1、2017年广东省茂名市高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题；每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 P=x N|1 x 10，集合 Q=x R|x2-x-6 0，则 P Q等于 ( ) A.1， 2， 3 B.1， 2 C.1， 2 D.1， 3) 解析： P=x N|1 x 10=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， Q=x R|-2 x 3， 则 P Q=1， 2. 答案： B. 2已知 a是实数，1aii是纯虚数，则 a=( ) A.1 B.-1 C. 2 D.- 2 解析： 由 1
2、111 1 1 2 2a i ia i a a ii i i 是纯虚数， 则 1=02a且 1 02a ，故 a=1. 答案： A. 3.函数 11l n 22y x x x 的零点所在的区间是 ( ) A.(1e， 1) B.(1， 2) C.(2， e) D.(e， 3) 解析： 函数 11l n 22y x x x (x 0)， 211102y xx ， 函数 11l n 22y x x x 在定义域 (0， + )上是单调增函数； 又 x=2时， 1 1 1 1l n 2 2 2 l n 2 02 2 2 2y ， x=e时， 1 1 1 1l n 2 2 022y e e eee ，
3、 因此函数 11l n 22y x x x 的零点在 (2， e)内 . 答案 ： C. 4.在 1， 3， 5和 2， 4两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被 4整除的概率是 ( ) A.13B.12C.16D. 14解析 ： 符合条件的所有两位数为： 12， 14， 21， 41， 32， 34， 23， 43， 52， 54， 25， 45 共 12 个， 能被 4整除的数为 12， 32， 52共 3个， 所求概率 3112 4p . 答案： D. 5.对于向量 abc、 、 和实数，下列命题中真命题是 ( ) A.若 0ab ，则 a =0或 b =0 B.若 0a ，则
4、 =0或 0a C.若 22ab ，则 =ab或 -ab D.若 a b a c ，则 bc 解析： ab 时也有 0ab ， A不正确； B正确； 设 a (2， 2)， 1 )7(b ， ，此时 22ab ，但 =ab或 -ab 不成立， C错误； a b a c 得不到 bc ，如 a 为零向量或 a 与 b 、 c 垂直时， D错误 . 答案： B. 6.已知 ABC的面积为 3 ，且 C=30， BC=23，则 AB 等于 ( ) A.1 B. 3 C.2 D.23 解析： 由题意得， 1 1 1s i n22 3223ABCS A C B C C A C ， 解得 AC=2， 由余
5、弦定理得， AB2=AC2+BC2-2AC BCcosC = 34 1 2 2 2 2 3 42 ， 所以 AB=2. 答案： C. 7.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头 粗，一头细，在粗的一端截下 1尺，重 4斤；在细的一端截下 1尺，重 2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为 ( ) A.6 斤 B.9 斤 C.9.5斤 D.12 斤 解析： 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项 a1=4，则
6、 a5=2， 由等差数列性质得 a2+a4=a1+a5=6， 所以第二尺与第四尺的重量之和为 6斤 . 答案： A. 8.已知函数 (3 )3 c o sf x x ( 0)和 g(x)=2sin(2x+ )+1 的图象的对称轴完全相同，若 x 0，3，则 f(x)的取值范围是 ( ) A.-3， 3 B. 32， 3 C.-3， 332 D.-3， 32 解析： 因为函数 f(x)和 g(x)的图象的对称轴完全相同，故 f(x)和 g(x)的周期相同，所以 =2， 所以 (3 )3 c o sf x x ， 由 x 0，3，得 23 3x ，根据余弦函数的单调性，当 2x+3， 即 x3时，
7、 f (x)min=-3， 当 233x ，即 x=0 时， f (x)max=32， 所以 f(x)的取值范围是 -3， 32. 答案： D. 9.执行如图的程序框图，若输出的结果是 3132，则输入的 a为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析： 由程序框图知：算法的功能是求121 1 12 2 2nS 的值， 11122 1 3 1112 3 212nnS . n=5， 跳出循环的 n值为 5， 判断框的条件为 n 5.即 a=5. 答案： C. 10.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为 62 ，则该几何体的体积为 ( ) A.4 B.2 C.113D.3 解析： 由三视图可
