.已知直线 l经过点 ( 5,0) 且方向向量为 (2， 1
6、)，则原点 O到直线 l的距离为 _. 解 析 ：直线的方向向量为 (2， 1)，所以直线的斜率为： 12，直线方程为： x+2y+ 5 =0， 由点到直线的距离可知：225 112； 答案 ： 1. 10.若双曲线的一条渐近线为 x+2y=0，且双曲线与抛物线 y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为 _. 解 析 ：抛物线 y=x2的准线： 14y， 双曲线与抛物线 y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为 14a，焦点在 y轴上 . 双曲线的一条渐近线为 x+2y=0， 12ab， 可得 12b， 则此双曲线的标准方程为： 2211116 4yx. 答案 ： 221
7、1116 4yx. 11.平面直角坐标系中，给出点 A(1， 0)， B(4， 0)，若直线 x+my 1=0存在点 P，使得 |PA|=2|PB|，则实数 m的取值范围是 _. 解 析 ：设 P(1 my， y)， |PA|=2|PB|， |PA|2=4|PB|2， (1 my 1)2+y2=4(1 my 4)2+y2， 化简得 (m2+1)y2+8my+12=0 则 =64m2 48m2 48 0， 解得 m 3 或 m 3 ， 即实数 m的取值范围是 m 3 或 m 3 . 答案 ： m 3 或 m 3 . 12.函数 y=f(x)是最小正周期为 4的偶函数，且在 x 2， 0时， f(
8、x)=2x+1，若存在 x1，x2， x n满足 0 x1 x2 xn，且 |f(x1) f(x2)|+|f(x2) f(x1)|+ +|f(xn 1f(xn)|=2016，则 n+xn的最小值为 _. 解 析 ： 函数 y=f(x)是最小正周期为 4的偶函数，且在 x 2， 0时， f(x)=2x+1， 函数的值域为 3， 1，对任意 xi， xj(i， j=1， 2， 3， ， m)，都有 |f(xi) f(xj)| f(x)max f(x)min=4， 要使 n+xn取得最小值，尽可能多让 xi(i=1， 2， 3， ， m)取得最高点，且 f(0)=1， f(2)= 3， 0 x1 x
9、2 xm， |f(x1) f(x2)|+|f(x2) f(x3)|+ +|f(x n 1) f(xn)|=2016， n的最小值为 2016 1 5 0 54 ，相应的 xn最小值为 1008，则 n+xn的最小值为 1513. 答案 ： 1513. 二、选择题 (本大题共 4题，满分 20分 ) 13.若 a 与 bc 都是非零向量，则 “ a b a c ” 是 “ ()a b c” 的 ( ) A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解 析 ： “ a b a c ” “ 0a b a c ” “ ( ) 0a b c ” “ ()a b c”
10、 ， 故 “ a b a c ” 是 “ ()a b c” 的充要条件 . 答案 ： C 14.行列式 1 4 7258369中，元素 7的代数余子式的值为 ( ) A. 15 B. 3 C.3 D.12 解 析 ： 行列式 1 4 7258369， 元素 7的代数余子式为： D13=( 1)4 2536=2 6 5 3= 3. 答案 ： B. 15.一个公司有 8名员工，其中 6名员工的月工资分别为 5200， 5300， 5500， 6100， 6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么 8位员工月工资的中位数不可能是 ( ) A.5800 B.6000 C.6200 D.6400 解
11、 析 ： 一个公司有 8 名员工，其中 6名员工的月工资分别为 5200， 5300， 5500， 6100，6500， 6600， 当另外两名员工的工资都小于 5300时，中位数为 5 3 0 0 5 5 0 0 54002 ， 当另外两名员工的工资都大于 6500时，中位数为 6 1 0 0 6 5 0 0 63002 ， 8位员工月工资的中位数的取值区间为 5400， 6300， 8位员工月工资的中位数不可能是 6400. 答案 ： D. 16.若直线 1xyab通过点 P(cos ， sin )，则下列不等式正确的是 ( ) A.a2+b2 1 B.a2+b2 1 C.22111ab
