1、2017年上海市松江区高考一模数学 一 .填空题 (本大题满分 56 分 )本大题共有 12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 1 6题每个空格填对得 4分，第 7 12 题每个空格填对得 5分，否则一律得零分 . 1.设集合 M=x|x2=x， N=x|lgx 0，则 M N=_. 解析：集合 M=x|x2=x=0， 1， N=x|lgx 0x|0 x 1， M N=1. 答案： 1. 2.已知 a， b R， i是虚数单位 .若 a+i=2-bi，则 (a+bi)2=_. 解析：由已知等式结合复数相等的条件求得 a， b的值，则复数 a+bi可求，然后利用复数代数形式的
2、乘法运算得答案 . 答案： 3-4i. 3.已知函数 f(x)=ax-1 的图象经过 (1， 1)点，则 f-1(3)=_. 解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案 . 答案： 2. 4.不等式 x|x-1| 0的解集为 _. 解析： x|x-1| 0， x 0， |x-1| 0， 故 x-1 0或 x-1 0， 解得： x 1或 0 x 1， 故不等式的解集是 (0， 1) (1， + )， 答案： (0， 1) (1， + ). 5.已知向量 a =(sinx， cosx)， b =(sinx， sinx)，则函数 f(x)=a b 的最小正周期为 _. 解
3、析：由平面向量的坐标运算可得 f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期 . 答案： . 6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道 .在由 2 名中国运动员和 6名外国运动员组成的小组中， 2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 _. 解析：先求出基本事件总数 n= 88A，再求出 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 m=27AA，由此能求出 2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率 . 答案： 14. 7.按如图所示的程序框图运算：若输入 x=17，则输出的 x值是 _. 解析：模拟程序的运行，可得 x=17， k=0 执行循环体， x=35， k=1 不满足条件
4、x 115，执行循环体， x=71， k=2 不满足条件 x 115，执行循环体， x=143， k=3 满足条件 x 115，退出循环，输出 x的值为 143. 答案： 143. 8.设 (1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn，若2313aa ，则 n=_. 解析：利用二项式定理展开可得： (1+x)n=1+ 1 2 2 3 3n n nx x x痧 ?+ = a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn，比较系数即可得出 . 答案： 11. 9.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 _cm2. 解析：由已
5、知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案 . 答案： 17 . 10.设 P(x， y)是曲线 C： 2225 9xy =1上的点， F1(-4， 0)， F2(4， 0)，则 |PF1|+|PF2|的最大值 =_. 解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知 |PF1|+|PF2|的最大值为 10. 答案： 10. 11.已知函数 f(x)= 2 4 3 1 32 8 3xx x xx ， ，若 F(x)=f(x)-kx 在其定义域内有 3 个零点，则实数 k _. 解析：问题转化为 f(x)和 y=kx有 3个交点，画出函数 f(x)和 y=kx的图象，求出临界值，从而求出
6、k的范围即可 . 答案： (0， 33). 12.已知数列 an满足 a1=1， a2=3，若 |an+1-an|=2n(n N*)，且 a2n-1是递增数列、 a2n是递减数列，则212lim nnnaa =_. 解析：依题意，可求得 a3-a2=22， a4-a3=-23， a2n-a2n-1=-22n-1，累加求和，可得 a2n= 213 1 233n，a2n-1=a2n+22n-1= 213 1 236n；从而可求得212lim nnnaa 的值 . 答案： -12. 二、选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表
