1、2017年上海市长宁区高考一模数学 一、填空题 (共 12小题, 1-6每题 4分, 7-12每题 5分,共 54分 ) 1.设集合 A=x|x-2| 1, x R,集合 B=Z,则 A B=_. 解析: |x-2| 1,即 -1 x-2 1,解得 1 x 3,即 A=(1, 3), 集合 B=Z, 则 A B=2. 答案: 2 2.函数 s in ( )3yx( 0)的最小正周期是,则 =_. 解析: s in ( )3yx( 0), |2T , =2. 答案: 2 3.设 i为虚数单位,在复平面上,复数 232 i对应的点到原点的距离为 _. 解析: 复数 23 3 43 3 9 1 23
2、 4 3 4 3 4 2 52i ii i ii 对应的点 9125()225,到原点的距离= 229 1 2 32 5 2 5 5 . 答案: 354.若函数 f(x)=log2(x+1)+a 的反函数的图象经过点 (4, 1),则实数 a=_. 解析: 函数 f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点 (4, 1), 即函数 f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点 (1, 4), 4=log2(1+1)+a 4=1+a, a=3. 答案: 3 5.已知 (a+3b)n展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n=_. 解析: 令二项式中的 a=b=1 得到
3、展开式中的各项系数的和 4n 又各项二项式系数的和为 2n 据题意得 4 642nn,解得 n=6. 答案: 6 6.甲、乙两人从 5门不同的选修课中各选修 2门,则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有 _种 . 解析: 根据题意,采用间接法: 由题意可得,所有两人各选修 2门的种数 2255100CC, 两人所选两门都相同的有为 25 10C 种,都不同的种数为 225330CC, 故只恰好有 1门相同的选法有 100-10-30=60种 . 答案: 60 7.若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm,圆心角为 270的扇形,则这个圆锥的体积为 _cm3. 解析: 设此圆锥的底面半径为 r,由
4、题意,得: 3222r, 解得 32r. 故圆锥的高 97442h , 圆锥的体积 231 3 738V r h c m. 答案: 378 . 8.若数列 an的所有项都是正数,且 212 3na a a n n (n N*),则1221l i m 2 3 1nnaaann ()=_. 解析: 212 3na a a n n (n N*), n=1时,1 4a ,解得 a1=16. n 2时,且 21 2 1 ( 1 ) 3 ( 1 )na a a n n ,可得: 22nan, an=4(n+1)2.4 ( 1)1na nn . 1222( 2 1 )41 2l i m ( ) l i m
5、22 3 1nnnnnaaan n n . 答案 : 2. 9.如图,在 ABC中, B=45, D是 BC边上的一点, AD=5, AC=7, DC=3,则 AB的长为 _. 解析: 在 ADC中, AD=5, AC=7, DC=3, 由余弦定理得 2 2 2 1c o s22A D D C A CA D C A D D C , ADC=120, ADB=60 在 ABD中, AD=5, B=45, ADB=60, 由正弦定理得s i n s i nA B A DA D B B , 562AB答案: 56210.有以下命题: 若函数 f(x)既是奇函数又是偶函数,则 f(x)的值域为 0;
6、若函数 f(x)是偶函数,则 f(|x|)=f(x); 若函数 f(x)在其定义域内不是单调函数,则 f(x)不存在反函数; 若函数 f(x)存在反函数 f-1(x),且 f-1(x)与 f(x)不完全相同,则 f(x)与 f-1(x)图象的公共点必在直线 y=x上; 其中真命题的序号是 _.(写出所有真命题的序号 ) 解析: 若函数 f(x)既是奇函数又是偶函数,则 f(x)=0,为常数函数,所以 f(x)的值域是0, 所以正确 . 若函数为偶函数,则 f(-x)=f(x),所以 f(|x|)=f(x)成立,所以正确 . 因为函数 1()fxx在定义域上不单调,但函数 f(x)存在反函数,所
7、以错误 . 原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x对称,但不一定在直线 y=x 上, 比如函数 1yx 与其反函数 y=x2-1(x 0)的交点坐标有 (-1, 0), (0, 1), 显然交点不在直线 y=x 上,所以错误 . 答案: . 11.设向量 OA=(1, -2), OB =(a, -1), OC =(-b, 0),其中 O为坐标原点, a 0, b 0,若 A、 B、 C三点共线,则 12ab的最小值为 _. 解析: 向量 OA=(1, -2), OB =(a, -1), OC =(-b, 0),其中 O为坐标原点, a 0, b 0, 1()1A B O B O A a
