1、2017年安徽省淮北市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 P=(-， 0 (3， + )， Q=0， 1， 2， 3，则 ( RP) Q=( ) A.0， 1 B.0， 1， 2 C.1， 2， 3 D.x|0 x 3 解析：根据补集与交集的定义，写出对应的结果即可 . 答案： C. 2.复数 z=1ii的共轭复数的模为 ( ) A.12B. 22C.1 D.2 解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，结合 |z |=|z|求解 . 答案： B. 3.已知 x， y满足线性约束
2、条件 35yxxyy ，若 z=x+4y的最大值与最小值之差为 5，则实数的值为 ( ) A.3 B.73C.32D.1 解析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值和最小值 .建立方程关系进行求解即可 . 答案： A. 4.函数 f(x)=|x|+ax(其中 a R)的图象不可能是 ( ) A. B. C. D. 解析：分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断 . 答案： C. 5.已知三个数 1， a， 9 成等比数列，则圆锥曲线 222xya =1的离心率为 ( ) A. 33B. 5 C. 5 或 102D. 33或 102解析：由已知求
3、得 a值，然后分类讨论求得圆锥曲线 222xya =1的离心率 . 答案： D. 6.在 ABC中， A=3， BC=4 3 ，则 ABC的周长为 ( ) A.4 3 +8 3 sin(B+6) B.4 3 +8sin(B+3) C.4 3 +8 3 cos(B+6) D.4 3 +8cos(B+3) 解析：由正弦定理可得 43s i n s i n s i n 32A B A C B CC B A=8，利用三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，化简即可得解 . 答案： A. 7.下列说法正确的是 ( ) (1)已知等比数列 an，则“数列 an单调递增”是“数列 an的公比 q 1”的充
4、分不必要条件； (2)二项式 (2x+ 1x)5的展开式按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是 15； (3)已知 S= 1 22014 x dx，则 S= 16； (4)为了解 1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为 40. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4) 解析： (1)等比数列 an单调递增时 公比 q 1 且首项 a1 0，或公比 0 q 1 且首项 a1 0； (2)根据二项式 (2x+ 1x)5的展开式的通项公式可得展开式中无理项项数，再用古典概型概率计算公式可求； (3)S= 1 2201
5、4 x dx表示圆 x2+y2=14(y 0， 0 x 12)的圆的面积；(4)1000 40=25. 答案： B. 8.执行如图的程序框图，则输出 S的值为 ( ) A. t a n 2 0 1 7 t a n 1 9 4 9 67t a n 1 B. t a n 2 0 1 6 t a n 1 9 4 9 67t a n 1 C. t a n 2 0 1 7 t a n 1 9 4 9 68t a n 1 D. t a n 2 0 1 6 t a n 1 9 4 9 68t a n 1 解析：执行程序框图，得出 S的算式，再利用两角差的正切公式计算 S的值即可 . 答案： C. 9.如图是
6、某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积 ( ) A. 33B. 32C.233D. 3 解析：如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面 ACBD底面 PAB.侧面 ACBD为直角梯形， PA AB. 答案： D. 10.若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐标满足条件： |x1x2+y1y2|- 2 2 2 21 1 2 2x y x y 的最大值为 0，则称 f(x)为“柯西函数”， 则下列函数： f(x)=x+1x(x 0)； f(x)=lnx(0 x 3)； f(x)=2sinx
7、； f(x)= 228x . 其中为“柯西函数”的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由柯西不等式得：对任意实数 x1， y1， x2， y2， |x1x2+y1y2|- 2 2 2 21 1 2 2x y x y 0恒成立 (当且仅当存在实数 k，使得 x1=kx2， y1=ky2取等号 )，若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐标满足条件： |x1x2+y1y2|- 2 2 2 21 1 2 2x y x y 的最大值为 0，则函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，使得 OA、