7、答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 13.已知 a， b R，则“ ab 0“是“ baab 2”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析：根据充分必要条件的定义判断即可 . 答案： B. 14.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在截面 A1DB 上，则线段 AP 的最小值等于 ( ) A.13B.12C. 33D. 22解析：由已知可得 AC1平面 A1DB，可得 P为 AC1与截面 A1DB 的垂足时线段 AP最小，然后利用等积法求解 . 答案： C. 15.若矩阵 11 1221 2
8、2aaaa满足： a11， a12， a21， a22 0， 1，且 11 1221 22aaaa=0，则这样的互不相等的矩阵共有 ( ) A.2个 B.6个 C.8个 D.10个 解析：根据题意，分类讨论，考虑全为 0；全为 1；三个 0，一个 1；两个 0，两个 1，即可得出结论 . 答案： D. 16.解不等式 (12)x-x+ 12 0时，可构造函数 f(x)=(12)x-x，由 f(x)在 x R是减函数，及f(x) f(1)，可得 x 1.用类似的方法可求得不等式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3 0 的解集为( ) A.(0， 1 B.(-1， 1) C.(-1， 1
9、 D.(-1， 0) 解析：由题意，构造函数 g(x)=arcsinx+x3，在 x -1， 1上是增函数，且是奇函数， 不等式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3 0可化为 g(x2) g(-x)， -1 -x x2 1， 0 x 1. 答案： A. 三 .解答题 (本大题满分 74分 )本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 17.如图，在正四棱锥 P-ABCD中， PA=AB=a， E是棱 PC的中点 . (1)求证： PC BD； (2)求直线 BE与 PA所成角的余弦值 . 解析： (1)推导出 PBC， PDC 都是等边三角形，从
10、而 BE PC， DE PC，由此能证明 PCBD. (2)连接 AC，交 BD 于点 O，连 OE，则 AP OE， BOE 即为 BE 与 PA 所成的角，由此能求出直线 BE 与 PA所成角的余弦值 . 答案 ： (1)四边形 ABCD为正方形，且 PA=AB=a， PBC， PDC都是等边三角形， E是棱 PC 的中点， BE PC， DE PC，又 BE DE=E， PC平面 BDE 又 BD 平面 BDE， PC BD (2)连接 AC，交 BD于点 O，连 OE. 四边形 ABCD为正方形， O是 AC 的中点 又 E是 PC的中点 OE为 ACP的中位线， AP OE BEO即
11、为 BE 与 PA 所成的角 在 Rt BOE中， BE= 32a， EO=12PA=12a， cos BEO=OEBE= 33. 直线 BE与 PA所成角的余弦值为 33. 18.已知函数 F(x)= 2121xxa ， (a为实数 ). (1)根据 a的不同取值，讨论函数 y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的 x 1，都有 1 f(x) 3，求 a的取值范围 . 解析： (1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出 F(-x)的解析式，进而分 2 种情况讨论：若 y=f(x)是偶函数，若 y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下 a的值，综合即可得答案
12、； (2)根据题意，由 f(x)的范围，分 2 种情况进行讨论： f(x) 1 以及 f(x) 3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得 a的值，进而综合 2种情况，可得答案 . 答案： (1)函数 F(x)= 2121xxa 定义域为 R， 且 F(-x)= 21xxa = 212xxa ， 若 y=f(x)是偶函数，则对任意的 x 都有 f(x)=f(-x)， 即 2121xxa = 212xxa ，即 2x(a+1)=a+1， 解可得 a=-1； 若 y=f(x)是奇函数，则对任意的 x 都有 f(x)=-f(-x)， 即 2121xxa =- 212xxa ，即 2x(a-1)=