8、 , 1()2A C O C O A b , A、 B、 C三点共线, AB AC , 1112ab, 解得 2a+b=1, 1 2 1 2 4 42 2 2 4 2 8b a b aaba b a b a b a b ,当且仅当 a=14, b=12,取等号, 故 12ab的最小值为 8. 答案: 8 12.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2cm,高为 5cm,一质点自 A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 _cm. 解析: 将正三棱柱 ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示, 在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连
9、线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值 . 由已知求得矩形的长等于 6 2=12,宽等于 5,由勾股定理 221 2 5 1 3d . 答案: 13 二、选择题 (共 4小题,每小题 5分,满分 20分 ) 13.“ x 2”是“ x2 4”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析: 由 x2 4,解得: -2 x 2, 故 x 2是 x2 4的必要不充分条件 . 答案: B. 14.若无穷等差数列 an的首项 a1 0,公差 d 0, an的前 n项和为 Sn,则以下结论中一定正确的是 ( ) A.Sn单调递增 B.Sn单调递减
10、 C.Sn有最小值 D.Sn有最大值 解析: 21112 2 2nnn ddS n a d n a n , 2d 0, Sn有最小值 . 答案: C. 15.给出下列命题: (1)存在实数使 3s in c o s2 . (2)直线2x 是函数 y=sinx图象的一条对称轴 . (3)y=cos(cosx)(x R)的值域是 cos1, 1. (4)若,都是第一象限角,且,则 tan tan . 其中正确命题的题号为 ( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 解析: (1) 3s i n c o s 2 s (4 )in 2 , (1)错误; (2) y=
11、sinx图象的对称轴方程为2 ()x k k Z , k=-1,2x , (2)正确; (3)根据余弦函数的性质可得 y=cos(cosx)的最大值为 ymax=cos0=1, ymin=cos(cos1),其值域是 cos1, 1, (3)正确; (4)不妨令 94,3,满足,都是第一象限角,且,但 tan tan,(4)错误 . 答案: B. 16.如果对一切实数 x、 y,不等式2 9c o s s i n4y x a x y 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-, 43 B.3, + ) C. 2 2 2 2 , D.-3, 3 解析: 实数 x、 y,不等式2 9c o
12、s s i n4y x a x y 恒成立 29 s i n 1 s i n4y a x xy 恒成立, 令 9()4yfy y, 则 asinx+1-sin2x f(y)min, 当 y 0时, 99( ) 2 344yyfyyy (当且仅当 y=6 时取“ =” ), f(y)min=3; 当 y 0时, 99( ) 2 ( ) ( ) 344yyfyyy (当且仅当 y=-6时取“ =” ), f(y)max=-3,f(y)min不存在; 综上所述, f(y)min=3. 所以, asinx+1-sin2x 3,即 asinx-sin2x 2恒成立 . 若 sinx 0, 2s ins
13、inax x恒成立,令 sinx=t,则 0 t 1,再令 2()g t tt(0 t 1),则 a g(t)min. 由于22( ) 1 0gt t , 所以, 2()g t tt在区间 (0, 1上单调递减, 因此, g(t)min=g(1)=3, 所以 a 3; 若 sinx 0,则 2s ins inax x恒成立,同理可得 a -3; 若 sinx=0, 0 2恒成立,故 a R; 综合, -3 a 3. 答案: D. 三、解答题 (共 5小题,满分 76分 ) 17.如图,已知 AB平面 BCD, BC CD, AD 与平面 BCD 所成的角为 30,且 AB=BC=2; (1)求
