1、2017年吉林省长春市中考一模试卷数学 一、选择题 (本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分 ) 1.比 -1大 2的数是 ( ) A.-3 B.-2 C.1 D.2 解析：根据题意可得：比 -1大 2的数是 -1+2=1. 答案： C 2.每年的 6 月 14 日，是世界献血日，据统计，某市义务献血达 421000 人， 421000 这个数用科学记数法表示为 ( ) A.4.21 105 B.42.1 104 C.4.21 10-5 D.0.421 106 解析： 421 000=4.21 105. 答案： A 3.不等式组 2131xx ，中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的
2、是 ( ) A. B. C. D. 解析： 2131xx， ，由得， x -1，由得， x 2，故不等式组的解集为： -1 x 2. 在数轴上表示为： D. 答案： D 4.一元二次方程 x2+2x+2=0 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 解析： =22-4 2=-4 0，所以方程没有实数解 . 答案： C 5. 由 6 个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则在以下视图中，与其它三个形状都不同的是 ( ) A.主视图 B.俯视图 C.左视图 D.右视图 解析：主视图、左视图、右视图都为： 俯视图为： . 答案：
3、 B 6.如图， AB 为 O 的切线， A 为切点， BO 的延长线交 O 于点 C， OAC=35，则 B 的度数是 ( ) A.15 B.20 C.25 D.35 解析： AB 为 O的切线， OA AB， BAO=90， OA=OC， C= OAC=35， B=180 - C- BAC=180 -35 -35 -90 =20 . 答案： B 7.如图，点 P 在反比例函数 y=kx的图象上， PA x 轴于点 A， PB y 轴于点 B，且 APB 的面积为 2，则 k等于 ( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析：点 P在反比例函数 y=kx的图象上， PA x轴于点 A，
4、PB y轴于点 B， S APB=12|k|=2， k= 4. 又反比例函数在第二象限有图象， k=-4. 答案： A 8.如图，在四边形 ABCD中， E， F分别在 AD和 BC上， AB EF DC，且 DE=3， DA=5， CF=4，则 FB等于 ( ) A.32B.83C.5 D.6 解析： AB EF DC， DE CFDA CB， DE=3， DA=5， CF=4， 345 CB， CB=203， FB=CB-CF=20 8433. 答案： B 二、填空题 (本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分 ) 9.化简： 82 = . 解析： 8 2 2 2 2 2 . 答案： 2
5、 10.计算： (-2xy2)3= . 解析： (-2xy2)3=(-2)3x3(y2)3=-8x3y6. 答案： -8x3y6 11.一个菱形的周长为 52cm，一条对角线长为 10cm，则其面积为 cm2. 解析：如图所示： 四边形 ABCD是菱形， AB=BC=CD=DA， AC BD， OA=12AC=5， OB=12BD， 菱形 ABCD的周长为 52cm， AB=13cm， 在 Rt AOB中，根据勾股定理得： OB= 2 2 2 21 3 5A B O A =12cm， BD=2OB=24cm，菱形 ABCD的面积 =12 10 24=120cm2. 答案： 120 12.如图，
6、 ABCD是 O的内接四边形，点 E在 AB的延长线上， BF是 CBE的平分线， ADC=110，则 FBE= . 解析： ABCD是 O的内接四边形， ADC=110， CBE= ADC=110， BF是 CBE的平分线， FBE=12 CBE=55， 答案： 55 13.如图，在 ABC 中， ACB=90， AC=1， AB=2，以 A 为圆心，以 AC 为半径画弧，交 AB于 D，则扇形 CAD的周长是 (结果保留 ) 解析： ACB=90， AC=1， AB=2， A=60， CD 的长为 60 1180 3 ，扇形 CAD的周长是3+2， 答案：3+2 14.如图，二次函数 y=