8、OB 共线，即存在点 A、 B与点 O共线，逐一判定即可 . 答案： C. 11.已知直线 l1与圆心为 C 的圆 (x-1)2+(y-2)2=4 相交于不同的 A， B 两点，对平面内任意点Q都有 ()1Q C Q A Q B ， R，又点 P为直线 l2： 3x+4y+4=0上的动点，则 PA PB的最小值为 ( ) A.21 B.9 C.5 D.0 解析：由 ()1Q C Q A Q B ， R，得三点 A、 B、 C 共线，由向量的线性运算的BA PA PB， 2 2 222P C P A P B B A P A P B P A P B ， 2 2 242P C P A P B P A
9、 P B . -得 2 2 21 44P A P B P C B A P C ，求出 PC范围即可 . 答案： C. 12.已知定义在 (0， + )的函数 f(x)，其导函数为 f (x)，满足： f(x) 0且 23 fxxx f x 总成立，则下列不等式成立的是 ( ) A.e2e+3f(e) e2 3f( ) B.e2e+3f( ) e2 3f(e) C.e2e+3f( ) e2 3f(e) D.e2e+3f(e) e2 3f( ) 解析：令 g(x)=e2xx3f(x)， g (x)=e2xx2(2x+3)f(x)+xf (x) 0， g(x)=e2xx3f(x)在 (0，+ )上单
10、调递增 g(e) g( )，即可得到 . 答案： A. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 . 13.已知实数 a， b 均大于 0，且2211 abab 2m-4 总成立，则实数 m 的取值范围是_. 解析：求得2211 abab 的最小值，可得 2m-4 2 2 ，即可得到 m的范围 . 答案： (-， 2+ 2 . 14.设随机变量服从正态分布 N(2， 9)，若 P( c+1)=P( c-1)，则 c=_. 解析：画正态曲线图，由对称性得 c-1与 c+1的中点是 2，由中点坐标公式得到 c的值 . 答案： 2. 15.函数 f(x)=2sinx+2cosx-si
11、n2x+1， x -512，3)的值域是 _. 解析：根据题意，令 t=sinx+cosx，用 t 表示出 sin2x，求出函数 y=f(t)的解析式，根据 x的取值范围，再求出 t 的取值范围，从而求出 f(t)值域 . 答案： 3 22， 3. 16.等差数列 an的前 n项和为 Sn，数列 bn是等比数列，且满足 a1=3， b1=1， b2+S2=10， a5-2b2=a3，数列 nnab 的前 n项和 Tn，若 Tn M对一切正整数 n都成立，则 M的最小值为 _. 解析：利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出 an以及 bn和 nnab 的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不
12、等式恒成立进行求解即可 . 答案： 10. 三、解答题：本大题共 5小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.在 ABC 中，设边 a， b， c 所对的角为 A， B， C，且 A， B， C 都不是直角，(bc-8)cosA+accosB=a2-b2. ( )若 b+c=5，求 b， c的值； ( )若 a= 5 ，求 ABC面积的最大值 . 解析： ( )由已知利用余弦定理化简已知等式可得 b2+c2-a2-8 2 2 22b c abc=0，又 ABC不是直角三角形，解得 bc=4，又 b+c=5，联立即可解得 b， c的值 . ( )由余弦定理，基本不等
13、式可得 5=b2+c2-2bccosA 2bc-2bccosA=8-8cosA，解得 cosA 38，可求 sinA 558，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值 . 答案： ( ) (bc-8) 2 2 22b c abc 2 2 22a c bac=a2-b2， 2 2 22b c a-8 2 2 22b c abc+ 2 2 22a c b=a2-b2， b2+c2-a2-8 2 2 22b c abc=0， ABC不是直角三角形， bc=4， 又 b+c=5， 解得 14bc或 41bc. ( ) a= 5 ，由余弦定理可得 5=b2+c2-2bccosA 2bc-2bccos