8、知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球 . 表面积为 216 2 2 2 2 2 22 r r r r r ，解得 r=1. 该几何体的体积 2 2 312 2333V r r r r r . 答案： D. 11.已知 F1， F2分别是双曲线 221yxab (a， b 0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M在以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1， 2) B.(2， + ) C.(1， 2 ) D.( 2 ， + ) 解析： 如图，不妨设 F1(0， c)， F2(0， -c
9、)，则过 F1与渐近线 ayxb平行的直线为 ay x cb ， 联立ay x cbayxb -解得 22bcxacy 即2()2bc cM a ，因 M在以线段 F1F2为直径的圆 x2+y2=c2内， 故 22 222b c c ca ，化简得 b2 3a2， 即 c2-a2 3a2，解得 2ca，又双曲线离心率 1cea ，所以双曲线离心率的取值范围是 (1，2). 答案 ： A. 12.已知 f(x)=|x ex|，又 g(x)=f2(x)+tf(x)(t R)，若满足 g(x)=-1 的 x 有四个，则 t 的取值范围为 ( ) A.(-， 2 1ee) B.( 2 1ee， + )
10、 C.( 2 1ee， -2) D.(2， 2 1ee) 解析： g(x)=-1的 x有四个， f2(x)+tf(x)-1=0有 4个根， f(x)=|x ex|的图象如图： 在 x 0时，有最大值 f(-1)=1e， 故要使有四个解，则 f2(x)+tf(x)-1=0 一根在 (0， 1e)中间，一根在 (1e， + )， y(1e) 0， 21110tee ， 2111t ee ， 211eteee . 答案： A. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .把答案填在答题卡的相应位置 . 13.设 x， y满足约束条件 0201xxyxy，则 z=2x+y的最大值是 _.
11、 解析： 作出不等式组表示的平面区域，如图所示 做直线 L： 2x+y=0，然后把直线 L 向可行域平移，结合图象可知当直线 z=2x+y 过点 A 时， z最大 由 120xyxy可得 A(2， 1) 即当 x=2， y=1时， zmax=5. 答案： 5 14.若 (0， )，且 sin2 +2cos2 =2，则 tan =_. 解析： sin2 +2cos2 =2， 由二倍角公式得 2sin cos +2(1-2sin2 )=2， 即 (cos -2sin )sin =0， (0， )， sin 0， cos -2sin =0，故 s i n 1t a nc o s 2 . 答案： 12
12、. 15.已知直线 x-2y+2=0 与圆 C相切，圆 C与 x轴交于两点 A (-1， 0)、 B (3， 0)，则圆 C的方程为 _. 解析： 圆 C与 x轴交于两点 A(-1， 0)、 B(3， 0)， 由垂径定理得圆心在 x=1这条直线上 . 设圆心坐标为 C(1， b)，圆半径为 r，则 C到切线 x-2y+2=0的距离等于 r=|CA|， 221 2 2 25b b ，即 b2+12b+11=0，解得 b=-1或 b=-11. 圆 C的方程为 (x-1)2+(y+1)2=5或 (x-1)2+(y+11)2=125. 答案： (x-1)2+(y+1)2=5或 (x-1)2+(y+11
13、)2=125 16.过球 O 表面上一点 A引三条长度相等的弦 AB， AC， AD，且两两夹角都为 60，若球半径为 R，则 BCD的面积为 _. 解析： 法 1，由条件 A-BCD是正四面体， BCD是正三角形， A， B， C， D为球上四点， 将正三棱锥 A-BCD补充成一个正方体 AGBH-FDEC如图， 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH-FDEC 有共同的外接球， BCD 的边长就是正方体面的对角线， 设正方体 AGBH-FDEC的棱长为 a，则正方体外接球半径 R满足： a2+a2+a2=(2R)2，解得 2243aR，所以 2 2 2 283B C a a R ， B