7、a(x-2)2+k的图象与 x轴交于 A， B两点，且点 A的横坐标为 -1，则点B的横坐标为 . 解析：由题意可知：二次函数的对称轴为 x=2，点 A与 B关于 x=2对称， 设 B的横坐标为 x， 1 22x ， B的横坐标坐标为 5. 答案： 5 三、解答题 (本大题共 10小题，共 78 分 ) 15.先化简，再求值： 224224xx，其中 x=- 3 . 解析：先根据分式的除法法则把原式进行化简，再把 x=- 3 代入进行计算即可 . 答案：原式 = 2 222 4 422xx x xxx ， 当 x=- 3 时，原式 =3+4=7. 16.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标
8、有数字 -2， 1， 3，每个小球除数字外其它都相同，小明先从袋中随机取出 1个小球，记下数字；小强再从口袋剩余的两个小球中随机取出 1个小球记下数字，用画树状图 (或列表 )的方法，求小明，小强两人所记的数字之和为奇数的概率 . 解析：列表得出所有等可能的情况数，找出这两个球上的两个数字之和为奇数的情况数，即可求出所求的概率 . 答案：列表得： 所有等可能的情况有 6 种，其中两个数字之和为奇数的情况有 4种， 所以小明，小强两人所记的数字之和为奇数的概率 =4263. 17.一辆客车和一辆卡车同时从 A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70km/h，卡车的行驶速度是 60km/
9、h，客车比卡车早 1h经过 B地， A、 B两地间的路程是多少？ 解析：设 A、 B 两地间的路程为 xkm，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为 1小时即可列出方程，求出 x的值 . 答案：设 A、 B两地间的路程为 xkm， 根据题意得60 70xx=1，解得 x=420. 答： A、 B两地间的路程为 420km. 18.每年的 3 月 22 日为“世界水日”，为宣传节约用水，小强随机调查了某小区部分家庭 3月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图 . (1)小强共调查了 户家庭 . (2)所调查家庭 3月份用水量的众数为 吨；平均数为 吨； (3)若该小区
10、有 500户居民，请你估计这个小区 3 月份的用水量 . 解析： (1)根据条形统计图求出调查的家庭总户数即可； (2)根据条形统计图求出 6月份用水量的平均数，找出众数即可； (3)根据统计图求出平均每户的用水量，乘以 500 即可得到结果 . 答案： (1)根据题意得： 1+1+3+6+4+2+2+1=20(户 )， 则小强一共调查了 20 户家庭 . (2)根据统计图得： 3月份用水量的众数为 4吨； 平均数为 1 2 3 3 4 6 5 4 2 6 2 7 820 =4.5.(吨 )， 则所调查家庭 3月份用水量的众数为 4吨、平均数为 4.5吨； (3)根据题意得： 500 4.2=
11、2100(吨 )， 则这个小区 3月份的用水量为 2100吨 . 19.如图，在四边形 ABDC中， E， F， G， H分别为 AB， BC， CD， DA的中点，并且 E， F， G， H四点不共线 . (1)求证：四边形 EFGH 为平行四边形 . (2)当 AC=BD时，求证：四边形 EFGH为菱形 . 解析： (1)根据三角形中位线定理得到 FG EH， FG=EH，根据平行四边形的判定定理证明； (2)根据菱形是判定定理证明 . 答案： (1) F， G分别为 BC， CD的中点， FG=12BD， FG BD， E， H分别为 AB， DA 的中点， EH=12BD， EH BD
12、， FG EH， FG=EH，四边形 EFGH为平行四边形 . (2)由 (1)得， FG=12BD， GH=12BC， AC=BD， GF=GH，平行四边形 EFGH为菱形 . 20.如图，某山坡坡长 AB为 110 米，坡角 ( A)为 34，求坡高 BC及坡宽 AC.(结果精确到0.1米 )【参考数据： sin34 =0.559， cos34 =0.829， tan34 =0.675】 解析：根据正弦、余弦的定义列出算式，计算即可 . 答案：在 Rt ABC中， sinA=BCAB， cosA=ACAB， 则 BC=AB sinA=110 0.559 61.5(米 )， AC=AB co
13、sA=110 0.829 91.2(米 )， 答：坡高 BC 约为 61.5 米，坡宽 AC约为 91.2米 . 21.如图，在正方形 ABCD 中， E 为直线 AB 上的动点 (不与 A， B 重合 )，作射线 DE 并绕点 D逆时针旋转 45，交直线 BC边于点 F，连结 EF. 探究：当点 E在边 AB 上，求证： EF=AE+CF. 应用： (1)当点 E在边 AB上，且 AD=2时，则 BEF的周长是 . (2)当点 E不在边 AB上时， EF， AE， CF三者的数量关系是 . 解析：探究：作辅助线，构建全等三角形，证明 DAG DCF(SAS)，得 1= 3， DG=DF，再证