12、D.22111ab 解 析 ：直线 1xyab通过点 P(cos ， sin )， bcos +asin =ab， 22 s i n ( )a b a b ，其中 tan ba ， 22a b ab， a2+b2 a2b2， 22111ab， 答案 ： D 三、解答题 (满分 76分 )共 5题 17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为 55 毫米线段 AB 和 88毫米的线段 AC以及圆心为 P，半径为 PB 的一段圆弧 BC构成，其中 BAC=60. (1)求半径 PB的长度； (2)现知该零件的厚度为 3毫米，试求该零件的重量 (每 1个立方厘米铜重 8.9克，按四舍五入精确到 0.1
13、克 ).V 柱 =S 底 h. 解析： (1)在 ABP中，由余弦定理建立方程，即可求半径 PB的长度； (2)求出 V 柱 =S 底 h，即可求该零件的重量 . 答案 ： (1) AB=55， AC=88， BP=R， BAC=60.AP=88 R， 在 ABP中，由余弦定理可得： BP2=AB2+AP2 2AB AP cos BAC，可得： R2=552+(88 R)2 2 55 (88 R) cos60 ， 解得： R=49mm. (2)在 ABP中， AP=88 49=39mm， AB=55， BP=49， 2 2 23 9 4 9 5 5 8 9 7c o s 0 . 2 3 4 7
14、2 3 9 4 9 3 8 2 2BPA ， sin BPA 0.972. BPA=arcsin0.972. V 柱 =S 底 h=(S ABP+S 扇形 BPC) h= 21 3 ( a r c s i n 0 . 9 7 2 ) 4 9( 5 5 3 9 ) 32 2 3 6 0 该零件的重量 = 21 3 ( a r c s i n 0 . 9 7 2 ) 4 9( 5 5 3 9 ) 32 2 3 6 0 1000 8.9 82.7. 18.如图所示， l1， l2是互相垂直的异面直线， MN是它们的公垂线段，点 A， B在直线 l1上，且位于 M点的两侧， C 在 l2上， AM=B
15、M=NM=CN (1)求证：异面直线 AC与 BN垂直； (2)若四面体 ABCN的体积 VABCN=9，求异面直线 l1， l2之间的距离 . 解析： (1)欲证 AC NB，可先证 BN 面 ACN，根据线面垂直的判定定理只需证 AN BN， CN BN即可； (2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可 . 答案 ： (1)证明：由已知 l2 MN， l2 l1， MN l1=M，可得 l2 平面 ABN. 由已知 MN l1， AM=MB=MN， 可知 AN=NB且 AN NB. 又 AN为 AC在平面 ABN 内的射影 . AC NB (2) AM=BM=NM=CN， MN是它们的
16、公垂线段， 就是异面直线 l1， l2之间的距离， 由中垂线的性质可得 AN=BN，四面体 ABCN的体积 VABCN=9， 可得： 31 1 193 2 3A B C NV A B M N C N M N ， MN=3. 异面直线 l1， l2之间的距离为 3. 19.如图所示，椭圆 C： 224 1x y，左右焦点分别记作 F1， F2，过 F1， F2分别作直线 l1，l2交椭圆 AB， CD，且 l1 l2. (1)当直线 l1的斜率 k1与直线 BC 的斜率 k2都存在时，求证： k1 k2为定值； (2)求四边形 ABCD面积的最大值 . 解析： (1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到
17、直线 AB、 CD的方程，与椭圆方程联立求得 A、 D的坐标，求出 AD 所在直线斜率得答案； (2)由 (1)结合弦长公式求得 |AB|，再由两平行线间的距离公式求出边 AB、 CD 的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值 . 答案： (1)证明：由椭圆 C： 224 1x y，得 a2=4， b2=1， 22 3c a b . 设 k1=k，则 AB所在直线方程为 y=kx+ 3 k， CD 所在直线方程为 y=kx 3 k， 联立 22431y kx kyx ，得 (1+4k2)x2+8 3 k2x+12k2 4=0. 解得 2224 3 2 114kkxk ，不妨取 222
18、4 3 2 114Bkkxk ，则 223 2 114Bk k kyk同理求得 2224 3 2 114Ckkxk， 223 2 114Ck k kyk . 则 222 22 2 2 23 2 1 3 2 1 2 3 14834 3 2 1 4 3 2 1k k k k k k kkkkk k k k ，则12 11 ()44k k k k ； (2)解：由 (1)知， 228314ABkxx k ， 221 2 414ABkxx k 2 2222222 2 2418 3 4 8 1 61 4 11 4 1 4 1 4A B A BkkkA B k x x x x kk k k . AB、 C