13、1-a， 解可得 a=1； 故当 a=-1时， y=f(x)是偶函数， 当 a=1时， y=f(x)是奇函数， 当 a 1时， y=f(x)既非偶函数也非奇函数， (2)由 f(x) 1可得： 2x+1 a 2x-1，即 22x a-1 当 x 1时，函数 y1=22x单调递减，其最大值为 1， 则必有 a 2， 同理，由 f(x) 3 可得： a 2x-1 3 2x+3，即 a-3 42x， 当 x 1时， y2=42x单调递减，且无限趋近于 0， 故 a 3， 综合可得： 2 a 3. 19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” .兴趣小组同
14、学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、 P点为塔尖、点 P在地面上的射影为点 H.在塔身 OP射影所在直线上选点 A，使仰角 k HAP=45，过 O点与 OA 成 120的地面上选 B点，使仰角 HPB=45 (点 A、 B、 O都在同一水平面上 )，此时测得 OAB=27， A与 B之间距离为 33.6米 .试求： (1)塔高 (即线段 PH的长，精确到 0.1米 )； (2)塔身的倾斜度 (即 PO与 PH的夹角，精确到 0.1 ). 解析： (1)由题意可知： PAH， PBH均为等腰直角三角形， AH=BH=x， HAB=27， AB=33.6，即可求得 x=
15、 1 6 . 82c o s c o s 2 7ABH A B =18.86； (2) OBH=180 -120 -2 27 =6， BH=18.86，由正弦定理可知： s i n s i nO H B HO B H B O H， OH=18.86 sin 6sin 120=2.28，则倾斜角 OPH=arctanOHPH=arctan2.2818.86 =6.89 . 答案： (1)设塔高 PH=x，由题意知， HAP=45， HBP=45， PAH， PBH均为等腰直角三角形， AH=BH=x 在 AHB中， AH=BH=x， HAB=27， AB=33.6， x= 1 6 . 82c o
16、 s c o s 2 7ABH A B =18.86 (2)在 BOH中， BOH=120， OBH=180 -120 -2 27 =6， BH=18.9， 由s i n s i nO H B HO B H B O H， 得 OH=18.86 sin 6sin 120=2.28， OPH=arctanOHPH=arctan 2.2818.86 6.9， 塔高 18.9米，塔的倾斜度为 6.9 . 20.已知双曲线 C： 22xyab=1经过点 (2， 3)，两条渐近线的夹角为 60，直线 l交双曲线于 A、 B两点 . (1)求双曲线 C的方程； (2)若 l过原点， P为双曲线上异于 A，
17、B的一点，且直线 PA、 PB 的斜率 kPA， kPB均存在，求证： kPA kPB为定值； (3)若 l 过双曲线的右焦点 F1，是否存在 x 轴上的点 M(m， 0)，使得直线 l 绕点 F1无论怎样转动，都有 MA MB =0成立？若存在，求出 M的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用双曲线 C： 22xyab=1经过点 (2， 3)，两条渐近线的夹角为 60，建立方程，即可求双曲线 C的方程； (2)设 M(x0， y0)，由双曲线的对称性，可得 N 的坐标，设 P(x， y)，结合题意，又由 M、 P在双曲线上，可得 y02=3x02-3， y2=3x2-3，将其坐标
18、代入 kPM kPN中，计算可得答案 . (3)先假设存在定点 M，使 MA MB 恒成立，设出 M点坐标，根据数量级为 0，求得结论 . 答案： (1)解：由题意得 224913abba 解得 a=1， b= 3 双曲线 C的方程为 223yx =1； (2)证明：设 A(x0， y0)，由双曲线的对称性，可得 B(-x0， -y0). 设 P(x， y)， 则 kPA kPB= 22020yyxx， y02=3x02-3， y2=3x2-3， kPA kPB= 22020yyxx=3 (3)解：由 (1)得点 F1为 (2， 0) 当直线 l的斜率存在时，设直线方程 y=k(x-2)， A
19、(x1， y1)， B(x2， y2) 将方程 y=k(x-2)与双曲线方程联立消去 y得： (k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0， x1+x2= 224 3kk ， x1x2= 22433kk 假设双曲线 C上存在定点 M，使 MA MB恒成立，设为 M(m， n) 则 MA MB=(x1-m)(x2-m)+k(x1-2)-nk(x2-2)-n=(k2+1)x1x2-(2k2+kn+m)(x1+x2)+m2+4k2+4kn+n2= 2 2 2 2 224 5 1 2 3 13m n m k n k m nk =0， 故得： (m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)=