14、明 GDE FDE(SAS)， 根据 EG的长可得结论； 应用： (1)利用探究的结论计算三角形周长为 4； (2)分两种情况：点 E 在 BA 的延长线上时，如图 2， EF=CF-AE，当点 E 在 AB 的延长线上时，如图 3， EF=AE-CF，两种情况都是作辅助线，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论 . 答案：探究：证明：如图，延长 BA到 G，使 AG=CF，连接 DG， 四边形 ABCD是正方形， DA=DC， DAG= DCF=90， DAG DCF(SAS)， 1= 3， DG=DF， ADC=90， EDF=45， EDG= 1+ 2= 3
15、+ 2=45 = EDF， DE=DE， GDE FDE(SAS)， EF=EG=AE+AG=AE+CF； 应用： (1) BEF的周长 =BE+BF+EF， 由探究得： EF=AE+CF， BEF的周长 =BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4， (2)当点 E不在边 AB上时，分两种情况： 点 E在 BA 的延长线上时，如图 2， EF=CF-AE，理由是： 在 CB上取 CG=AE，连接 DG， DAE= DCG=90， AD=DC， DAE DCG(SAS) DE=DG， EDA= GDC， ADC=90， EDG=90 ， EDF+ FDG=90， EDF=45， FDG=9
16、0 -45 =45， EDF= FDG=45， 在 EDF和 GDF中， D E D GE D F G D FD F D F ， EDF GDF(SAS)， EF=FG， EF=CF-CG=CF-AE； 当点 E在 AB的延长线上时，如图 3， EF=AE-CF，理由是： 把 DAE绕点 D逆时针旋转 90至 DCG，可使 AD 与 DC重合，连接 DG， 由旋转得： DE=DG， EDG=90， AE=CG， EDF=45， GDF=90 -45 =45， EDF= GDF， DF=DF， EDF GDF， EF=GF， EF=CG-CF=AE-CF； 综上所述，当点 E不在边 AB 上时，
17、 EF， AE， CF三者的数量关系是： EF=CF-AE或 EF=AE-CF； 22.甲、乙两辆汽车沿同一路线从 A地前往 B地，甲以 a千米 /时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以 2a 千米 /时的速度继续行驶；乙在甲出发 2 小时后匀速前往 B地，设甲、乙两车与 A 地的路程为 s(千米 )，甲车离开 A 地的时间为 t(时 )， s 与 t 之间的函数图象如图所示 . (1)求 a和 b的值 . (2)求两车在途中相遇时 t的值 . (3)当两车相距 60千米时， t= 时 . 解析： (1)根据速度 =路程时间即可求出 a值，再根据时间 =路程速度算出 b到 5.5之
18、间的时间段，由此即可求出 b值； (2)观察图形 找出两点的坐标，利用待定系数法即可求出 s 乙关于 t的函数关系式，令 s 乙=150即可求出两车相遇的时间； (3)分 0 t 3、 3 t 4和 4 t 5.5三段求出 s甲关于 t的函数关系式，二者做差令其绝对值等于 60即可得出关于 t的函数绝对值符号的一元一次方程，解之即可求出 t 值，再求出 0 t 2时， s甲 =50t=60 中 t的值 .综上即可得出结论 . 答案： (1)a=1503=50， b=5.5-300 1502 50=4. (2)设乙车与 A地的路程 s与甲车离开 A地的时间 t之间的函数关系式为 s 乙 =kt+
19、m， 将 (2， 0)、 (5， 300)代入 s=kt+m， 02300 5kmkm，解得： 100200km， s乙 =100t-200(2 t 5). 当 s乙 =100t-200=150 时， t=3.5. 答：两车在途中相遇时 t的值为 3.5. (3)当 0 t 3时， s 甲 =50t； 当 3 t 4时， s 甲 =150； 当 4 t 5.5时， s 甲 =150+2 50(t-4)=100t-250. s 甲 =5 0 0 31 5 0 3 41 0 0 2 5 0()()( 4 )5 .5ttttt ，令 |s 甲 -s 乙 |=60，即 |50t-100t+200|=6
20、0， |150-100t+200|=60 或 |100t-250-100t+200|=60， 解得： t1=145， t2=265(舍去 )， t3=2910(舍去 )， t4=4110(舍去 )； 当 0 t 2时，令 s甲 =50t=60，解得： t=65. 综上所述：当两车相距 60千米时， t=65或 145. 23.如图，四边形 ABCO为矩形，点 A在 x轴上，点 C在 y轴上，且点 B的坐标为 (-1， 2)，将此矩形绕点 O顺时针旋转 90得矩形 DEFO，抛物线 y=-x2+bx+c过 B， E两点 . (1)求此抛物线的函数关系式 . (2)将矩形 ABCO向左平移，并且使