19、D 的距离2231kdk ， 2 4222 2 241 23 8314 1 14四 边 形 A B C Dk k kkSk k k . 令 1+4k2=t(t 1)， 则 23 1 1 1 1831 6 8 1 6S tt ， 当 t=3时， Smax=4. 20.数列 an，定义 an为数列 an的一阶差分数列，其中 an=an+1 an(n N*) (1)若 an=n2 n，试判断 an是否是等差数列，并说明理由； (2)若 a1=1， an an=2n，求数列 an的通项公式； (3)对 (b)中的数列 an，是否存在等差数列 bn，使得 1212 nn n n n nb C b C b
20、 C a ，对一切 n N*都成立，若存在，求出数列 bn的通项公式，若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据数列 an的通项公式 an=n2 n，结合新定义，可判定 an是首项为 4，公差为 2的等差数列； (2)由 an an=2n入手能够求出数列 an的通项公式； (3)结合组合数的性质： 1Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCnn=n(Cn 10+Cn 11+Cn 12+ +Cn 1n 1)=n 2n 1进行求解 . 答案 ： (1)若 an=n2 n，试判断 an是等差数列，理由如下： an=n2 n， an=an+1 an=(n+1)2 (n+1) (n2 n)=2n， an+
21、1 an=2，且 a1=4， an是首项为 4，公差为 2的等差数列； (2) an an=2n. an=an+1 an， an+1 2an=2n， 1112 2 2nnaa ， 数列2nna构成以 12为首项， 12为公差的等差数列， 即 1222 nn nna n an ； (3)b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=an，即 b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=n 2n 1， 1Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCnn=n(Cn 10+Cn 11+Cn 12+ +Cn 1n 1)=n 2n 1， 存在等差数列 bn， bn=n，使得 b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=an对一
22、切自然 n N都成立 . 21.对于函数 f(x)(x D)，若存在正常数 T，使得对任意的 x D，都有 f(x+T) f(x)成立，我们称函数 f(x)为 “T 同比不减函数 ”. (1)求证：对任意正常数 T， f(x)=x2都不是 “T 同比不减函数 ” ； (2)若函数 f(x)=kx+sinx是 “2同比不减函数 ” ，求 k的取值范围； (3)是否存在正常数 T，使得函数 f(x)=x+|x 1| |x+1|为 “T 同比不减函数 ” ；若存在，求 T的取值范围；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据 T同比不减函数的定义即可证明， (2)根据 T同比不减函数的定义，分离参
23、数得到 22s i n ()4kx，根据三角形函数的性质即可求出 k的范围， (3)画出函数 f(x)的图象，根据图象的平移即可求出 T的范围 . 答案 ： (1) f(x)=x2， f(x+T) f(x)=(x+T)2 x2=2xT+T2=T(2x+T)， 由于 2x+T与 0的小无法比较， f(x+T) f(x)不一定成立， 对任意正常数 T， f(x)=x2都不是 “T 同比不减函数， (2) 函数 f(x)=kx+sinx是 “2同比不减函数， s i n s i n2 2 2（ ） （ ） （ ） （ ）f x f x k x x k x x =c o s s i n 2 s i n 02 2 4（ ）kkx x x 恒成立， 22 s i n4（ ）kx， 1 sin(x4) 1， 22k， (3)f(x)=x+|x 1| |x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移 4个单位，即对任意的 x D，都有 f(x+T) f(x)成立， T 4.
