1、2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数3.已知 f(x 0 )=2，当x0 时，dy 为x 的 ( )（分数：2.00）A.同阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小4.设函数 f(x)满足 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，f(x)连续，则 （分数：2.00）A.10B.9C.8D.75.由 y= （分数：2.00）A.
2、B.C.D.6.已知二阶微分方程 y+2y2=e x sinx，则设其特解 y * = ( )（分数：2.00）A.e x (acosx+bsinx)B.ae x cosx+bxe x sinxC.xe x (acosx+bsinx)D.axe x cosxbe x sinx二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.(x+1)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.函数 y=sin （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 f(3)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.若函数 y=y(x)由方程 y=1+xe y 所确定则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.dx
3、= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.极限 （分数：2.00）填空项 1:_13.级数 （分数：2.00）填空项 1:_14.一阶线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.在 xOy平面上与向量 a=(4，一 3，7)垂直的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.平面 2x+y一 z一 1=0到平面 2x+y一 z3=0 的距离为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.设 f(x)=
4、（分数：2.00）_20.设曲线 （分数：2.00）_21.求方程 x 2 =xsinx+cosx根的个数；（分数：2.00）_22.求不定积分x 2 lnxdx（分数：2.00）_23.求定积分 （分数：2.00）_24.求瑕积分 （分数：2.00）_25.将函数 ln(1一 x一 2x 2 )展开成 x的幂级数，并指出其收敛域（分数：2.00）_四、综合题(总题数：3，分数：6.00)26.已知 f(x)= （分数：2.00）_27.设 abe，证明：a b b a （分数：2.00）_28.若 f(x)在0，1上连续，(1)证明 xf(sinx)dx= f(sinx)dx，(2)计算 （
5、分数：2.00）_2012年浙江专升本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)= （分数：2.00）A.有界函数 B.奇函数C.偶函数D.周期函数解析：解析：因为3.已知 f(x 0 )=2，当x0 时，dy 为x 的 ( )（分数：2.00）A.同阶无穷小 B.等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析： 4.设函数 f(x)满足 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，f(x)连续，则 （分数：2.00）A.1
6、0B.9C.8 D.7解析：解析： xf(x)dx= xdf(x)=xf(x) f(x)dx=2f(2)一 f(x)5.由 y= （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：画图并利用定积分的几何意义，可知所围图形的面积 A= dx3=6.已知二阶微分方程 y+2y2=e x sinx，则设其特解 y * = ( )（分数：2.00）A.e x (acosx+bsinx)B.ae x cosx+bxe x sinxC.xe x (acosx+bsinx) D.axe x cosxbe x sinx解析：解析：二阶微分方程 y+2y+2=e x sinx的特征方程为 r 2 +2r+2=0，
7、解得 r 1 1+i，r 2 1i，又因 +i1+i 是特征方程的根，故取 k=1，R m (x)=1，因此 y+2y+2=e x sinx具有的特解形式可设为 y * =xe x (acosx+bsinx)，答案 C正确二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.(x+1)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： (x+1)= =8.函数 y=sin （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组 ，解得定义域为 x ，1 因此所求函数的连续区间为 x9.已知 f(3)=2，则 （分
8、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：由导数定义可得10.若函数 y=y(x)由方程 y=1+xe y 所确定则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：隐函数方程求导，y=e y +xe y .y，解得 y= 11.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lncscxcotxcosxC）解析：解析：12.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*dx）解析：解析：利用定积分定义求极限， = ，此极限为函数 f(x)= 在 x0，1上的定积分，即13.级数 （分数：2
9、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1)）解析：解析：因为 1，所以幂级数 的收敛半径 R=14.一阶线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+C）解析：解析：由一阶线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的通解公式 y=e P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+C15.在 xOy平面上与向量 a=(4，一 3，7)垂直的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：b=*）解析：解析：设所求向量 b=(x，y，0)，则 x 2 +
10、y 2 =1 ； 且 a.b=0，即 4x3y=0 由和解得 ，即 b= 16.平面 2x+y一 z一 1=0到平面 2x+y一 z3=0 的距离为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：可以判断两平面平行，故平面 2x+yz一 1=0到平面 2x+yz+3=0的距离可以转换为平面2x+yz1=0 上任一点到平面 2xyz3=0 的距离，即 d=三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = =3， f(x)=a 因为函数 f(x
11、)在 x=0处连续， 所以 )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)=2x 当 x0 时，f(x)=2e 2x f(x)在 x=0处不可导 f(x)= )解析：20.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：据题意，y= ，y= 令 y=0，则可得 x=0，x=一 2 当 x0 时，y0；当 0x2 时，y0；当 x2 时，y0 而且当 x=0时，y= ；当 x=2时，y= 所以点(0， )和(2， )解析：21.求方程 x 2 =xsinx+cosx根的个数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令函数 f(x)=x 2 一
12、xsinxcosx，则 f(x)在 xR 上处处连续且可导 f 0 在闭区间 上分别应用零点定理可知，分别至少存在一点 ( ，0)，(0， )解析：22.求不定积分x 2 lnxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 lnxdx= lnxdx 3 = x 3 lnx x 2 dx = x 3 lnx )解析：23.求定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求瑕积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 是瑕点，令 t= ，则 x=t 2 ，当 x0 时，t0，x=1 时，t=1 再令 t=tanu，则当 t=1时，u= ，当 t=0时，u=0
13、 所以 )解析：25.将函数 ln(1一 x一 2x 2 )展开成 x的幂级数，并指出其收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1 一 x一 2x 2 )=ln(12x)(1+x)=ln(12x)+ln(1+x) 因为 ln(1+x)= x n ，收敛区间为 x(1，1) 所以 ln(12x)= ，收敛区间为 x( ) 所以 ln(1x2x 2 )= (1) n1 2 n ，收敛区间为 x( )解析：四、综合题(总题数：3，分数：6.00)26.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0xe 时，f(x)= = =1 当 x=e时，f(e)= =1 当 x
14、e 时，f(x)= = =lnx 所以 f(x)= )解析：27.设 abe，证明：a b b a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(拉格朗日中值定理)设 f(x)= ，xb，a 函数 f(x)在闭区间 xb，a上连续，在开区间(b，a)内可导 所以由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (b，a)，使得 f(a)f(b)= =f()(ab) (ab)，其中 ba eba， lnlne，即ln 一 10 1一 ln0 blnaalnb0，即 alnbblna， )解析：28.若 f(x)在0，1上连续，(1)证明 xf(sinx)dx= f(sinx)dx，(2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： xf(sinx)dx (t)fsin(t)dt = (t)f(sint)dt=f(sint)dt tf(sint)dt = f(sinx)dx xf(sinx)dx xf(sinx)dx=f(sinx)dx 利用上述结论，即得 dx = )解析：