21、此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离 . (3)将矩形 DEFO 向上平移距离 d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则 d 的值是 . 解析： (1)待定系数法即可解决问题 . (2)矩形 ABCO的中心坐标为 (-12， 1)，可得 1=-x2+2 1133x，解得 x=-43或 2，所以平移距离 d=-12-(-43)=56. (3)求出顶点坐标，点 E坐标，即可解决问题 . 答案： (1)由题意，点 E的坐标为 (2， 1)， 则 22122 2 1ccbc ，解得23113bc ，此抛物线的解析式为 y=-x2+2 1133x. (2)矩形 ABCO的中心坐标为 (-12， 1)，
22、 1=-x2+2 1133x，解得 x=-43或 2，平移距离 d=-12-(-43)=56. (3) y=-x2+2 1133x=-(x-13)2+349，抛物线的顶点坐标为 (13， 349)， E(2， 1)，平移距离 d=349或 34 25199. 故答案为 259或 349. 24.如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， B=90， AB=4cm， AD=6cm， BC=9cm，点 P 从点 A出发，以 2cm/s的速度沿 A D C方向向点 C运动；同时点 Q从点 C出发，以 1cm/s的速度沿 C B方向向点 B运动，设点 Q运动时间为 ts， APQ的面积为 Scm2.
23、 (1)DC= cm， sin BCD= . (2)当四边形 PDCQ为平行四边形时，求 t的值 . (3)求 S与 t的函数关系式 . (4)若 S 与 t 的函数图象与直线 S=k(k 为常数 )有三个不同的交点，则 k 的取值范围是 . 解析： (1)如图 1，作高线 DE，证明四边形 ABED是矩形，再利用勾股定理求 DC的长，在 Rt DEC中，求出 sin BCD= 45DEDC； (2)当四边形 PDCQ为平行四边形时，点 P在 AD上，如图 2，根据 PD=CQ列方程得： 6-2t=t，解出即可； (3)分三种情况： 当 0 t 3时，点 P 在边 AD上，如图 3，直接利用面
24、积公式求 S即可； 当 3 t 112时，点 P 在边 CD上，如图 4，利 用梯形面积减去三个三角形面积的差求 S； 当 112 t 9 时，点 P与 C重合， Q在 BC上，如图 5，直接利用面积公式求 S即可； (4)画出图象，根据图象得出结论 . 答案： (1)过 D作 DE BC于 E，则 BED=90， AD BC， B+ BAD=180， B=90， B= BAD=90，四边形 ABED 是矩形， AD=BE=6， DE=AB=4， EC=BC-BE=9-6=3， 在 Rt DEC中，由勾股定理得： DC=5， sin BCD= 45DEDC， (2)由题意得： AP=2t， C
25、Q=t，则 PD=6-2t， 当四边形 PDCQ为平行四边形时，如图 2， 则 PD=CQ， 6-2t=t， t=2. (3)分三种情况： 当 0 t 3时，点 P 在边 AD上，如图 3， S=12AP AB=12 4 2t=4t； 当 3 t 112时，点 P在边 CD 上，如图 4， 过 P作 MN BC，交 BC 于 N，交 AD 的延长线于 M， 由题意得： CQ=t， BQ=9-t， PA=2t， PD=2t-6， PC=5-PD=5-(2t-6)=11-2t， 由图 1得： sin C=45 PNPC， 45 11 2PNt ， PN= 4 11 25 t， PM=4-PN=4-
26、 4 1 1 2 4 2 655tt， S=S 梯形 ABCD-S PQC-S ABQ-S APD， = 26 9 4 6 4 2 61 1 1 4 3 6 1 3 24 1 1 2 5 9 42 2 5 2 2 5 5 5t t t t t t ； 当 112 t 9 时，点 P与 C重合， Q在 BC上，如图 5， S=12 t 4=2t； 综上所述， S与 t的函数关系式为： S=24 0 34 3 6 1 3 2 1 135 5 5 21()(1292)()ttt t ttt ， ， (4)如图 6， S= 24 3 6 1 3 25 5 5tt； S的最小值为：24 1 3 2 3 644 515 5 54 545 ， 当 t=3时， S=4 3=12，则 k的取值范围是： 515 k 12.
