1、2017年山东省日照市五莲县中考一模数学 一、选择题 (本大题共 12小题，共 40 分 ) 1.数 a的相反数是 ( ) A.a B.1 C. a D. a 解析 ： 数 a的相反数是 a， 故选 C. 答案： C 2.如图是由 6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形， 第二横行有 3个正方形， 第三横行中间有一个正方形 . 答案： C. 3.下列运算正确的是 ( ) A. 213 9 B. 4 2 C. 2(a b)= 2a 2b D.ab4 ( ab)= b3 解析： A、原式 =9，不符合题
2、意； B、原式 =2，不符合题意； C、原式 = 2a+2b，不符合题意； D、原式 = b3，符合题意， 答案： D 4.如图， AB是 O的直径， AC 是 O的切线，连接 OC 交 O于点 D，连接 BD， C=40 .则 ABD的度数是 ( ) A.30 B.25 C.20 D.15 解析： AC 是 O的切线， OAC=90 ， C=40 ， AOC=50 ， OB=OD， ABD= BDO， ABD+ BDO= AOC， ABD=25 ， 答案： B. 5.我国计划在 2020 年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示
3、为 ( ) A.5.5 106千米 B.5.5 107千米 C.55 106千米 D.0.55 108千米 解析： 5500万 =5.5 107. 答案： B. 6.关于 x的一元二次方程 x2 3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围为 ( ) A. 94mB. 94mC. 94m=D. 94m -解析：根据题意得 =( 3)2 4m 0， 解得 94m. 答案： B. 7. 2015 年日照市人民政府投入 1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到 2017年再追加投资 210万元，如果每年的平均增长率相同，那么我市这两年该项投入的平均增长率为 ( ) A.1.21%
4、 B.8% C.10% D.12.1% 解析：设我市这两年该项投入的平均增长率为 x， 依题意得： 1000 (1+x)2=210+1000， 解得 x1=0.1=10%， x2= 2.1(舍去 ). 即我市这两年该项投入的平均增长率为 10%. 答案： C. 8.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+b2 4ac 与反比例函数abcy x 在同一坐标系内的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析：由抛物线的图象可知，横坐标为 1的点，即 (1， a+b+c)在第四象限，因此 a+b+c 0； 双曲线 abcyx的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上
5、，所以 a 0； 对称轴 02bx a ，所以 b 0； 抛物线与 x轴有两个交点，故 b2 4ac 0； 直线 y=bx+b2 4ac经过第一、二、四象限 . 答案： D. 9.如果不等式组2xax恰有 3个整数解，则 a的取值范围是 ( ) A.a 1 B.a 1 C. 2 a 1 D. 2 a 1 解析 ：如图， 由图象可知：不等式组2xax恰有 3个整数解， 需要满足条件： 2 a 1. 答案： C. 10.如图，在四边形 ABCD中， ABC=90 ， AB=BC=22， E、 F分别是 AD、 CD的中点，连接BE、 BF、 EF.若四边形 ABCD的面积为 6，则 BEF的面积为