14、A=8-8cosA， cosA 38， sinA 558，所以 S ABC=12bcsinA 554. ABC面积的最大值是 554，当 cosA=38时取到 . 18.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校 80位性别不同的 2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表： ( )能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？ 参考公式： k2= 2n a d b ca b c d a c b d (n=a+b+c+d). 附表： ( )求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；
15、 ( )以 ( )中的频率作为概率 .该校近几年毕业的 2000名师范类大学生中随机选取 4名，记这 4名毕业生从事与教育有关的人数为 X，求 X的数学期望 E(X). 解析： ( )利用 k2计算公式即可得出 . ( )由图表知这 80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率 . ( )由题意知 X服从 B(4， 1316)，即可得出 E(X). 答案： ( )由题意得 k2= 28 0 3 0 5 3 5 1 0 8 04 0 4 0 6 1 3 9()55 3.841. 故不能在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关” ( )由图表知这 80位师
16、范类毕业生从事与教育有关工作的频率 p=65 1380 16. ( )由题意知 X服从 B(4， 1316)，则 EX=np=4 1316=134. 19.正三棱柱 ABC-A1B1C1底边长为 2， E， F分别为 BB1， AB的中点 . ( )已知 M为线段 B1A1上的点，且 B1A1=4B1M，求证： EM面 A1FC； ( )若二面角 E-A1C-F 所成角的余弦值为 277，求 AA1的值 . 解析： ( )取 B1A1中点为 N，连结 BN，推导出 BN A1F，从而 EM BN，进而 EM A1F，由此能证明 EM面 A1FC. ( )以 F为坐标原点建立空间直角坐标系，设
17、AA1=a，利用向量法能求出结果 . 答案： ( )取 B1A1中点为 N，连结 BN， 则 BN A1F，又 B1A1=4B1M， 则 EM BN，所以 EM A1F， 因为 EM 面 A1FC， A1F 面 A1FC， 故 EM面 A1FC. ( )如图，以 F为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AA1=a. 则 F(0， 0， 0)， A1(-1， 0， a)， E(1， 0，2a)， C(0， 3 ， 0)， EC =(-1， 3 ， -2a)， FC=(0， 3 ， 0)，1AE=(2， 0， -a2)，1AC=(1， 3 ， -a)， 设平面 A1CF 法向量为 m =(x， y，
18、z)， 设平面 A1CE 法向量为 n =(x， y， z). 则 1 3030A C m x y a zF C m y ，取 z=1，得 m =(a， 0， 1)， 1130202A C n x y a zaA E n x y ，取 x=a，得 n =(a， 3 a， 4)； 设二面角 E-A1C-F的平面角为， 二面角 E-A1C-F所成角的余弦值为 277， cos =cos m ， n = 2224 2 771 4 1 6aaa ， 整理，得 a2=43， a=233， 故当二面角 E-A1C-F所成角的余弦值为 277时， AA1的值为 233. 20.已知椭圆 C1： 22xyab
19、=1(a b 0)的离心率 e= 32，且过点 (2， 3 )，直线 l1： y=kx+m(m 0)与圆 C2： (x-1)2+y2=1相切且与椭圆 C1交于 A， B两点 . ( )求椭圆 C1的方程； ( )过原点 O作 l1的平行线 l2交椭圆于 C， D两点，设 |AB|= |CD|，求的最小值 . 解析： ( )由题意列关于 a， b， c的方程组，求解方程组得 a， b， c的值，则椭圆方程可求； ( )联立直线 l1的方程与椭圆方程，化为关于 x的一元二次方程，利用弦长公式求得 AB 的长度，联立直线 l2的方程与椭圆方程，求出 CD 的长度，结合 |AB|= |CD|利用换元法
20、求解的最小值 . 答案： ( )由题意得2324314ceaa ， 解得 a=4， b=2， 故 C1： 2216 4xy=1； ( )联立 22116 4y kx mxy ， 化简得 (1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0， 0恒成立， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 12 2212 28144414kmxxkmxxk ，得 |x1-x2|= 2224 1 6 414kmk， |AB|= 21 k 2224 1 6 414kmk， 把 l2： y=kx代入 C1： 2216 4xy=1，得 x2=21614k ， |CD|= 21 k 2814k， = 2 2