20、0对任意的 k2 3恒成立， 22224 5 01 2 010m n mnmn ，解得 m=-1， n=0 当点 M为 (-1， 0)时， MA MB恒成立； 当直线 l的斜率不存在时，由 A(2， 3)， B(2， -3)知点 M(-1， 0)使得 MA MB 也成立 . 又因为点 (-1， 0)是双曲线 C的左顶点， 所以双曲线 C上存在定点 M(-1， 0)，使 MA MB 恒成立 . 21.如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列为“ H型数列” . (1)若数列 an为“ H型数列”，且 a1=1m-3， a2=1m， a3=4，求实数 m的取值范围；
21、(2)是否存在首项为 1的等差数列 an为“ H型数列”，且其前 n项和 Sn满足 Sn n2+n(n N*)？若存在，请求出 an的通项公式；若不存在，请说明理由 . (3)已知等比数列 an的每一项均为正整数，且 an为“ H型数列”， bn=23an， cn= 512n nan ，当数列 bn不是“ H型数列”时，试判断数列 cn是否为“ H型数列”，并说明理由 . 解析： (1)由题意得， a2-a1=3 2， a3-a2=4-1m 2，即 2-1m=21mm 0，解得 m 范围即可得出 . (2)假设存在等差数列 an为“ H型数列”，设公差为 d，则 d 2，由 a1=1，可得：
22、Sn=n+ 12nn d，由题意可得： n+ 12nn d n2+n 对 n N*都成立，即 d 21nn都成立 .解出即可判断出结论 . (3)设等比数列 an的公比为 q，则 an=a1qn-1，且每一项均为正整数，且 an+1-an=an(q-1) 20，可得 an+1-an=an(q-1) an-an-1，即在数列 an-an-1(n 2)中，“ a2-a1”为最小项 .同理在数列 bn-bn-1(n 2)中，“ b2-b1”为最小项 .由 an为“ H型数列”，可知只需 a2-a1 2，即 a1(q-1) 2，又因为 bn不是“ H 型数列”，且“ b2-b1”为最小项，可得 b2-
23、b1 2，即 a1(q-1) 3，由数列 an的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3， a1=1， q=4或 a1=3， q=2，通过分类讨论即可判断出结论 . 答案： (1)由题意得， a2-a1=3 2， a3-a2=4-1m 2，即 2-1m=21mm 0，解得 m 12或 m 0. 实数 m的取值范围时 (-， 0) (12， + ). (2)假设存在等差数列 an为“ H 型数列”，设公差为 d，则 d 2，由 a1=1，可得： Sn=n+ 12nnd，由题意可得： n+ 12nn d n2+n 对 n N*都成立，即 d 21nn都成立 . 21nn=2+ 21n 2，且 2
24、lim1n nn =2， d 2，与 d 2矛盾，因此不存在等差数列 an为“ H 型数列” . (3)设等比数列 an的公比为 q，则 an=a1qn-1，且每一项均为正整数，且 an+1-an=an(q-1) 20， a1 0， q 1. an+1-an=an(q-1) an-an-1，即在数列 an-an-1(n 2)中，“ a2-a1”为最小项 . 同理在数列 bn-bn-1(n 2)中，“ b2-b1”为最小项 .由 an为“ H型数列”，可知只需 a2-a1 2，即 a1(q-1) 2，又因为 bn不是“ H型数列”，且“ b2-b1”为最小项， b2-b1 2，即 a1(q-1)
25、 3，由数列 an的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3， a1=1， q=4或 a1=3， q=2， 当 a1=1， q=4时， an=4n-1，则 cn= 135421 2 1nnnnn ，令 dn=cn+1-cn(n N*)，则 dn= 432221nn=2n+3 12nnn，令 en=dn+1-dn(n N*)，则 en=2n+4 123nnn-2n+3 12nnn= 322nn 2 213nn 0， dn为递增数列， 即 dn dn-1 dn-2 d1， 即 cn+1-cn cn-cn-1 cn-1-cn-2 c2-c1， c2-c1=323-8=83 2，所以，对任意的 n N*都有 cn+1-cn 2， 即数列 cn为“ H型数列” .当 a1=3， q=2时， an=3 2n-1， 则 cn= 153?2 4 81?21nnnn ，显然， cn为递减数列， c2-c1 0 2， 故数列 cn不是“ H型数列”； 综上：当 an=4n-1时，数列 cn为“ H型数列”， 当 an=3 2n-1时，数列 cn不是“ H型数列” .
