1、2017年吉林省长春市中考真题数学 一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 3分，共 24 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 3的相反数是 ( ) A.-3 B. 13C.13D.3 解析：根据相反数的定义即可求出 3的相反数 . 3的相反数是 -3. 答案： A. 2.据统计， 2016年长春市接待旅游人数约 67000000人次， 67000000这个数用科学记数法表示为 ( ) A.67 106 B.6.7 105 C.6.7 107 D.6.7 108 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时
2、，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 67000000这个数用科学记数法表示为 6.7 107. 答案： C. 3.下列图形中，可以是正方体表面展开图的是 ( ) A. B. C. D. 解析：观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可 . 这些图形中，可以是正方体表面展开图的是 . 答案： D 4.不等式组 102 5 1xx 的解集为 ( ) A.x -2 B.x -1 C.x 1 D.x 3 解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的公共部分即可 . 102
3、5 1xx ， 解不等式得： x 1， 解不等式得： x 3， 不等式组的解集为 x 1. 答案： C. 5.如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， DE BC.若 A=62， AED=54，则 B的大小为 ( ) A.54 B.62 C.64 D.74 解析：根据平行线的性质得到 C= AED=54，根据三角形的内角和即可得到结论 . DE BC， C= AED=54， A=62， B=180 - A- C=64 . 答案： C. 6.如图，将边长为 3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形 .若拿掉边长 2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这
4、块矩形较长的边长为 ( ) A.3a+2b B.3a+4b C.6a+2b D.6a+4b 解析：观察图形可知，这块矩形较长的长 =边长为 3a的正方形的边长 -边长 2b的小正方形的边长 +边长 2b的小正方形的边长的 2倍，依此计算即可求解 . 3a-2b+2b2=3a -2b+4b=3a+2b. 故这块矩形较长的边长为 3a+2b. 答案： A. 7.如图，点 A， B， C在 O上， ABC=29，过点 C作 O的切线交 OA的延长线于点 D，则 D的大小为 ( ) A.29 B.32 C.42 D.58 解析：作直径 B C，交 O于 B，连接 AB， 则 AB C= ABC=29，
5、 OA=OB， AB C= OAB=29 . DOC= AB C+ OAB=58 . CD是的切线， OCD=90 . D=90 -58 =32 . 答案： B. 8.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC的顶点 A的坐标为 (-4， 0)，顶点 B在第二象限， BAO=60， BC交 y轴于点 D， DB： DC=3： 1.若函数 kyx(k 0， x 0)的图象经过点 C，则 k的值为 ( ) A. 33B. 32C.233D. 3 解析：四边形 ABCD 是平行四边形，点 A的坐标为 (-4， 0)， BC=4， DB： DC=3： 1， B(-3， OD)， C(1， OD)，
6、 BAO=60， COD=30， OD= 3 ， C(1， 3 )， k= 3 . 答案： D. 二、填空题 (每题 3分，满分 18分，将答案填在答题纸上 ) 9.计算： 23 . 解析：根据二次根式的乘法法则进行计算即可 . 2 3 6. 答案： 6 . 10.若关于 x的一元二次方程 x2+4x+a=0有两个相等的实数根，则 a的值是 . 解析：关于 x的一元二次方程 x2+4x+a=0有两个相等的实数根， =42-4a=16-4a=0， 解得： a=4. 答案： 4. 11.如图，直线 a b c，直线 l1， l2与这三条平行线分别交于点 A， B， C 和点 D， E， F.若AB
7、： BC=1： 2， DE=3，则 EF 的长为 . 解析： a b c， AB DEBC EF， 12 3EF， EF=6. 答案： 6. 12.如图，则 ABC中， BAC=100， AB=AC=4，以点 B为圆心， BA 长为半径作圆弧，交 BC于点 D，则 AD 的长为 .(结果保留 ) 解析：先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出 B的度数，再代入弧长公式计算即可 . ABC中， BAC=100， AB=AC， B= C=12(180 -100 )=40， AB=4， AD 的长为 40 4 8180 9 . 答案： 89. 13.如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出