6、 ( ) A.2 B.94C.52D.3 解析 ：连接 AC，过 B作 EF 的垂线交 AC于点 G，交 EF于点 H， ABC=90 ， AB=BC=22， 2222 2 2 2 2 4A C A B B C ， ABC为等腰三角形， BH AC， ABG， BCG为等腰直角三角形， AG=BG=2 112 2 2 22 24ABCS A B A C ， S ADC=2， 2ABCACDSS ， DEF DAC， 1142G H BG， 52BH， 又 12 2EF AC， 1 1 5 52 22 2 2BEFS E F B H ， 故选 C. 方法二： S BEF=S 四边形 ABCD S
7、 ABE S BCF S FED， 易知 S ABE+S BCF=12S 四边形 ABCD=3， S EDF=12， S BEF=S 四边形 ABCD S ABE S BCF S FED= 15326 2 . 答案： C. 11.如图， AB为半圆 O 的直径， CD 切 O于点 E， AD、 BC分别切 O于 A、 B两点， AD与 CD相交于 D， BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、 OC，对于下列结论： OD2=DE CD； AD+BC=CD； OD=OC； S 梯形 ABCD=CD OA； DOC=90 ； 若切点 E 在半圆上运动 (A、 B 两点除外 )，则线段 AD与 BC
8、的积为定值 .其中正确的个数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析 ：连接 OE，如图所示： AD与圆 O相切， DC 与圆 O相切， BC与圆 O相切， DAO= DEO= OBC=90 ， DA=DE， CE=CB， AD BC， CD=DE+EC=AD+BC，选项 正确； 12A B C DS A D B C A B C D O A 梯 形；选项 正确； 在 Rt ADO和 Rt EDO 中， OD ODDA DE， Rt ADO Rt EDO(HL)， AOD= EOD， 同理 Rt CEO Rt CBO， EOC= BOC， 又 AOD+ DOE+ EOC+ COB=180
9、 ， 2( DOE+ EOC)=180 ，即 DOC=90 ，选项 正确； DOC= DEO=90 ，又 EDO= ODC， EDO ODC， OD DECD OD，即 OD2=DC DE，选项 正确； 同理 ODE OEC， OD DEOC OE， OD OC，选项 错误； COD=90 ， OE CD， OE2=CE DE， DA=DE， CE=CB， AD BC=OE2， 线段 AD与 BC的积为定值，故 正确 . 答案： A. 12.已知二次函数 y=ax2+bx+1(a 0)的图象过点 (1， 0)和 (x1， 0)，且 2 x1 1，下列 5个判断中： b 0； b a 0； a
10、b 1； a 12； 2a b+12，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 抛物线与 x轴的交点为 (1， 0)和 (x1， 0)， 2 x1 1，与 y轴交于正半轴， a 0， 2 x1 1， 212 0ba ， b 0， b a，故 正确， 错误； 当 x= 1时， y 0， a b+1 0， a b 1故 正确； 由一元二次方程根与系数的关系知12cxxa， 1 1x a， 2 x1 1， 121a ， 12a ，故 正确； 当 x= 2时， y 0， 4a 2b+1 0， 2 12ab，故 正确， 综上所述，正确的结论有 ， 答案 ： D. 二、填空题 (本大题共 4小题
11、，每小题 4分，共 16分 ) 13.因式分解： 2x2y+8xy 6y=_. 解析 ：原式 = 2y(x2 4x+3)= 2y(x 1)(x 3)， 答案 ： 2y(x 1)(x 3) 14.求 1+2+22+23+ +22017的值，可令 S=1+2+22+23+ +22017，则 2S=2+22+23+ +22018，因此 2S S=22018 1，仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+ +52017的值为 _. 解析 ：令 S=1+5+52+53+ +52017 ， 5得：则 5S=5+52+53+ +52017+52018 ， 得： 4S=52018 1， 2018514S .