21、2 2222 24 1 6 41114422 414 114 22AB k m m mC D kk mm =424221 1 1442 1 2 1 1 324mmmm 63， 当 m= 2 ， k=- 24，取最小值 63. 21.已知函数发 f(x)=(x+1)lnx-ax+2. ( )当 a=1时，求在 x=1处的切线方程； ( )若函数 f(x)在定义域上具有单调性，求实数 a的取值范围； ( )求证： 1 1 1 1 1 l n 13 5 7 2 1 2 nn ， n N*. 解析： ( )求出函数的导数，计算 f(1)， f (1)，求出切线方程即可； ( )求出函数的导数，通过讨论
22、函数递减和函数递增，从而求出 a的范围即可； ( )令 a=2，得： lnx 211xx在 (1， + )上总成立，令 x= 1nn，得 ln 1nn1211 1nnnn ，化简得： ln(n+1)-lnn 221n，对 x取值，累加即可 . 答案： ( )当 a=1时， f(x)=(x+1)lnx-x+2， (x 0)， f (x)=lnx+1x， f (1)=1， f(1)=1， 所以求在 x=1处的切线方程为： y=x. ( )f (x)=lnx+1x+1-a， (x 0). (i)函数 f(x)在定义域上单调递减时， 即 a lnx+ 1xx时，令 g(x)=lnx+ 1xx， 当 x
23、 ea时， g (x) 0，不成立； (ii)函数 f(x)在定义域上单调递增时， a lnx+ 1xx； 令 g(x)=lnx+ 1xx， 则 g (x)=21xx ， x 0； 则函数 g(x)在 (0， 1)上单调递减，在 (1， + )上单调递增； 所以 g(x) 2，故 a 2. ( )由 (ii)得当 a=2时 f(x)在 (1， + )上单调递增， 由 f(x) f(1)， x 1 得 (x+1)lnx-2x+2 0， 即 lnx 211xx在 (1， + )上总成立， 令 x= 1nn得 ln 1nn1211 1nnnn ， 化简得： ln(n+1)-lnn 221n， 所以
24、ln2-ln1 221， ln3-ln2 251， ln(n+1)-lnn 221n， 累加得 ln(n+1)-ln1 2 2 23 5 2 1n ， 即 1 1 1 1 1 l n 13 5 7 2 1 2 nn ， n N*命题得证 . 选做题 22.以平面直角坐标系的原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .设曲线 C的参数方程为 2 co s3 sinxy(是参数 )，直线 l的极坐标方程为 cos( +6)=2 3 . ( )求直线 l的直角坐标方程和曲线 C的普通方程； ( )设点 P为曲线 C上任意一点，求点 P到直线 l的距离的最大值 . 解析： ( )利用极坐标和直角
25、坐标的互化公式把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程 .利用同角三角函数的基本关系消去，把曲线 C的参数方程化为直角坐标方程 . ( )设点 P(2cos， 3 sin )，求得点 P 到直线 l 的距离 d= | ( ) |1 5 c o s 4 32，tan =12，由此求得 d的最大值 . 答案： ( )直线 l的极坐标方程为 cos( +6)=2 3 ，即 ( 32cos -12sin )=2 3 ，即 3 x-y-4 3 =0. 曲线 C的参数方程为 2 co s3 sinxy(是参数 )，利用同角三角函数的基本关系消去， 可得 2243xy=1. ( )设点 P(2cos， 3
26、sin )为曲线 C上任意一点， 则点 P到直线 l的距离 d= 2 3 c o s 3 s i n 4 3|31=2 5 51 5 c o s s i n 4 355|2() =| ( ) |1 5 c o s 4 32，其中， cos =255 ，sin = 55，即 tan =12， 故当 cos( + )=-1时， d取得最大值为 15 4 32. 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2| ( )当 a=-3时，求不等式 f(x) 3的解集； ( )若 f(x) |x-4|的解集包含 1， 2，求 a的取值范围 . 解析： ( )不等式等价于 23 2 3xxx ，或 233
27、2 3xxx ，或 33 2 3xxx ，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求 . ( )原命题等价于 -2-x a 2-x在 1， 2上恒成立，由此求得求 a的取值范围 . 答案： ( )当 a=-3 时， f(x) 3 即 |x-3|+|x-2| 3，即 23 2 3xxx ，或233 2 3xxx ，或 33 2 3xxx . 解可得 x 1，解可得 x ，解可得 x 4. 把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x 1或 x 4. ( )原命题即 f(x) |x-4|在 1， 2上恒成立，等价于 |x+a|+2-x 4-x在 1， 2上恒成立， 等价于 |x+a| 2，等价于 -2 x+a 2， -2-x a 2-x在 1， 2上恒成立 . 故当 1 x 2时， -2-x的最大值为 -2-1=-3， 2-x的最小值为 0， 故 a的取值范围为 -3， 0.
