1、2008年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 ( )（分数：2.00）A.y=-f(x)B.y=x 3 f(x 4 )C.y=-f(-x)D.y=f(x)+f(-x)3.设函数 f(x)可导，则下列式子中正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)= 2x 1 t 2 sintdt，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.4x 2
2、sin 2xB.8x 2 sin2xC.-4x 2 sin2xD.-8x 2 sin2x5.设向量 a=(1，2，3)，b=(3，2，4)，则 ab= ( )（分数：2.00）A.(2，5，4)B.(2，-5，-4)C.(2，5，-4)D.(-2，-5，4)6.函数 在点(2，2)处的全微分 dx为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.微分方程 y“+3y+2y=1的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=C 1 e -x +C 2 e -2x +1B.y=C 1 e -x +C 2 e -2x + C.y=C 1 e x +C 2 e -2x +1D.y=C 1 e x +C 2
3、e -2x + 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知曲线 y=2x 3 -3x 2 +4x+5，则其拐点为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)的导数为 cos x，且 f(0)= （分数：2.00）填空项 1:_12.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)14.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_15.求极限 （分数：2.00）_16.设函
4、数 y=y(x)由参数方程 (t2n，nZ)所确定，求 （分数：2.00）_17.求不定积分： （分数：2.00）_18.求定积分： （分数：2.00）_19.设平面 经过点 A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，5)，求经过点 P(1，2，1)且与平面 垂直的直线方程（分数：2.00）_20.设函数 z=f(x+y， )，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_21.计算二重积分 其中 D是由曲线 y= （分数：2.00）_22.求微分方程 xy=2y+x 2 的通解（分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)23.求曲线 y= （分数：2.0
5、0）_24.设平面图形由曲线 y=x 2 ，y=2x 2 与直线 x=1所围成 (1)求该平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积； (2)求常数 a，使直线 x=a将该平面图形分成面积相等的两部分（分数：2.00）_五、证明题(总题数：2，分数：4.00)25.设函数 f(x)在闭区间0，2a(a0)上连续，且 f(0)=f(2a)f(a)，证明：在开区间(0，a)上至少存在一点 ，使得 f()=f(+a)（分数：2.00）_26.对任意实数 x，证明不等式：(1-x)e x 1（分数：2.00）_2008年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一
6、、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 ( )（分数：2.00）A.y=-f(x)B.y=x 3 f(x 4 ) C.y=-f(-x)D.y=f(x)+f(-x)解析：解析：排除法，由于不知道 f(x)的奇遇性，故无法判定 A、C 选项的奇偶性对于 D，y(-x)=f(-x)+f(x)=y(x)为偶函数，故排除选项 B，y(-x)=(-x) 3 f(-x) 4 =-x 3 f(x 4 )=-y(x)为奇函数，正确3.设函数 f(x)可导，则下列
7、式子中正确的是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于4.设函数 f(x)= 2x 1 t 2 sintdt，则 f(x)= ( )（分数：2.00）A.4x 2 sin 2xB.8x 2 sin2xC.-4x 2 sin2xD.-8x 2 sin2x 解析：解析：利用变上限积分求导,f(x)= 2x 1 sintdt=- 1 2x t 2 sintdt f(x)=-(2x) 2 sin2x.(2x)=-8x 2 sin2x，所以选 D5.设向量 a=(1，2，3)，b=(3，2，4)，则 ab= ( )（分数：2.00）A.(2，5，4)B.(2，-5，-4)C.(2，
8、5，-4) D.(-2，-5，4)解析：解析：根据向量叉积运算，ab=6.函数 在点(2，2)处的全微分 dx为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 把点(2，2)代入，得 选 A 【注】本题也可先把对数函数化简后再求全微分，即 z=ln7.微分方程 y“+3y+2y=1的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=C 1 e -x +C 2 e -2x +1B.y=C 1 e -x +C 2 e -2x + C.y=C 1 e x +C 2 e -2x +1D.y=C 1 e x +C 2 e -2x + 解析：解析：先求对应齐次方程 y“+3y+2y=0的通解 ，特征方程
9、为 2 +3+2=0，(+2)(+1)=0，解得特征根为 1 =-2， 2 =-1，所以通解为 =C 1 e -x +C 2 e -2x 再求特解 y*，由于 =0不是特征根，所以令 y*=A，y*=0，y*“=0，代入原方程，得 0+0+2A=1，A= ，y*= 所以，通解 y= +y*=C 1 e -x +C 2 e -2x + 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：在 x=1处， 是第一类间断点，在 x=0处，9.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