12、答案 ： 2018514. 15.如图：在 x轴的上方，直角 BOA绕原点 O顺时针方向旋转，若 BOA的两边分别与函数1y x 、 2y x 的图象交于 B、 A两点，则 tanA=_. 解析 ：如图，分别过点 A、 B作 AN x轴、 BM x轴； AOB=90 ， BOM+ AON= AON+ OAN=90 ， BOM= OAN， BMO= ANO=90 ， BOM OAN， NBMON OMA； 设 B( m， 1m)， A(n， 2n)， 则 BM=1m， AN=2n， OM=m， ON=n， 2mnmn， 2mn ； AOB=90 ， tan OBO A BOA ； BOM OAN
13、， 122BMO N mOBOA n ， 由 知 2tan2O A B， 答案 ： 22. 16.如图四边形 ABCD中， AD=DC， DAB= ACB=90 ，过点 D作 DF AC，垂足为 F.DF与 AB相交于 E.设 AB=15， BC=9， P是射线 DF上的动点 .当 BCP的周长最小时， DP 的长为 _. 解析 ： ACB=90 ， AB=15， BC=9， 2 2 2 21 5 9 1 2A C A B B C ， AD=DC， DF AC， AF=CF=12AC=6， 点 C关于 DE的对称点是 A，故 E点与 P点重合时 BCP的周长最小， DP=DE， DE AC，
14、BC AC， DE BC， AEF ABC， AE AEAC AB，即 612 15AE，解得 152AE， DE BC， AED= ABC， DAB= ACB=90 ， Rt AED Rt CBA， AE DEBC AB，即 1529 15DE ，解得 DE=12.5，即 DP=12.5. 答案 ： 12.5. 三、解答题 (本大题共 6小题，共 64分 ) 17.(1)解不等式组 3 1 4 2123xxxx ，并写出不等式组的整数解 . (2)化简分式：23 1 1 1x x xx x x ，再从 2 x 3的范围内选取一个你最喜欢的值代入求值 . 解析： (1)根据解不等式组的方法可以
15、求得不等式组的解集，从而可以得到不等式组的整数解； (2)先化简题目中的式子，然后在 2 x 3 的范围内选取一个使得原分式有意义的 x 的值代入即可解答本题 . 答案 ： (1) 3 1 4 2123xxxx ， 解不等式 ，得 x 1， 解不等式 ，得 x 2， 由不等式 可得，原不等式组的解集是 2 x 1， 不等式组的整数解是： x= 1， 0； (2)23 1 1 1x x xx x x = 3 1 1 1 111x x x x x xx x x =3(x+1) (x 1) =3x+3 x+1 =2x+4， 当 x=2时，原式 =2 2+4=8. 18.如图，已知 ABC 中， AB
16、=AC，把 ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到 ADE，连接 BD，CE交于点 F. (1)求证： AEC ADB； (2)若 AB=2， BAC=45 ，当四边形 ADFC是菱形时，求 BF 的长 . 解析： (1)由旋转的性质得到三角形 ABC 与三角形 ADE 全等，以及 AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用 SAS得到三角形 AEC与三角形ADB全等即可； (2)根据 BAC=45 ，四边形 ADFC是菱形，得到 DBA= BAC=45 ，再由 AB=AD，得到三角形 ABD为等腰直角三角形，求出 BD的长，由 BD DF 求出 BF的长
17、即可 . 答案 ： (1)由旋转的性质得： ABC ADE，且 AB=AC， AE=AD， AC=AB， BAC= DAE， BAC+ BAE= DAE+ BAE，即 CAE= DAB， 在 AEC和 ADB中， A E A DC A E D A BA C A B ， AEC ADB(SAS)； (2) 四边形 ADFC是菱形，且 BAC=45 ， DBA= BAC=45 ， 由 (1)得： AB=AD， DBA= BDA=45 ， ABD为直角边为 2 的等腰直角三角形， BD2=2AB2，即 BD=22， AD=DF=FC=AC=AB=2， BF=BD DF=22 2. 19.国务院办公厅
18、 2015年 3月 16 日发布了中国足球改革的总体方案，这是中国足球历史上的重大改革 .为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了 “ 足球进校园 ” 知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表： 获奖等次 频数 频率 一等奖 10 0.05 二等奖 20 0.10 三等奖 30 b 优胜奖 a 0.30 鼓励奖 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： (1)a=_， b=_，且补全频数分布直方图； (2)若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？ (3)在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学
