1、2017年广东省深圳市南山区十校联考中考一模数学 一、选择题 (本部分共 12小题，每小题 3分，共 36分 .每小题给出 4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上 ) 1.下列四个数中，无理数是 ( ) A. 23B. 3 C.0 D.| 2| 解 析 ： A、 23是分数，是有理数，故选项不符合题意； B、 3 是无理数，选项符合题意； C、 0是整数，是有理数，选项不符合题意； D、 | 2|=2，是整数，是有理数，选项不符合题意 . 答案： B. 2.下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、不是轴对
2、称图形，也不是中心对称图形 .故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误 . 答案： C. 3.过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么能减少 3120000吨二氧化碳的排放量，把数据 3120000用科学记数法表示为 ( ) A.312 104 B.0.312 107 C.3.12 106 D.3.12 107 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动
3、了多少位， n 的绝对值 与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 答案： C. 4.下列运算结果为 a6的是 ( ) A.a2+a3 B.a2a 3 C.( a2)3 D.a8 a2 解析： A、 a3 a2不能合并，故 A错误； B、 a2a 3=a5，故 B错误； C、 ( a2)3= a6，故 C 错误； D、 a8 a2=a6，故 D正确 . 答案： D. 5.如图， AD 是 EAC的平分线， AD BC， B=30 ，则 C的度数为 ( ) A.50 B.40 C.30 D.20 解析： AD BC， B=30 ， EAD=
4、B=30. 又 AD 是 EAC的平分线， EAC=2 EAD=60. EAC= B+ C， C= EAC B=30. 答案： C. 6.请仔细观察用直尺和圆规作一个角 AOB 等于已知角 AOB 的示意图，要说明 DOC= DOC，需要证明 DOC DOC，则这两个三角形全等的依据是 ( ) A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边 解 析 ：由作法易得 OD=OD ， OC=OC ， CD=CD ， 在 ODC和 ODC 中， OC O COD D OCD C D ， COD COD(SSS)， DOC= DOC(全等三角形的对应角相等 ). 答案： A. 7.对于双曲线 1 myx
5、，当 x 0时， y随 x的增大而减小，则 m的取值范围为 ( ) A.m 0 B.m 1 C.m 0 D.m 1 解 析 ： 双曲线 1 myx，当 x 0时， y随 x的增大而减小， 1 m 0， 解得： m 1. 答案： D. 8.某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的 2倍多 1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x人，到瑞金的人数为 y人 .下面所列的方程组正确的是 ( ) A. 3412xyB. 3421xyxy C. 3421xyxy D. 2 3421xyxy 解 析 ：设到井冈山的人数为 x人，到瑞金的人数为 y人，
6、 由题意得： 3421xyxy . 答案： B. 9.如图， AB 为 O的直径，点 C在 O上，若 OCA=50 ， AB=4，则 的长为 ( ) A.103B.109C.59D. 518解 析 ： OCA=50 ， OA=OC， A=50 ， BOC=100 ， AB=4， BO=2， BC 的长为： 1 0 0 2 1 01 8 0 9 . 答案 ： B. 10.下列命题正确是 ( ) A.点 (1， 3)关于 x轴的对称点是 ( 1， 3) B.函数 y= 2x+3中， y随 x的增大而增大 C.若一组数据 3， x， 4， 5， 6的众数是 3，则中位数是 3 D.同圆中的两条平行弦
