1、2017年上海市静安区高考一模数学 一、填空题 (50分 )本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分 . 1.“ x 0”是“ x a”的充分非必要条件，则 a的取值范围是 _. 解析：若“ x 0”是“ x a”的充分非必要条件， 则 a的取值范围是 (0， + ). 答案： (0， + ). 2.函数 f(x)=1-3sin2(x+4)的最小正周期为 _. 解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得 f(x)的最小正周期 . 答案： . 3.若复数 z为纯虚数，且满足 (2-i)z=a+i(i为虚数单位
2、)，则实数 a的值为 _. 解析：由 (2-i)z=a+i，得 z=2aii，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案 . 答案： 12. 4.二项式 (x2+1x)5展开式中 x的系数为 _. 解析：利用二项式 (x2+1x)5展开式的通项公式即可求得答案 . 答案： 10. 5.用半径 1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 _立方米 . 解析：由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案 . 答案： 324. 6.已知为锐角，且 cos( +4)=35，则 sin =_. 解析：由为锐角求出 +4的范围，利用同角三
3、角函数间的基本关系求出 sin( +4)的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值 . 答案： 210. 7.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于 (等于 )20 毫克 /100 毫升的行为属于饮酒驾车 .假设饮酒后，血液中的酒精含量为 p0 毫克 /100 毫升，经过 x 个小时，酒精含量降为 p毫克 /100毫升，且满足关系式 p=p0 erx(r为常数 ).若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 毫克 /100 毫升， 2 小时后，测得其血液中酒精含量降为 61 毫克 /100 毫升，则此人饮酒后需经过 _小时方可驾车 .(精确到小
4、时 ) 解析：先求出 er= 6189，再利用 89 exr 20，即可得出结论 . 答案： 8. 8.已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，数列 xn是一个公差为 2 的等差数列，满足f(x7)+f(x8)=0，则 x2017的值为 _. 解析：设 x7=x，则 x8=x+2，则 f(x)+f(x+2)=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f(x+1)=0=f(0)， x7=-1.设数列 xn通项 xn=x7+2(n-7).得到通项 xn=2n-15.由此能求出 x2011的值 . 答案： 4019. 9.直角三角形 ABC中， AB=3， AC=4， BC=5，点 M是三角形 AB
5、C外接圆上任意一点，则 AB AM的最大值为 _. 解析：建立坐标系，设 M (32+52cos， 2+52sin )，则 AM =(32+52cos， 2+52sin )，AB =(3， 0)， AB AM =92+152cos 12. 答案： 12. 10.已知 f(x)=ax-b(a 0 且且 a 1， b R)， g(x)=x+1，若对任意实数 x 均有 f(x) g(x) 0，则 14ab的最小值为 _. 解析：根据对任意实数 x均有 f(x) g(x) 0，求出 a， b的关系，可求 14ab的最小值 . 答案： 4. 二、选择题 (25 分 )本大题共有 5 题，每题都给出四个结
6、论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 11.若空间三条直线 a、 b、 c满足 a b， b c，则直线 a与 c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能 解析：如图所示： a b， b c， a与 c可以相交，异面直线，也可能平行 . 从而若直线 a、 b、 c满足 a b、 b c，则 a c，或 a与 c相交，或 a与 c异面 . 答案： D. 12.在无穷等比数列 an中， limn(a1+a2+ +an)=12，则 a1的取值范围是 ( ) A.(0， 12)
7、B.(12， 1) C.(0， 1) D.(0， 12) (12， 1) 解析：利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出 a1的取值范围 . 答案： D. 13.某班班会准备从含甲、乙的 6名学生中选取 4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 ( ) A.336种 B.320种 C.192种 D.144种 解析：根据题意，分 2 种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案 . 答案： A. 14.已知椭圆 C1，抛物线 C2焦点均在 x 轴上， C1的中心和 C2顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个