8、的，人们称它为“赵爽弦图” .此图案的示意图如图，其中四边形 ABCD和四边形 EFGH都是正方形， ABF、 BCG、 CDH、 DAE是四个全等的直角三角形 .若 EF=2， DE=8，则 AB的长为 . 解析：依题意知， BG=AF=DE=8， EF=FG=2 BF=BG-BF=6， 直角 ABF中，利用勾股定理得： 2 2 2 28 6 1 0A B A F B F . 答案： 10. 14.如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点 A在第一象限，点 B， C的坐标为 (2， 1)， (6，1)， BAC=90， AB=AC，直线 AB交 x轴于点 P.若 ABC与 ABC关于点 P
9、成中心对称，则点 A的坐标为 . 解析：如图所示 ，过点 A作 AD垂直 BC. 点 B， C的坐标为 (2， 1)， (6， 1)，得 BC=4. 由 BAC=90， AB=AC， 得 AB=2 2 ， ABD=45， BD=AD=2， A(4， 3)， 设 AB的解析式为 y=kx+b，将 A， B点坐标代入，得 2132kbkb， 解得 11kb， AB的解析式为 y=x-1， 当 y=1时， x=1，即 P(1， 0)， 由中点坐标公式，得 xA =2xP-xA=2-4=-2， yA =2yA -yA=0-3=-3， A (-2， -3). 答案： (-2， -3). 三、解答题 (本
10、大题共 10小题，共 78 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 15.先化简，再求值： 3a(a2+2a+1)-2(a+1)2，其中 a=2. 解析：原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值 . 答案：原式 =3a3+6a2+3a-2a2-4a-2=3a3+4a2-a-2， 当 a=2时，原式 =3 23+4 22-2-2=24+16-2-2=36. 16.一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母 a， b， c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随
11、机摸出一个小球记下字母 .用画树状图 (或列表 )的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率 . 解析：列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概率 . 答案：列表如下： 所有等可能的情况有 9 种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有 3种， 则小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率为 1339P. 17.如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31， AB的长为 12米，求大厅两层之间的距离 BC的长 .(结果精确到 0.1米 )(参考数据： sin31 =0.515， cos31 =0.857， tan31=0.60) 解析： 过
12、 B作地平面的垂线段 BC，垂足为 C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出 BC 的长 . 答案 ：过 B作地平面的垂线段 BC，垂足为 C. 在 Rt ABC中， ACB=90， BC=AB sin BAC=12 0.515 6.18(米 ). 即大厅两层之间的距离 BC的长约为 6.18米 . 18.某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳 .已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费 750元，购买排球共花费 900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多 30个，求跳绳的单价 . 解析：首先设跳绳的单价为 x 元，则排球的单价为 3x 元，根据题意可得等量关系： 7
13、50 元购进的跳绳个数 -900元购进的排球个数 =30，依此列出方程，再解方程可得答案 . 答案：设跳绳的单价为 x元，则排球的单价为 3x元， 依题意 得： 750 900 303xx， 解方程，得 x=15. 经检验： x=15是原方程的根，且符合题意 . 答：跳绳的单价是 15 元 . 19.如图，在菱形 ABCD中， A=110，点 E是菱形 ABCD内一点，连结 CE绕点 C顺时针旋转 110，得到线段 CF，连结 BE， DF，若 E=86，求 F的度数 . 解析：由菱形的性质有 BC=CD， BCD= A=110，根据旋转的性质知 CE=CF， ECF=BCD=110，于是得到