14、三棱锥 A-BCD的体积; (2)设 M为 BD的中点,求异面直线 AD 与 CM所成角的大小 (结果用反三角函数值表示 ). 解析: (1)由 AB平面 BCD,得 CD平面 ABC,由此能求出三棱锥 A-BCD的体积 . (2)以 C为原点, CD为 x轴, CB为 y轴,过 C作平面 BCD的垂线为 z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出异面直线 AD与 CM 所成角的大小 . 答案: (1)如图,因为 AB平面 BCD, 所以 AB CD,又 BC CD,所以 CD平面 ABC, 因为 AB平面 BCD, AD与平面 BCD所成的角为 30,故 ADB=30, 由 AB=BC=2,得 A
15、D=4, 22AC , 1 6 4 2 3BD , 2 22 3 2 2 2CD , 则 1 1 1 4 22 2 2 23 6 6 3A B C D B C DV S A B B C C D A B . (2)以 C为原点, CD为 x轴, CB 为 y轴,过 C作平面 BCD的垂线为 z轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(0, 2, 2), D(22, 0, 0), C(0, 0, 0), B(0, 2, 0), M( 2 , 1, 0), ( 2 2 2 2 )AD , , ( 2 1 0 )CM , , , 设异面直线 AD与 CM所成角为, 则 23c o s643A D C MA
16、D C M . 3a rc c o s 6 . 异面直线 AD与 CM所成角的大小为 3arccos6. 18.在 ABC中, a, b, c分别是角 A, B, C的对边,且 28 s i n 2 c o s 2 72BC A . (I)求角 A的大小; (II)若 a= 3 , b+c=3,求 b和 c的值 . 解析: (I)在 ABC中有 B+C= -A,由条件可得: 41-cos(B+C)-4cos2A+2=7,解方程求得cosA 的值,即可得到 A的值 . (II)由余弦定理 2 2 2 1c o s22b c aA bc 及 a= 3 , b+c=3,解方程组求得 b 和 c的值
17、. 答案: (I)在 ABC中有 B+C= -A,由条件可得: 41-cos(B+C)-4cos2A+2=7, 又 cos(B+C)=-cosA, 4cos2A-4cosA+1=0. 解得 cosA 12,又 A (0, ),3A . (II)由 cosA 12知 2 2 2 122b c abc ,即 (b+c)2-a2 3bc. 又 a 3 , b+c 3,代入得 bc 2. 由 312 2b c bb c c 或 21bc. 19.某地要建造一个边长为 2(单位: km)的正方形市民休闲公园 OABC,将其中的区域 ODC开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点 D的坐标为 (1,
18、2),曲线 OD 是函数 y=ax2图象的一部分,对边 OA上一点 M在区域 OABD内作一次函数 y=kx+b(k 0)的图象,与线段DB交于点 N(点 N不与点 D重合 ),且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P,四边形 MABN为绿化风景区: (1)求证: 28kb; (2)设点 P的横坐标为 t,用 t表示 M、 N两点坐标;将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数 S=S(t),并求 S的最大值 . 解析: (1)根据函数 y=ax2过点 D,求出解析式 y=2x2; 由22y kx byx 消去 y,利用 =0证明结论成立; (2)写出点 P的坐标 (t, 2t
19、2),代入直线 MN的方程,用 t表示出直线方程, 利用直线方程求出 M、 N的坐标; 将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数 S(t), 利用基本不等式即可求出 S的最大值 . 答案: (1)证明:函数 y=ax2过点 D(1, 2), 代入计算得 a=2, y=2x2; 由22y kx byx ,消去 y得 2x2-kx-b=0, 由线段 MN与曲线 OD有且只有一个公共点 P, 得 =(-k)2-4 2 b=0, 解得 28kb; (2)解:设点 P的横坐标为 t,则 0 t 1, 点 P(t, 2t2); 直线 MN的方程为 y=kx+b, 即 28ky kx过点 P, 2
20、228kkt t, 解得 k=4t; y=4tx-2t2 令 y=0,解得 x=2t, M(2t, 0); 令 y=2,解得 122tx t, N( 122t t, 2); 将四边形 MABN的面积 S表示成关于 t的函数为 1 1 12 2 2 ( ) 4 ( )22 2 2 2ttS S t ttt ( ) ,其中 0 t 1; 由 112222tttt ,当且仅当 12t t,即 22t时“ =”成立, 所以 4 2 2S ;即 S的最大值是 4 2 2 . 20.已知函数 ( ) 9 2 3 3xxf x a : (1)若 a=1, x 0, 1时,求 f(x)的值域; (2)当 x