14、CD的面积 221 1 8 3 2 3s i n 6 02 2 3 2 3S B C B D R R . 法 2，由条件 A-BCD是正四面体， BCD是正三角形， A， B， C， D为球上四点， 球心 O在正四面体中心如图 5，设 BC=a， CD 的中点， 为 E， O1为过点 B， C， D截面圆圆心，则截面圆半径12 2 3 33 3 2 3r O B B E a a ， 正四面体 A-BCD的高 2213633A O a a a . 截面 BCD与球心的距离 d OO1 63 aR，在 Rt BOO1 中， 2223633a R a R ，解得 263aR. BCD的面积为 S 2
15、 21 1 2 6 3 2 3s i n 6 02 2 3 2 3B C B D R R . 答案： 2233 R三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 .其中 17 至 21 题为必做题， 22、 23 题为选做题 .解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.在等差数列 an中， a2=4，前 4项之和为 18. ( )求数列 an的通项公式； ( )设 22annbn，求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析： ( )利用已知条件列出方程组，求出首项与公差，即可求数列 an的通项公式； ( )利用错位相减法求和，求解即可 . 答案： ( )设等差数列 an的公差为 d. 由
16、已知得 114434 1 82adad 解得 1 31ad. 所以 an=n+2. ( )由 ( )可得 bn=n 2n， Tn=b1+b2+b3+ +bn=1 2+2 22+3 23+ +n 2n 2Tn=1 22+2 23+3 24+ +(n-1) 2n+n 2n+1 -得： -Tn 2+22+23+ +2n-n 2n+1 1 1122 2 1 2 212 n nnnT n n 11 2 2nnTn 18.如图 1，在边长为 23的正方形 ABCD 中， E、 O 分别为 AD、 BC 的中点，沿 EO 将矩形ABOE折起使得 BOC=120，如图 2，点 G在 BC上， BG=2GC，
17、M、 N分别为 AB、 EG 中点 . ( )求证： OE MN； ( )求点 M到平面 OEG 的距离 . 解析： ( )取 OG 的中点的 H，连结 HN， HB，证明 12HN OE，推出四边形 MNHB为平行四边形，得到 MN BH，证明 OE平面 OBC，然后推出 OE MN. ( )说明点 M 到平面 OEG 的距离为点 B 到平面 OEG 的距离，在三角形 OBC 中，推出OBG=30，在 OBC中，求出 BG=2，求出 OG，然后求解点 B到平面 OEG的距离 . 答案： ( )如图，取 OG 的中点的 H，连结 HN， HB， 由 N为 EG 中点，得 GOE中位线 HN O
18、E，且 12HN OE， 又 BM OE， M为且 AB 中点，故 1122B M A B O E ， HN BM，且 HN=BM四边形 MNHB为平行四边形， MN BH. 在正方形 ABCD中， E、 O分别为 AD、 BC的中点 O E O BO E O CO B O C O 得 OE平面 OBC， 又 BH 平面 OBC， OE BH， OE MN. ( )解：在边长为 23的正方形 ABCD中， E、 O分别为 AD、 BC 的中点 AB OE，又 OE 平面 OEG， AB 平面 OEG， AB平面 OEG， 点 M到平面 OEG的距离为点 B到平面 OEG的距离 . 在三角形 O
19、BC中， OB=OC= 3 ， BOC=120， OBG=30， 在 OBC中，由余弦定理得 BC=3，又 BG=2GC， BG=2， 同法由余弦定理得 OG=1， OB2+OG2=BG2，即 OB OG. 由 ( )知 OE平面 OBC，又 OB?平面 OBC， OE OB， 又 OE OG=O， BO平面 OEG， 点 B到平面 OEG的距离为 BO= 3 . 即点 M到平面 OEG的距离为 3 . 19.随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训 (称为 A 类工人 )，另外 750 名工人参加过长
20、期培训 (称为 B类工人 )，从该工厂的工人中共抽查了 100 名工人，调查他们的生产能力 (此处生产能力指一天加工的零件数 )得到 A类工人生产能力的茎叶图 (图 1)， B类工人生产能力的频率分布直方图 (图 2). ( )问 A类、 B类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的 x； ( )求 A类工人生产能力的中位数，并估计 B类工人生产能力的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )； ( )若规定生产能力在 130， 150内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的 2 2列联表，并 判断是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关 .