14、 BCE= DCF=110 - DCE，根据三角形的判定证 得 BCE DCF，根据三角形的性质即可得到结论 . 答案：菱形 ABCD， BC=CD， BCD= A=110， 由旋转的性质知， CE=CF， ECF= BCD=110， BCE= DCF=110 - DCE， 在 BCE和 DCF中， B C C DB C E D C FC E C F ， BCE DCF， F= E=86 . 20.某校八年级学生会为了解本年级 600名学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长 t(小时 )分为 A， B， C， D， E(A： 9 t 24； B： 8 t 9； C： 7 t 8； D： 6 t
15、 7； E： 0 t6)五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取 n名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)求 n的值 . 解析： (1)将各频数相加即可 . 答案： (1)n=12+24+15+6+3=60. (2)根据统计结果，估计该年级 600名学生中睡眠时长不足 7小时的人数 . 解析： (2)先计算不足 7 小时 (即最后两组： D 和 E 组 )，两组的百分比，与总人数 600 的积就是结果 . 答案： (2)(6+3) 60 600=90， 答：估计该年级 600名学生中睡眠时长不足 7小时的人数为 90 人 . 21.甲、乙两
16、车间同时开始加工一批服装 .从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了 9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止 .设甲、乙两车间各自加工服装的数量为 y(件 ).甲车间加工的时间为 x(时 )， y与 x之间的函数图象如图所示 . (1)甲车间每小时加工服装件数为 件；这批服装的总件数为 件 . 解析： (1)根据工作效率 =工作总量工作时间，即可求出甲车间每小时加工服装件数，再根据这批服装的总件数 =甲车间加工的件数 +乙车间加工的件数，即可求出这批服装的总件数 . 答案： (1)甲车间每小时加工服装件数为 720 9
17、=80(件 )， 这批服装的总件数为 720+420=1140(件 ). 故答案为： 80； 1140. (2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量 y与 x之间的函数关系式 . 解析： (2)根据工作效率 =工作总量工作时间，即可求出乙车间每小时加工服装件数，根据工作时间 =工作总量工作效率结合工作结束时间，即可求出乙 车间修好设备时间，再根据加工的服装总件数 =120+工作效率工作时间，即可求出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量 y与 x之间的函数关系式 . 答案： (2)乙车间每小时加工服装件数为 120 2=60(件 )， 乙车间修好设备的时间为 9-(420-120) 60=4(
18、时 ). 乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量 y与 x之间的函数关系式为： y=120+60(x-4)=60x-120(4 x 9). (3)求甲、乙两车间共同加工完 1000件服装时甲车间所用的时间 . 解析： (3)根据加工的服装总件数 =工作效率工作时间，求出甲车间加工服装数量 y 与 x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于 1000，求出 x值，此题得解 . 答案： (3)甲车间加工服装数量 y与 x之间的函数关系式为 y=80x， 当 80x+60x-120=1000 时， x=8. 答：甲、乙两车间共同加工完 1000件服装时甲车间所用的时间为 8小时 . 22.如图所
19、示： 【再现】如图，在 ABC 中，点 D， E 分别是 AB， AC 的中点，可以得到： DE BC，且 DE= 12 BC.(不需要证明 ) 【探究】如图，在四边形 ABCD中，点 E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， DA 的中点，判断四边形 EFGH的形状，并加以证明 . 解析：【探究】利用三角形的中位线定理可得出 HG=EF、 EF GH，继而可判断出四边形 EFGH的形状 . 答案：【探究】平行四边形 . 理由：如图 1，连接 AC， E是 AB的中点， F是 BC的中点， EF AC， EF=12AC， 同理 HG AC， HG=12AC， 综上可得： EF HG