21、-1, 1时,求 f(x)的最小值 h(a); (3)是否存在实数 m、 n,同时满足下列条件: n m 3;当 h(a)的定义域为 m, n时,其值域为 m2, n2,若存在,求出 m、 n的值,若不存在,请说明理由 . 解析: (1)设 t=3x,则 (t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2, (t)的对称轴为 t=a,当 a=1时,即可求出 f(x)的值域; (2)由函数 (t)的对称轴为 t=a,分类讨论当 a 13时,当 13 a 3时,当 a 3时,求出最小值,则 h(a)的表达式可求; (3)假设满足题意的 m, n存在,函数 h(a)在 (3, + )上是减函数,求出
22、h(a)的定义域,值域,然后列出不等式组,求解与已知矛盾,即可得到结论 . 答案: (1)函数 ( ) 9 2 3 3xxf x a , 设 t=3x, t 1, 3, 则 (t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,对称轴为 t=a. 当 a=1时, (t)=(t-1)2+2 在 1, 3递增, (t) (1), (3), 函数 f(x)的值域是: 2, 6; ( )函数 (t)的对称轴为 t=a, 当 x -1, 1时, t 13, 3, 当 a 13时,m i n 1 2 8 2()3 9 3ay h a ( ); 当 13 a 3时, ymin=h(a)= (a)=3-a2; 当
23、 a 3时, ymin=h(a)= (3)=12-6a. 故22 8 2 19 3 31( ) 3 331 2 6 3aah a a aaa , , ; ( )假设满足题意的 m, n存在, n m 3, h(a)=12-6a, 函数 h(a)在 (3, + )上是减函数 . 又 h(a)的定义域为 m, n,值域为 m2, n2, 则 221 2 61 2 6mnnm, 两式相减得 6(n-m)=(n-m) (m+n), 又 n m 3, m-n 0, m+n=6,与 n m 3矛盾 . 满足题意的 m, n不存在 . 21.已知无穷数列 an的各项都是正数,其前 n项和为 Sn,且满足:
24、a1=a, rSn=anan+1-1,其中a 1,常数 r N; (1)求证: an+2-an是一个定值; (2)若数列 an是一个周期数列 (存在正整数 T,使得对任意 n N*,都有 an+T=an成立,则称an为周期数列, T为它的一个周期,求该数列的最小周期; (3)若数列 an是各项均为有理数的等差数列, cn=2 3n-1(n N*),问:数列 cn中的所有项是否都是数列 an中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例 . 解析: (1)由 rSn=anan+1-1,利用迭代法得: ran+1=an+1(an+2-an),由此能够证明 an+2-an为定值 . (2)当 n=1时
25、, ra=aa2-1,故2 1 raa a,根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项,再由 r 0和 r=0两种情况进行讨论,能够求出该数列的周期 . (3)因为数列 an是一个有理等差数列,所以 12a a r ra ,化简 2a2-ar-2=0,解得a是有理数,由此入手进行合理猜想,能够求出 Sn. 答案: (1)证明: rSn=anan+1-1, rSn+1=an+1an+2-1, -,得: ran+1=an+1(an+2-an), an 0, an+2-an=r. (2)解:当 n=1时, ra=aa2-1,2 1 raa a, 根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项: a, r+1a,
26、 a+r, 2r+1a, a+2r, 3r+1a, . 当 r 0时,奇数项和偶数项都是单调递增的,所以不可能是周期数列, r=0时,数列写出数列的前几项: a, 1a, a, 1a, . 所以当 a 0且 a 1时,该数列的周期是 2, (3)解:因为数列 an是一个有理等差数列, a+a+r=2(r+1a), 化简 2a2-ar-2=0, 2 164rra 是有理数 . 设 2 16r =k,是一个完全平方数, 则 r2+16=k2, r, k均是非负整数 r=0时, a=1, an=1, Sn=n. r 0时 (k-r)(k+r)=16=2 8=4 4可以分解成 8组, 其中只有 35rk,符合要求, 此时 a=2, 312n na , 354nnnS , 123nnc (n N*), an=1 时,不符合,舍去 . 312n na 时,若 1 3123 2n k ,则: 3k=4 3n-1-1, n=2时,113k ,不是整数, 因此数列 cn中的所有项不都是数列 an中的项 .