19、都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率 . 解析： (1)根据公式频率 =频数 样本总数，求得样本总数，再根据公式得出 a， b的值即可； (2)根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数 =优胜奖的频率 360 计算即可； (3)画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 . 答案 ： (1)样本总数为 10 0.05=200人， a=200 10 20 30 80=60人， b=30 200=0.15， 故答案为 60， 0.15； (2)优胜奖所在扇形的圆心角为 0.30 360=108 ；
20、 (3)列表：甲乙丙丁分别用 ABCD表示， A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有 12种等可能的结果，恰好选中 A、 B的有 2种， 画树状图如下： P(选中 A、 B)= 2112 6. 20.骑自相车旅行越来越受到人们的喜爱，顺风车行经营的 A型车 2016年 4月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售比去年增加 400元，若今年 4 月份与去年 4月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 4 月份 A 型车销售总额将比去年 4 月份销售总额增加25%. (1)求今年 4月份 A型车每辆销售价多少元
21、 (用列方程的方法解答 )； (2)该车行计划 5月份新进一批 A型车和 B型车共 50辆，且 B型车的进货数量不超过 A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、 B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格 (元 /辆 ) 1100 1400 销售价格 (元 /辆 ) 今年的销售价格 2400 解析： (1)设去年 A型车每辆 x元，那么今年每辆 (x+400)元，根据今年 4月份与去年 4月份卖出的 A型车数量相同，列方程求解即可； (2)设今年 5月份进 A 型车 m辆，则 B型车 (50 m)辆，获得的总利润为 y元，先求出 m的范围，构建一次函数，利用函
22、数性质解决问题 . 答案 ： (1)设去年 A型车每辆 x元，那么今年每辆 (x+400)元，根据题意得： 3 2 0 0 0 1 2 5 %32000 400xx ， 解得： x=1600， 经检验， x=1600是方程的解 . 答：今年 A型车每辆 2000元 . (2)设今年 5月份进 A 型车 m辆，则 B型车 (50 m)辆，获得的总利润为 y元， 根据题意得： 50 m 2m 解得： 2163m， y=(2000 1100)m+(2400 1400)(50 m)= 100m+50000， y随 m 的增大而减小， 当 m=17时，可以获得最大利润 . 答：进货方案是 A型车 17辆
23、， B型车 33辆 . 21.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了 “ 中垂三角形 ” ，即两条中线互相垂直的三角形称为 “ 中垂三角形 ” .如图 (1)、图 (2)、图 (3)中， AM、 BN是 ABC的中线， AM BN于点 P，像 ABC这样的三角形均为 “ 中垂三角形 ” .设 BC=a， AC=b， AB=c. 【特例探究】 (1)如图 1，当 tan PAB=1， c=42时， a=_， b=_； 如图 2，当 PAB=30 ， c=2时， a=_， b=_； 【归纳证明】 (2)请你观察 (1)中的计算结果，猜想 a2、 b2、 c2三者之间的关系，用等式
24、表示出来，并利用图 3证明你的结论 . 【拓展证明】 (3)如图 4， ABCD中， E、 F分别是 AD、 BC的三等分点，且 AD=3AE， BC=3BF，连接 AF、 BE、CE，且 BE CE于 E， AF与 BE相交点 G， AD=35， AB=3，求 AF的长 . 解析： (1) 首先证明 APB， PEF都是等腰直角三角形，求出 PA、 PB、 PN、 PM，再利用勾股定理即可解决问题 . 连接 MN，在 RT PAB， RT PMN 中，利用 30 性质求出 PA、 PB、 PN、 PM，再利用勾股定理即可解决问题 . (2)结论 a2+b2=5c2.设 MP=x， NP=y，
25、则 AP=2x， BP=2y，利用勾股定理分别求出 a2、 b2、 c2即可解决问题 . (3)取 AB中点 H，连接 FH并且延长交 DA的延长线于 P点，首先证明 ABF是中垂三角形，利用 (2)中结论列出方程即可解决问题 . 答案： (1)如图 1中， CN=AN， CM=BM， MN AB， 21 22M N A B， tan PAB=1， PAB= PBA= PNM= PMN=45 ， PN=PM=2， PB=PA=4， 224 2 2 5A N B M . b=AC=2AN=45， a=BC=45. 故答案为 45， 45， 如图 2中，连接 NM， ， CN=AN， CM=BM，