20、， EF=HG， 故四边形 EFGH是平行四边形 . 【应用】在 (1)【探究】的条件下，四边形 ABCD中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？你添加的条件是： .(只添加一个条件 ) 解析：【应用】 (1)同【探究】的方法判断出 EF=12AC，即可判断出 EF=FG，即可得出结论 . 答案：【应用】 (1)添加 AC=BD， 理由：连接 AC， BD，同 (1)知， EF=12AC， 同【探究】的方法得， FG=12BD， AC=BD， EF=FG， 四边形 EFGH是平行四边形， Y EFGH是菱形 . 故答案为 AC=BD. (2)如图，在四边形 ABCD中，点 E， F， G
21、， H分别是 AB， BC， CD， DA 的中点，对角线 AC，BD相交于点 O.若 AO=OC，四边形 ABCD面积为 5，则阴影部分图形的面积和为 . 解析： (2)先判断出 S BCD=4S CFG，同理： S ABD=4S AEH，进而得出 S 四边形 EFGH=52，再判断出 OM=ON，进而得出 S 阴影 =12S 四边形 EFGH即可 . 答案： (2)如图 2，由【探究】得，四边形 EFGH是平行四边形， F， G是 BC， CD 的中点， FG BD， FG=12BD， CFG CBD， 14CFGBCDSS VV， S BCD=4S CFG， 同理： S ABD=4S A
22、EH， 四边形 ABCD面积为 5， S BCD+S ABD=5， S CFG+S AEH=54， 同理： S DHG+S BEF=54， S 四边形 EFGH=S 四边形 ABCD-(S CFG+S AEH+S DHG+S BEF) 55522 ， 设 AC与 FG， EH相交于 M， N， EF 与 BD相交于 P， FG BD， FG=12BD， CM=OM=12OC， 同理： AN=ON=12OA， OA=OC， OM=ON， 易知，四边形 ENOP， FMOP是平行四边形， S阴影 =12S四边形 EFGH=54. 故答案为 54. 23.如图，在 Rt ABC 中， C=90， A
23、B=10， BC=6，点 P从点 A出发，沿折线 AB-BC向终点 C运动，在 AB上以每秒 5个单位长度的速度运动，在 BC上以每秒 3个单位长度的速度运动，点 Q从点 C出发，沿 CA 方向以每秒 43个单位长度的速度运动， P， Q两点同时出发，当点 P停止时，点 Q也随之停止 .设点 P运动的时间为 t秒 . (1)求线段 AQ的长 .(用含 t的代数式表示 ) 解析： (1)利用勾股定理先求出 AC，根据 AQ=AC-CQ即可解决问题 . 答案： (1)在 Rt ABC 中， C=90， AB=10， BC=6， 2 2 2 21 0 6 8A C A B B C ， CQ=43t，
24、 AQ=8-43t(0 t 4). (2)连结 PQ，当 PQ与 ABC 的一边平行时，求 t的值 . 解析： (2)分两种情形列出方程求解即可 . 答案： (2)当 PQ BC 时， AP AQAB AC， 485 310 8tt ， t=32. 当 PQ AB 时， CQ CPCA CB， 4 6 3 2386t t ， t=3. 综上所述， t=32或 3时，当 PQ与 ABC的一边平行 . (3)如图，过点 P作 PE AC于点 E，以 PE， EQ为邻边作矩形 PEQF，点 D为 AC的中点，连结 DF.设矩形 PEQF与 ABC 重叠部分图形的面积为 S.当点 Q在线段 CD上运动
25、时，求 S与t之间的函数关系式；直接写出 DF 将矩形 PEQF分成两部分的面积比为 1： 2时 t的值 . 解析： (3)分三种情形 a、如图 1中，当 0 t 32时，重叠部分是四边形 PEQF.b、如图 2中，当 32 t 2时，重叠部分是四边形 PNQE.C、如图 3中，当 2 t 3时，重叠部分是五边形 MNPBQ.分别求解即可； 分两种情形 a、如图 4中，当 DE： DQ=1： 2时， DF将矩形 PEQF分成两部分的面 积比为 1：2.b、如图 5中，当 NE： PN=1： 2时， DF将矩形 PEQF分成两部分的面积比为 1： 2.分别列出方程即可解决问题 . 答案： (3)
26、如图 1中， a、当 0 t 32时，重叠部分是四边形 PEQF. S=PE EQ=3t (8-4t-43t)=-16t2+24t. b、如图 2中，当 32 t 2时，重叠部分是四边形 PNQE. 12PFNP E Q FS S S P E E Q F P F N V g g g四 边 形24 1 4 3 4 1 63 4 8 4 8 4 8 8 2 43 2 3 4 3 3t t t t t t t t t g g g. c、如图 3中，当 2 t 3时，重叠部分是五边形 MNPBQ. 12F N MP B Q FS S S Q C P C F M F N V gg四 边 形 24 1 4