7、所夹的弧相等 解 析 ： A、点 (1， 3)关于 x轴的对称点是 (1， 3)，故错误； B、函数 y= 2x+3中， y随 x的增大而减小，故错误； C、若一组数据 3， x， 4， 5， 6的众数是 3，则中位数是 4.5，故错误； D、同圆中的两条平行弦所夹的弧相等，正确 . 答案 ： D. 11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 个图形中一共有 6 个小圆圈，第 个图形中一共有 9 个小圆圈，第 个图形中一共有 12 个小圆圈， ，按此规律排列，则第 个图形中小圆圈的个数为 ( ) A.21 B.24 C.27 D.30 解 析 ：观察图形得： 第 1个图形有
8、3+3 1=6个圆圈， 第 2个图形有 3+3 2=9个圆圈， 第 3个图形有 3+3 3=12个圆圈， 第 n个图形有 3+3n=3(n+1)个圆圈， 当 n=7时， 3 (7+1)=24. 答案： B. 12.如图，将矩形 ABCD沿 AF 折叠，使点 D落在 BC边的点 E处，过点 E作 EG CD 交 AF 于点G，连接 DG.给出以下结论： DG=DF； 四边形 EFDG 是菱形； 2 12E G G F A F； 当AG=6， EG=25时， BE 的长为 1255，其中正确的结论个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解 析 ： GE DF， EGF= DFG. 由翻折的
9、性质可知： GD=GE， DF=EF， DGF= EGF， DGF= DFG. GD=DF.故 正确； DG=GE=DF=EF. 四边形 EFDG为菱形，故 正确； 如图 1所示：连接 DE，交 AF于点 O. 四边形 EFDG为菱形， GF DE， OG=OF=12GF. DOF= ADF=90 ， OFD= DFA， DOF ADF. DF OFAF DF，即 DF2=FO AF. FO=12GF， DF=EG， 2 12E G G F A F.故 正确； 如图 2所示：过点 G作 GH DC，垂足为 H. 2 12E G G F A F， AG=6， EG=25， 20=12FG(FG+
10、6)，整理得： FG2+6FG 40=0. 解得： FG=4， FG= 10(舍去 ). DF=GE=25， AF=10， 22 45A D A F D F . GH DC， AD DC， GH AD. FGH FAD. GH FGAD AF，即 41045GH， 855GH， 8 5 1 2 54555B E A D G H .故 正确 . 答案： D. 二、填空题 (本题共 4 小题，每小题 3分，共 12 分，请将正确的选项填在答题卡上 ) 13.分解因式： 2x2 8=_. 解析： 观察原式，找到公因式 2，提出即可得出答案 . 答案 ： 2x2 8=2(x+2)(x 2). 14.小
11、明用 2 2 2 31 2 1 01 3 3 310S x x x （ ） （ ） （ ）计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+ +x10=_. 解 析 ： 2 2 2 31 2 1 01 3 3 310S x x x （ ） （ ） （ ）， 平均数为 3，共 10 个数据， x1+x2+x3+ +x10=10 3=30. 答案 ： 30. 15.如图，测量河宽 AB(假设河的两岸平行 )，在 C点测得 ACB=30 ， D点测得 ADB=60 ，又 CD=60m，则河宽 AB 为 _(结果保留根号 ). 解 析 ： ACB=30 ， ADB=60 ， CAD=30 ， AD=CD=60
12、m， 在 Rt ABD中， 32 6 0 3 0 3A B A D s i n A D B (m). 答案 ： 30 3 . 16.如图， 10个边长为 1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线 l将这 10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线 l的解析式为 _. 解 析 ：设直线 l和 10个正方形的最上面交点为 A，过 A作 AB OB于 B， B过 A 作 AC OC 于C， 正方形的边长为 1， OB=3， 经过原点的一条直线 l将这 10 个正方形分成面积相等的两部分， 两边分别是 5， 三角形 ABO面积是 7， 12OB AB=7， AB=143， OC=AB=
13、143， 由此可知直线 l经过 (143， 3)， 设直线方程为 y=kx(k 0)， 则 3 143 k，解得 914k 直线 l解析式为 914yx. 答案 ： 914yx. 三、解答题 (本大题共 7 题，其中 17 题 5 分， 18 题 5 分， 19 题 7 分， 20 题 7 分， 21 题 8分， 22 题 10 分， 23题 10分，共 52分 ) 17.计算： 2cos60 ( 3) 3+( 3 )0 | 2|. 解析： 直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质化简求出即可 . 答案 ： 2cos60 ( 3) 3+( 3 )0 | 2| = 11