21、 能力与培训时间列联表 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 能力不优秀 合计 参考数据： P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 22 n a d b cKa b c d a c b d ，其中 n=a+b+c+d. 解析： ( )由茎叶图知 A类工人中抽查人数为 25名， B类工人中应抽查 100-25=75，由频率分布直方图求出 x； ( )由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数为 122，由 ( )及频率分布直方图，估计 B 类工人生
22、产能力的平均数； ( )求出 K2，与临界值比较，即可得出结论 . 答案： ( )由茎叶图知 A类工人中抽查人数为 25名， B类工人中应抽查 100-25=75(名 ). 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x) 10=1，得 x=0.024. ( )由茎叶图知 A类工人生产能力的中位数为 122 由 ( )及频率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数为 x B=115 0.008 10+1250.020 10+135 0.048 10+145 0.024 10=133.8 ( )由 ( )及所给数据得能力与培训的 2 2列联表， 短期培训 长期培训 合计 能力优秀
23、 8 54 62 能力不优秀 17 21 38 合计 25 75 100 由上表得 221 0 0 8 2 1 1 7 5 4 1 0 0 7 5 0 1 2 . 7 3 3 1 0 . 8 2 82 5 7 5 3 8 6 2 2 5 7 5 3 8 6 2()k 因此，可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关 . 20.已知定点 Q( 3 ， 0)， P 为圆 N： 2 2 43 2xy 上任意一点，线段 QP 的垂直平分线交 NP于点 M. ( )当 P点在圆周上运动时，求点 M (x， y)的轨迹 C的方程； ( )若直线 l与曲线 C交于 A、 B两点
24、，且 0OA OB ，求证：直线 l与某个定圆 E相切，并求出定圆 E的方程 . 解析： ( )求出圆 N 的圆心坐标为 N(- 3 ， 0)，半径为 26， |MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=26 |NQ|，利用椭圆的定义，求解点 M 的轨迹 C 的方程 . ( )当直线的斜率存在时，设直线 l 为 y=kx+m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立直线与椭圆的方程，得 2226xyy kx m 消去 y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过 0OA OB ，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为 x=m，验证求解即
25、可 . 答案： ( )依题意可得：圆 N的圆心坐标为 N(- 3 ， 0)，半径为 26， |MP|=|MQ|， 则 |MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=26 |NQ| 根据椭圆的定义，点 M的轨迹是以 N、 Q为焦点，长轴长为 26的椭圆， 即 2a=26， 2c=23， 22 3b a c . 所以点 M的轨迹 C的方程为： 22163xy . ( )当直线的斜率存在时，设直线 l为 y=kx+m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立直线与椭圆的方程， 得 2226xyy kx m 消去 y并整理得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0. 因为直线与椭圆有
26、两个不同的交点，所以 =16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6) 0，化简得： m2 6k2+3 由韦达定理得：12 2412kmxx k -， 212 22612mxx k . 221 2 1 2 2612mky y k x m k x m k . 0OA OB ， x1x2+y1y2=0，即 2 2 2222 6 6 01 2 1 2m m kkk ， 整理得 m2=2k2+2满足式，2 21mk ，即原点到直线 l为的距离是 2 ， 直线 l与圆 x2+y2=2 相切 . 当直线的斜率不存在时，直线为 x=m，与椭圆 C交点为 226622mmA m B m ， ， ， 0OA OB
27、 ， 22 3 0 22mmm . 此时直线为 2x ，显然也与圆 x2+y2=2相切 . 综上，直线 l与定圆 E： x2+y2=2相切 . 21.已知函数 1 afxx(a R). ( )当 a=0时，求曲线 f (x)在 x=1处的切线方程； ( )设函数 h(x)=alnx-x-f(x)，求函数 h (x)的极值； ( )若 g(x)=alnx-x在 1， e(e=2.718 28 )上存在一点 x0，使得 g(x0) f(x0)成立，求 a的取值范围 . 解析： ( )求出函数的导数，计算 f(1)， f (1)，求出切线方程即可； ( )求出 h(x)的导数，通过讨论 a的范围，求