10、案：a=3）解析：解析：应用左右极限求解10.已知曲线 y=2x 3 -3x 2 +4x+5，则其拐点为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知，得 y=6x 2 -6x+4，y“=12x-6，令 y“=0，得 ，所在点为拐点，代入曲线方程求得 y= ，所以拐点为 11.设函数 f(x)的导数为 cos x，且 f(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知 f(x)=cosx，两边积分，f(x)dx=cosxdx，即 f(x)=sinx+C 对 f(x)= 代入，求得 C= ，所以 f(x)= +sinx，
11、则12.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：利用定积分定称性定理，原积分变为13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2，2)）解析：解析：由于 所以收敛半径为 又当 x=-2时 收敛(莱布尼兹级数)，x=2 时，三、解答题(总题数：9，分数：18.00)14.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设函数 y=y(x)由参数方程 (t2n，nZ)所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求不定积分： （
12、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 所以 )解析：18.求定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 =t，则 x=t 2 ，dx=2tdt，x=0 时，t=0，x=1 时，t=1，则 0 1 )解析：19.设平面 经过点 A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，5)，求经过点 P(1，2，1)且与平面 垂直的直线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得，平面 的法向量，nAB，nAC，且 AB=-2，3，0)，AC=-2，0，5)，则 n=ABBC= =15，10，6又直线方向向量 sn，取 s=15，10，6则所求直线方程为 )解析：20.设函
13、数 z=f(x+y， )，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=x+y,v= ，由复合函数求偏导法则 由于 f(x，y)具有二阶连续偏导数，则 上式= )解析：21.计算二重积分 其中 D是由曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，画出积分区域，选择先对 y积分后对 x积分则 注：本题若先对 x积分然后对 y积分，也能计算出结果，但过程较繁 )解析：22.求微分方程 xy=2y+x 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将微分方程变形为 ，这是一阶线性微分方程的标准形式，且 P(x)= ，Q(x)=x，代入
14、求解公式，得 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)23.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，设切点坐标为(x 0 ， )，则切线斜率为 y(x 0 )= ，切线方程为 求截距：令 y=0，得 x=2x 0 ，令 x=0，解得 y= ，则截距之和 S=2x 0 + (x 0 0)令 S=2- )解析：24.设平面图形由曲线 y=x 2 ，y=2x 2 与直线 x=1所围成 (1)求该平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积； (2)求常数 a，使直线 x=a将该平面图形分成面积相等的两部分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，曲线 y=x
15、2 ，y=2x 2 与直线 x=1的交点分别为(1，2)，(1，1)利用定积分几何意义， (1)该平面绕 x轴旋转所得旋转体体积为 V x = 0 1 (2x 2 ) 2 dx- 0 1 (x 2 ) 2 dx= 0 1 (4x 4 -x 4 )dx= 0 1 3x 4 dx= (2)依题意： 0 a (2x 2 -x 2 )dx= a 1 (2x 2 -x)dx，即 0 a x 2 dx= a 1 x 2 dx两边积分得 ，解得 当 )解析：五、证明题(总题数：2，分数：4.00)25.设函数 f(x)在闭区间0，2a(a0)上连续，且 f(0)=f(2a)f(a)，证明：在开区间(0，a)
16、上至少存在一点 ，使得 f()=f(+a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数，F(x)=f(x+a)-f(x)，x0，a，F(x)在0，a连续，且 F(0)=f(a)-f(0)，由于 f(0)=f(2a)，则 F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)，又 F(0).F(a)=f(a)-f(0).f(0)-f(a)=-f(a)-f(0) 2 0，由零点定理知：在(0，a)至少存在一点 ，使 F()=0，即 f(+a)-f()=0，f(+a)=f()，(0，a)解析：26.对任意实数 x，证明不等式：(1-x)e x 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数，令 f(x)=1-e x +xe x ，x(-，+)，则 f(x)=-e x +e x +xe x =xe x ，令 f(x)=0，得 x=0，为驻点又 f“(x)=e x +xe x ，f“(0)=10，所以 x=0为极小值点，且为最小值点，所以 x(-，+)，有 f(x)f(0)=0，即 1-e x +xe x 0 即(1-x)e x 1，证毕)解析：