14、2 1 22 2 7 = 127. 18.先化简，再求值：211 1 2 1aa a a （ ） ，其中 a= 3 1. 解析： 先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = 2111 1a aa a = 211aaaa=a+1. 当 a= 3 1时，原式 = 3 1+1= 3 . 19.“ 赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美 ” ，某校举办了首届 “ 中国诗词大会 ” ，经选拔后有 50 名学生参加决赛，这 50名学生同时默写 50 首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得 2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成
15、绩 x分 频数 (人数 ) 第 1组 50 x 60 6 第 2组 60 x 70 8 第 3组 70 x 80 14 第 4组 80 x 90 a 第 5组 90 x 100 10 请结合图表完成下列各题： (1) 求表中 a的值； 频数分布直方图补充完整； (2)若测试成绩不低于 80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ (3)第 5 组 10 名同学中，有 4名男同学，现将这 10 名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率 . 解析： (1) 根据题意和表中的数据可以求得 a的值； 由表格中的数据可以将频数分布表补充完整； (2)根
16、据表格中的数据和测试成绩不低于 80 分为优秀，可以求得优秀率； (3)根据题意可以求得所有的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率 . 答案 ： (1) 由题意和表格，可得 a=50 6 8 14 10=12， 即 a的值是 12； 补充完整的频数分布直方图如下图所示， (2) 测试成绩不低于 80分为优秀， 本次测试的优秀率是： 1 2 1 0 1 0 0 % 4 4 %50 ； (3)设小明和小强分别为 A、 B，另外两名学生为： C、 D， 则所有的可能性为： (AB)、 (AC)、 (AD)、 (BA)、 (BC)、 (BD)、 (CA)、 (CB)、 (CD)、
17、 (DA)、 (DB)、(DC)， 所以小明和小强分在一起的概率为： 4112 3. 20.如图，在矩形 OABC 中， OA=3， OC=2， F 是 AB 上的一个动点 (F 不与 A， B 重合 )，过点 F的反比例函数 kyx(k 0)的图象与 BC 边交于点 E. (1)当 F为 AB的中点时，求该函数的解析式； (2)当 k为何值时， EFA的面积最大，最大面积是多少？ 解析： (1)当 F为 AB的中点时，点 F的坐标为 (3， 1)，由此代入求得函数解析式即可； (2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于 k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可 . 答案 ： (1)
18、 在矩形 OABC中， OA=3， OC=2， B(3， 2)， F为 AB的中点， F(3， 1)， 点 F在反比例函数 kyx(k 0)的图象上， k=3， 该函数的解析式为 3yx(x 0)； (2)由题意知 E， F两点坐标分别为 E(2k， 2)， F(3，3k)， 1 1 1 132 2 3 2EFAS A F B E k k （ ）， = 2112 12kk= 21 6 9 912 kk （ ）= 21331 2 4k （ ）， 在边 AB 上，不与 A， B 重合，即 03k 2，解得 0 k 6， 当 k=3时， S有最大值 . S 最大值 =34. 21.某家电销售商城电冰