28、出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； ( )问题转化为函数 1ln ah x a x xx在 1， e上，有 h(x)max 0，通过讨论 a的范围，得到函数的单调性，从而求出 a的范围即可 . 答案： ( )当 a=0时， 1fxx， f (1)=1，则切点为 (1， 1)， 21fx x ，切线的斜率为 k=f(1)=-1， 曲线 f(x)在点 (1， 1)处的切线方程为 y-1=-(x-1)，即 x+y-2=0 ( )依题意 1ln ah x a x xx，定义域为 (0， + )， 22 2 211111 x x ax a x aaahxx x x x ， 当 a+1 0，即 a
29、 -1时，令 h(x) 0， x 0， 0 x 1+a， 此时， h(x)在区间 (0， a+1)上单调递增， 令 h(x) 0，得 x 1+a. 此时， h(x)在区间 (a+1， + )上单调递减 . 当 a+1 0，即 a -1时， h(x) 0恒成立， h(x)在区间 (0， + )上单调递减 . 综上，当 a -1时， h(x)在 x=1+a处取得极大值 h(1+a)=aln(1+a)-a-2，无极小值； 当 a -1时， h(x)在区间 (0， + )上无极值 . ( )依题意知，在 1， e上存在一点 x0，使得 g(x0) f(x0)成立， 即在 1， e上存在一点 x0，使得
30、 h(x0) 0， 故函数 1ln ah x a x xx在 1， e上，有 h(x)max 0. 由 ( )可知，当 a+1 e，即 a e-1时， h(x)在 1， e上单调递增， m a x1 0ah x h e a e e ， 2 11ea e ， 2 1 11e ee ， 2 11ea e . 当 0 a+1 1，或 a -1，即 a 0时， h(x)在 1， e上单调递减， h(x)max=h(1)=-1-1-a 0， a -2. 当 1 a+1 e，即 0 a e-1时， 由 ( )可知， h(x)在 x=1+a处取得极大值也是区间 (0， + )上的最大值， 即 h(x)max
31、=h(1+a)=aln(1+a)-a-2=aln(1+a)-1-2， 0 ln(a+1) 1， h(1+a) 0在 1， e上恒成立， 此时不存在 x0使 h(x0) 0成立 . 综上可得，所求 a的取值范围是 2 11ea e 或 a -2. 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2 5 c o s2 s inxy(为参数 ).在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2+4 cos ?2 sin +4 0. ( )写出曲线 C1， C2的普
32、通方程； ( )过曲线 C1的左焦点且倾斜角为4的直线 l交曲线 C2于 A， B两点，求 |AB|. 解析： ( )消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线 C1， C2的普通方程； ( )直线 l 的参数方程为：24222xtyt(t 为参数 )，将其代入曲线 C2 整理可得：2 3 2 4 0tt ，利用参数的几何运用求 |AB|. 答案： ( ) 2 2 222 5 c o s c o s s i n 12252 s i nxyxy 即 C1的普通方程为 22120 4xy . 2=x2+y2， x= cos， y= sin， C2可化为 x2+y2+4x-2y+4=0， 即
33、(x+2)2+(y-1)2=1. ( )曲线 C1左焦点为 (-4， 0)， 直线 l的倾斜角为4， sin cos 22. 所以直线 l的参数方程为：24222xtyt(t为参数 )， 将其代入曲线 C2整理可得： 2 3 2 4 0tt ， 所以 23 2 4 4 2 0 . 设 A， B对应的参数分别为 t1， t2，则 t1+t2 32， t1t2 4. 所以 221 2 1 2 1 24 3 2 4 4 2A B t t t t t t . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|， g(x)=|x-1|+2. ( )若 a=1，解不等式 f(x
34、) 6； ( )若对任意 x1 R，都有 x2 R，使得 f(x1)=g(x2)成立，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )通过讨论 x的范围，得到关于 x的不等式组，解出即可； ( )问题转化为 y|y=f(x) y|y=g(x)，分别求出 f(x)， g(x)的最小值，得到关于 a 的不等式，解出即可 . 答案： ( )当 a=1时， f(x) 6，即 |2x-1|+|2x+3| 6， 即 321 2 2 3 6xxx 或 31222 3 1 2 6xxx 或 122 1 2 3 6xxx ， 322x 或 3122x 或 1 12 x ， -2 x 1， 所以不等式 f(x) 6的解集为 x|-2 x 1. ( )对任意 x1 R，都有 x2 R，使得 f(x1)=g(x2)成立， 则有 y|y=f(x) y|y=g(x)， 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|， g(x)=|x-1|+2 2，从而 |a+3| 2， 解得 a -5或 a -1， 故 a (-， -5 -1， + ).