27、 4 2 06 3 2 4 2 4 2 3 2 2 43 2 3 3 334t t t t t t t t g g g g. a、如图 4中，当 DE： DQ=1： 2时， DF将矩形 PEQF分成两部分的面积比为 S DQF： S 四边形 DEPF=1：2. 则有 (4-4t)： (4-43t)=1： 2，解得 t=35， b、如图 5 中，当 NE： PN=1： 2 时， DF 将矩形 PEQF 分成两部分的面积比 S DQF： S 四边形 DEPF=1：2. DE： DQ=NE： FQ=1： 3， (4t-4)： (4-43t)=1： 3， 解得 t=65， 综上所述，当 t=35或 6
28、5时， DF将矩形 PEQF分成两部分的面积比为 1： 2. 24.定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值，当 x 0时，它们对应的函数值互为相反数；当 x 0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数 .例如：一次函数 y=x-1，它们的相关函数为 1()010xxyxx . (1)已知点 A(-5， 8)在一次函数 y=ax-3的相关函数的图象上，求 a的值 . 解析： (1)函数 y=ax-3 的相关函数为 3 ()()030a x xya x x ，将然后将点 A(-5， 8)代入 y=-ax+3求解即可 . 答案： (1)函数 y=ax-3 的相关函数为 3
29、 ()()030a x xya x x ， 将点 A(-5， 8)代入 y=-ax+3得： 5a+3=8，解得： a=1. (2)已知二次函数 2 4 12y x x .当点 B(m， 32)在这个函数的相关函数的图象上时，求 m的值； 当 -3 x 3时，求函数 2 4 12y x x 的相关函数的最大值和最小值 . 解析： (2)二次函数 2 4 12y x x 的相关函数为 2240112402xxyxxx x . 分为 m 0和 m 0两种情况将点 B的坐标代入对应的关系式求解即可 . 当 -3 x 0时， 2 4 12y x x ，然后可 此时的最大值和最小值，当 0 x 3时，函数
30、2 4 12y x x ，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当 -3 x 3 时的最大值和最小值 . 答案： (2)二次函数 2 4 12y x x 的相关函数为 2240112402xxyxxx x . 当 m 0 时，将 B(m， 32)代入 2 4 12y x x 得 2224 13mm ，解得： m=2+ 5 (舍去 )或 m=2- 5 . 当 m 0时，将 B(m， 32)代入 2 4 12y x x 得： 2 1224 3mm ，解得： m=2+ 2 或m=2- 2 . 综上所述： m=2- 5 或 m=2+ 2 或 m=2- 2 . 当 -3 x 0时， 2 4 12y x x
31、 ，抛物线的对称轴为 x=2，此时 y随 x的增大而减小， 此时 y的最大值为 432. 当 0 x 3时，函数 2 4 12y x x ，抛物线的对称轴为 x=2，当 x=0有最小值，最小值为 12，当 x=2时，有最大值，最大值 y=72. 综上所述，当 -3 x 3 时，函数 2 4 12y x x 的相关函数的最大值为 432，最小值为12 . (3)在平面直角坐标系中，点 M， N 的坐标分别为 ( 12， 1)， (92， 1)，连结 MN.直接写出线段 MN 与二次函数 y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时 n的取值范围 . 解析： (3)首先确定出二次函数 y=-
32、x2+4x+n的相关函数与线段 MN恰好有 1个交点、 2个交点、3个交点时 n的值，然后结合函数图象 可确定出 n的取值范围 . 答案： (3)如图 1所示：线段 MN与二次函数 y=-x2+4x+n 的相关函数的图象恰有 1个公共点 . 所以当 x=2时， y=1，即 -4+8+n=1，解得 n=-3. 如图 2所示：线段 MN 与二次函数 y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有 3个公共点 抛物线 y=x2-4x-n与 y轴交点纵坐标为 1， -n=1，解得： n=-1. 当 -3 n -1时，线段 MN 与二次函数 y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有 2个公共点 . 如图 3所示：线段 MN 与二次函数 y=-x2+4x+n的相关函数的图象 恰有 3个公共点 . 抛物线 y=-x2+4x+n经过点 (0， 1)， n=1. 如图 4所示：线段 MN 与二次函数 y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有 2个公共点 . 抛物线 y=x2-4x-n经过点 M( 12， 1)， 14+2-n=1，解得： n=54. 1 n 54时，线段 MN 与二次函数 y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有 2个公共点 . 综上所述， n的取值范围是 -3 n -1或 1 n 54.