19、箱的销售价为每台 2100元，空调的销售价为每台 1750 元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 400元，商城用 80000 元购进电冰箱的数量与用 64000元购进空调的数量相等 . (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商城准备一次购进这两种家电共 100台，设购进电冰箱 x台，这 100 台家电的销售总利润为 y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 2倍，总利润不低于 13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润 . 解析 ： (1)分式方程中的销售问题，题目中 有两个相等关系， 每台电冰箱的进价比每台空调的进价多 400元，用 800
20、00元购进电冰箱的数量与用 64000元购进空调的数量相等，用第一个相等关系，设每台空调的进价为 m 元，表示出每台电冰箱的进价为 (m+400)元，用第二个相等关系列方程， 8 0 0 0 0 6 4 0 0 0400mm. (2)销售问题中的确定方案和利润问题，题目中有两个不等关系， 要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 2 倍， 总利润不低于 13000 元，根据题意设出设购进电冰箱 x 台 (x 为正整数 )，这 100 台家电的销售总利润为 y 元，列出不等式组 1 0 0 25 0 1 5 0 0 0 1 3 0 0 0xxx ，确定出购买电冰箱的台数的范围，从而确定出购买方案，再利
21、用一次函数的性质确定出，当 x=34时， y有最大值，即可 . 答案 ： (1)设每台空调的进价为 m元，则每台电冰箱的进价为 (m+400)元， 根据题意得： 8 0 0 0 0 6 4 0 0 0400mm， 解得： m=1600 经检验， m=1600是原方程的解， m+400=1600+400=2000， 答：每台空调的进价为 1600元，则每台电冰箱的进价为 2000元 . (2)设购进电冰箱 x台 (x为正整数 )， 这 100台家电的销售总利润为 y元， 则 y=(2100 2000)x+(1750 1600)(100 x)= 50x+15000， 根据题意得： 1 0 0 25
22、 0 1 5 0 0 0 1 3 0 0 0xxx ， 解得： 1333 x 40， x为正整数， x=34， 35， 36， 37， 38， 39， 40， 合理的方案共有 7种， 即 电冰箱 34台，空调 66 台； 电冰箱 35 台，空调 65台； 电冰箱 36 台，空调 64台； 电冰箱 37 台，空调 63台； 电冰箱 38 台，空调 62台； 电冰箱 39 台，空调 61台； 电冰箱 40 台，空调 60台； y= 50x+15000， k= 50 0， y随 x的增大而减小， 当 x=34时， y有最大值，最大值为： 50 34+15000=13300(元 )， 答：当购进电冰箱
23、 34 台，空调 66 台获利最大，最大利润为 13300元 . 22.已知，如图 (1)， PAB为 O的割线，直线 PC与 O有公共点 C，且 PC2=PA PB， (1)求证： PCA= PBC； 直线 PC 是 O的切线； (2)如图 (2)，作弦 CD，使 CD AB，连接 AD、 BC，若 AD=2， BC=6，求 O的半径； (3)如图 (3)，若 O 的半径为 2 ， PO= 10 ， MO=2， POM=90 ， O 上是否存在一点 Q，使得 22PQ QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由 . 解析： (1)根据已知条件得到 PC PBPA PC，推出
24、PCA PBC，根据相似三角形的性质得到 PCA= PBC，作直径 CF，连接 AF，则 CAF=90 ，得到 PCA+ FCA=90 ， P过直径的一端点 C，于是得到结论； (2)作直径 BE，连接 CE、 AE.则 BCE= BAE=90 ，推出 AE CD，得到 AD CE ，根据勾股定理得到 BE=2 10 ，于是得到结论； (3)取 OM中点 G，连接 PG与 O的交点就是符合条件的点 Q，连接 QO、 QM，得到 1 12O G O M，根据相似三角形的性质得到 22Q G O QQ M O M ，求得 22QG QM，根据两点之间线段最短，即可得到结论 . 答案： (1)证明：
25、 PC2=PA PB， PC PBPA PC， CPA= BPC， PCA PBC， PCA= PBC， 作直径 CF，连接 AF，则 CAF=90 ， F+ FCA=90 ， F= B， PCA= PBC， PCA+ FCA=90 ， PC经过直径的一端点 C， 直线 PC是 O的切线； (2)解：作直径 BE，连接 CE、 AE.则 BCE= BAE=90 ， CD AB， AE CD， AD CE ， AD=CE=2， BC=6， 在 Rt BCE中，由勾股定理得： BE2=CE2+BC2=22+62=40， BE=2 10 ， R= 10 ； (3)解：取 OM中点 G，连接 PG与