26、 MN AB， MN=12AB=1， PAB=30 ， PB=1， PA= 3 ， 在 RT MNP中， NMP= PAB=30 ， PN=12， PM= 32， AN= 132， BM= 72， a=BC=2BM= 7 ， b=AC=2AN= 13 ， 故答案分别为 7 ， 13 . (2)结论 a2+b2=5c2. 证明：如图 3中，连接 MN. AM、 BN是中线， MN AB， MN=12AB， MPN APB， 12M P PNAP PB， 设 MP=x， NP=y，则 AP=2x， BP=2y， a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2， b2=AC2=4AN
27、2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2， c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2， a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2. (3)解：如图 4中，在 AGE 和 FGB中， A G E F G BA E G F B GA E B F ， AGE FGB， BG=FG，取 AB中点 H，连接 FH 并且延长交 DA的延长线于 P点， 同理可证 APH BFH， AP=BF， PE=CF=2BF， 即 PE CF， PE=CF， 四边形 CEPF是平行四边形， FP CE， BE CE， FP BE，即 FH BG， ABF是中垂三角形， 由 (2)可知 AB2+
28、AF2=5BF2， AB=3， 13 5B F A D， 229 5 5AF ， AF=4. 22.已知抛物线 y=a(x+3)(x 1)(a 0)，与 x 轴从左至右依次相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，经过点 A的直线 3y x b 与抛物线的另一个交点为 D. (1)若点 D的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； (2)若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、 B、 P为顶点的三角形与 ABC相似，求点P的坐标； (3)在 (1)的条件下，设点 E是线段 AD上的一点 (不含端点 )，连接 BE.一动点 Q从点 B出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点
29、E，再沿线段 ED 以每秒 233个单位的速度运动到点 D后停止，问当点 E的坐标是多少时，点 Q在整个运动过程中所用时间最少？ 解析： (1)根据二次函数的交点式确定点 A、 B 的坐标，进而求出直线 AD 的解析式，接着求出点 D的坐标，将 D点坐标代入抛物线解析式确定 a的值； (2)由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论： ABC BAP； ABC PAB； (3)作 DM x 轴交抛物线于 M，作 DN x 轴于 N，作 EF DM 于 F，根据正切的定义求出 Q 的运动时间 t=BE+EF时， t最小即可 . 答案 ： (1) y=a(x+3)(x 1)， 点 A
30、的坐标为 ( 3， 0)、点 B两的坐标为 (1， 0)， 直线 y= 3 x+b经过点 A， b= 33， 333yx ， 当 x=2时， y= 53， 则点 D的坐标为 (2， 53)， 点 D在抛物线上， a(2+3)(2 1)= 53， 解得， a= 3 ， 则抛物线的解析式为 23 3 33 1 2 3 3y x x x x ； (2)如图 1中，作 PH x轴于 H，设点 P坐标 (m， n)， 当 BPA ABC时， BAC= PBA， tan BAC=tan PBA，即 OC PHOA HB， 331anm ，即 n= a(m 1)， 131n a mn a m m 解得 m=
31、 4或 1(舍弃 )， 当 m= 4时， n=5a， BPA ABC， AC ABAB PB， AB2=AC PB， 2 2 24 9 9 2 5 2 5aa ， 解得 1515a 或 1515(舍弃 )， 则 1553na， 点 P坐标 ( 4， 153). 当 PBA ABC时， CBA= PBA， tan CBA=tan PBA，即 OC PHOB HB， 311anm ， n= 3a(m 1)， 3131n a mn a m m ， 解得 m= 6或 1(舍弃 )， 当 m= 6时， n=21a， PBA ABC， BC ABBA PB，即 AB2=BC PB， 22 2 24 1 9 7 2 1aa ， 解得 77a或 77(不合题意舍弃 )， 则点 P坐标 ( 6， 37 )， 综上所述，符合条件的点 P的坐标 ( 4， 153)和 ( 6， 37 ). (3)如图 2中，作 DM x轴交抛物线于 M，作 DN x轴于 N，作 EF DM于 F， 则 t a n 3535DND A N AN ， DAN=60 ， EDF=60 ， 23s i n 3EFD E E FE D F， Q的运动时间1 233B E D Et B E E F ， 当 BE 和 EF共线时， t最小， 则 BE DM，此时点 E坐标 (1， 34 ).