8、点，将其坐标记录于表中，则 C1的左焦点到 C2的准线之间的距离为 ( ) A. 2 -1 B. 3 -1 C.1 D.2 解析：由表可知：抛物线 C2焦点在 x轴的正半轴，设抛物线 C2： y2=2px(p 0)，则有 2yx=2p(x 0)，将 (3， -2 3 )， (4， -4)在 C2 上，代入求得 2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆 C1： 22xyab=1(a b 0)，把点 (-2， 0)， ( 2 ， 22)，即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得 C1的左焦点到 C2的准线之间的距离 . 答案： B. 15.已知 y=g(x)与 y=h(x)都是定义在 (
9、-， 0) (0， + )上的奇函数，且当 x 0时， g(x)= 2 0111xxg x x， ， ， h(x)=klog2x(x 0)，若 y=g(x)-h(x)恰有 4 个零点，则正实数 k的取值范围是 ( ) A.12， 1 B.(12， 1 C.(12， log32 D.12， log32 解析：问题转化为 g(x)和 h(x)有 4个交点，画出函数 g(x)， h(x)的图象，结合图象得到关于 k的不等式组，解出即可 . 答案： C. 三、解答题 (本题满分 75分 )本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对应的题号 )内写出必要的步骤 . 16.已知正四棱柱 A
10、BCD-A1B1C1D1， AB=a， AA1=2a， E， F分别是棱 AD， CD的中点 . (1)求异面直线 BC1与 EF 所成角的大小； (2)求四面体 CA1EF的体积 . 解析： (1)连接 A1C1，由 E， F分别是棱 AD， CD的中点，可得 EF AC，进一步得到 EF A1C1，可知 A1C1B 为异面直线 BC1与 EF 所成角 .然后求解直角三角形得答案； (2)直接利用等体积法把四面体 CA1EF的体积转化为三棱锥 A1-EFC的体积求解 . 答案： (1)连接 A1C1， E， F分别是棱 AD， CD的中点， EF AC，则 EF A1C1， A1C1B为异面
11、直线 BC1与 EF所成角 . 在 A1C1B中，由 AB=a， AA1=2a，得 C1B=A1B=5a， A1C1=2a， cos A1C1B=2102105aa ， 异面直线 BC1与 EF所成角的大小为 arccos 1010； (2)11311 23 2 2 2 1 2C A E F A E F C a a aV V a . 17.设双曲线 C： 2223xy=1， F1， F2为其左右两个焦点 . (1)设 O为坐标原点， M为双曲线 C右支上任意一点，求1OM FM的取值范围； (2)若动点 P与双曲线 C的两个焦点 F1， F2的距离之和为定值，且 cos F1PF2的最小值为
12、-19，求动点 P的轨迹方程 . 解析： (1)设 M(x， y)， x 2 ，左焦点 F1(- 5 ， 0)，通过1OM FM=(x， y) (x+ 5 ，y)利用二次函数的性质求出对称轴 x=- 55 2 ，求出1OM FM的取值范围 . (2)写出 P 点轨迹为椭圆 22xyab=1，利用 |F1F2|=2 5 ， |PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可 . 答案： (1)设 M(x， y)， x 2 ，左焦点 F1(- 5 ， 0)，1OM FM=(x， y) (x+ 5 ， y)=x2+5 x+y2=x2+5 x+ 232x -3= 52 x2+5
13、 x-3(x 2 )对称轴 x=- 55 2 ， 1OM FM 2+10 ， + ) (2)由椭圆定义得： P 点轨迹为椭圆 22xyab=1， |F1F2|=2 5 ， |PF1|+|PF2|=2acos F1PF2=221212202P F P FP F P F= 2 12124 2 2 02a P F P FP F P F = 2124 2 021aP F P F由基本不等式得 2a=|PF1|+|PF2|122 PF PF， 当且仅当 |PF1|=|PF2|时等号成立 |PF1| |PF2| a2 cos F1PF2 224 20 12a a =-19 a2=9，b2=4 所求动点 P
14、的轨迹方程为 2294xy=1. 18.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 A(看做一点 )的东偏南角方向 (cos = 210)， 300km的海面 P处，并以 20km/h的速度向西偏北 45方向移动 .台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h的速度不断增大 . (1)问 10小时后，该台风是否开始侵袭城市 A，并说明理由； (2)城市 A受到该台风侵袭的持续时间为多久？ 解析： (1)建立直角坐标系，则城市 A(0， 0)，当前台风中心 P(30 2 ， -210 2 )，设 t小时后台风中心 P 的坐标为 (x， y)，由题意建立方程组