26、O的交点就是符合条件的点 Q， 连接 QO、 QM， MO=2， 1 12O G O M， O的半径 r=OQ= 2 ， OQ2=OG OM， MOQ= QOG， MOQ QOG， 22Q G O QQ M O M ， 22QG QM， PQ+ 22QM=PQ+QG=PG， 根据两点之间线段最短， 此时 PQ+ 22QM=PQ+QG=PG 最小， PQ+ 22QM最小值为 222 1 0 1 1 1P G P O O G . 23.在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2 5ax+4a 与 x 轴交于 A、 B(A 点在 B 点的左侧 )与 y轴交于点 C. (1)如图 1，连接 AC、 BC，
27、若 ABC的面积为 3时，求抛物线的解析式； (2)如图 2，点 P 为第四象限抛物线上一点，连接 PC，若 BCP=2 ABC时，求点 P的横坐标； (3)如图 3，在 (2)的条件下，点 F在 AP 上，过点 P作 PH x轴于 H点，点 K在 PH的延长线上， AK=KF， KAH= FKH， PF= 42a ，连接 KB并延长交抛物线于点 Q，求 PQ 的长 . 解析： (1)通过解方程 ax2 5ax+4a=0可得到 A(1， 0)， B(4， 0)，然后利用三角形面积公式求出 OC 得到 C 点坐标，再把 C 点坐标代入 y=ax2 5ax+4a 中求出 a 即可得到抛物线的解析式
28、； (2)过点 P作 PH x轴于 H，作 CD PH于点 H，如图 2，设 P(x， ax2 5ax+4a)，则 PD= ax2+5ax，通过证明 Rt PCD Rt CBO，利用相似比可得到 ( ax2+5ax)： ( 4a)=x： 4，然后解方程求出 x即可得到点 P的横坐标； (3)过点 F作 FG PK于点 G，如图 3，先证明 HAP= KPA得到 HA=HP，由于 P(6， 10a)，则可得到 10a=6 1，解得 12a， 再判断 Rt PFG 单位等腰直角三角形得到22 2F G P G P F ，接着证明 AKH KFG，得到 KH=FG=2，则 K(6， 2)，然后利用待
29、定系数法求出直线 KB的解析式为 y=x 4，再通过解方程组2415 222yxy x x 得到 Q(1， 5)，利用 P、 Q点的坐标可判断 PQ x 轴，于是可得到 QP=7. 答案 ： (1)当 y=0时， ax2 5ax+4a=0，解得 x1=1， x2=4，则 A(1， 0)， B(4， 0)， AB=3， ABC的面积为 3， 124 OC=3，解得 OC=2，则 C(0， 2)， 把 C(0， 2)代入 y=ax2 5ax+4a 得 4a= 2，解得 a= 12， 抛物线的解析式为 215 222y x x ； (2)过点 P作 PH x轴于 H，作 CD PH于点 H，如图 2
30、，设 P(x， ax2 5ax+4a)，则 PD=4a(ax2 5ax+4a)= ax2+5ax， AB CD， ABC= BCD， BCP=2 ABC， PCD= ABC， Rt PCD Rt CBO， PD： OC=CD： OB， 即 ( ax2+5ax)： ( 4a)=x： 4，解得 x1=0， x2=6， 点 P的横坐标为 6； (3)过点 F作 FG PK于点 G，如图 3， AK=FK， KAF= KFA， 而 KAF= KAH+ PAH， KFA= PKF+ KPF， KAH= FKP， HAP= KPA， HA=HP， AHP为等腰直角三角形， P(6， 10a)， 10a=6
31、 1，解得 a= 12， 在 Rt PFG中， 4 2 2 2P F a ， FPG=45 ， FG=PG= 22PF=2， 在 AKH和 KFG中 A H K K G FK A H G K FK A F K， AKH KFG， KH=FG=2， K(6， 2)， 设直线 KB的解析式为 y=mx+n， 把 K(6， 2)， B(4， 0)代入得 6240kbkb ， 解得 14kb ， 直线 KB的解析式为 y=x 4， 当 a= 12时，抛物线的解析式为 215 222y x x ， 解方程组2415 222yxy x x ， 解得 15xy 或 40xy， Q( 1， 5)， 而 P(6， 5)， PQ x轴， QP=7.