15、，能求出 10小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A. (2)t小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30 2 -10 2 t， -210 2 +10 2 t)为圆心， 60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果 . 答案： (1)如图建立直角坐标系， 则城市 A(0， 0)，当前台风中心 P(30 2 ， -210 2 )， 设 t小时后台风中心 P 的坐标为 (x， y)， 则 3 0 2 1 0 22 1 0 2 1 0 2xtyt ，此时台风的半径为 60+10t， 10小时后， |PA| 184.4km，台风的半径为 r=160km， r |PA|， 10小时后，该台风还没有开始侵
16、袭城市 A. (2)由 (1)知 t小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30 2 -10 2 t， -210 2 +10 2 t)为圆心，60+10t为半径的圆， 若城市 A受到台风侵袭， 则 223 0 2 1 0 2 0 2 1 0 2 1 0 2 0tt (60+10t)， 300t2-10800t+86400 0，即 t2-36t+288 0， 解得 12 t 24 该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时 . 19.设集合 Ma=f(x)|存在正实数 a，使得定义域内任意 x都有 f(x+a) f(x). (1)若 f(x)=2x-x2，试判断 f(x)是否为 M1中的元素，并说明理由
17、； (2)若 g(x)=x3-14x+3，且 g(x) Ma，求 a的取值范围； (3)若 h(x)=log3(x+kx)， x 1， + )(k R)，且 h(x) M2，求 h(x)的最小值 . 解析： (1)利用 f(1)=f(0)=1，判断 f(x) M1. (2)f(x+a)-f(x) 0，化简，通过判别式小于 0，求出 a的范围即可 . (3)由 f(x+a)-f(x) 0，推出 h(x+2)-h(x)=log3(x+2)+2kx-log3(x+kx) 0，得到 x+2+2kx x+kx 0对任意 x 1， + )都成立，然后分离变量，通过当 -1 k 0时，当 0 k 1时，分别
18、求解最小值即可 . 答案： (1) f(1)=f(0)=1， f(x) M1. (2)由 g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x3-14(x+a)+14x=3ax2+3a2x+a3-14a 0 =9a4-12a(a3-14a) 0，故 a 1. (3)由 h(x+2)-h(x)=log3(x+2)+2kx-log3(x+kx) 0， 即： log3(x+2)+2kx log3(x+kx) x+2+2kx x+kx 0对任意 x 1， + )都成立 22 31k x x kkkx -1 k 3 当 -1 k 0时， h(x)min=h(1)=log3(1+k)； 当 0 k 1时， h(x)m
19、in=h(1)=log3(1+k)； 当 1 k 3时， h(x)min=h( k )=log3(2 k ). 综上： h(x)min= 331 1 12 1 3lo g k klo g k k ， ， . 20.由 n(n 2)个不同的数构成的数列 a1， a2， an中，若 1 i j n 时， aj ai(即后面的项 aj小于前面项 ai)，则称 ai与 aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数 .如对于数列 3， 2， 1，由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个，在第二项 2 后面比 2 小的项有 1 个，在第三项 1 后面比 1 小的项没有，因此，数列
20、 3， 2， 1 的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列 1， -12， 14， -18的逆序数为 4. (1)计算数列 an=-2n+19(1 n 100， n N*)的逆序数； (2)计算数列 an=131nnn nn ， 奇， 偶为 数为 数(1 n k， n N*)的逆序数； (3)已知数列 a1， a2， an的逆序数为 a，求 an， an-1， a1的逆序数 . 解析： (1)由 an为单调递减数列，可得逆序数为 99+98+ +1. (2)当 n为奇数时， a1 a3 a2n-1 0.当 n为偶数时： 0 a2 a4 a2n.可得逆序数 . (3)在数列 a1， a2， an
21、中，若 a1与后面 n-1 个数构成 p1个逆序对，则有 (n-1)-p1不构成逆序对，可得在数列 an， an-1， a1中，逆序数为 (n-1)-p1+(n-2)-p2+ +(n-n)-pn. 答案： (1) an为单调递减数列，逆序数为 99+98+ +1= 99 1 992 =4950. (2)当 n为奇数时， a1 a3 a2n-1 0. 当 n为偶数时： an-an-2= 211nn(n 4)=221n = 211nn 0 0 a2 a4 a2n. 当 k为奇数时，逆序数为 (k-1)+(k-3)+ +2+ 32k+ 52k+ +1= 23 4 18kk； 当 k为偶数时，逆序数为 (k-1)+(k-3)+ +1+ 22k+ 42k+ +1= 2328kk. (3)在数列 a1， a2， an中，若 a1与后面 n-1个数构成 p1个逆序对， 则有 (n-1)-p1不构成逆序对，所以在数列 an， an-1， a1中， 逆序数为 (n-1)-p1+(n-2)-p2+ +(n-n)-pn= 12nn -a.
