1、2017年江苏省南通市通州区中考一模试卷数学 一、选择题 (每题 3分，共 24分 ) 1.二次函数 y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ( ) A.(1， 3) B.(-1， 3) C.(1， -3) D.(-1， -3) 解析：二次函数 y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标为 (1， 3). 答案： A 2.当二次函数 y=x2+4x+9取最小值时， x的值为 ( ) A.-2 B.1 C.2 D.9 解析： y=x2+4x+9=(x+2)2+5，当 x=-2时，二次函数有最小值 . 答案： A 3.二次函数 y=x2+2x+2 与坐标轴的交点个数是 ( ) A.0个 B.1个
2、 C.2个 D.3个 解析： =22-4 1 2=-4 0， 二次函数 y=x2+2x+2 与 x轴没有交点，与 y轴有一个交点 . 二次函数 y=x2+2x+2 与坐标轴的交点个数是 1个 . 答案： B 4.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 100m，则池底的最大面积是 ( ) A.600 m2 B.625 m2 C.650 m2 D.675 m2 解析：设矩形的一边长为 xm，则其邻边为 (50-x)m，若面积为 S， 则 S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625. -1 0， S有最大值 .当 x=25时，最大值为 625. 答案：
3、 B 5.设 A(-2， y1)， B(1， y2)， C(2， y3)是抛物线 y=-(x+1)2+a上的三点，则 y1， y2， y3的大小关系为 ( ) A.y1 y2 y3 B.y1 y3 y2 C.y3 y2 y1 D.y3 y1 y2 解析：函数的解析式是 y=-(x+1)2+a，如图，对称轴是 x=-1， 点 A关于对称轴的点 A是 (0， y1)， 那么点 A、 B、 C都在对称轴的右边，而对称轴右边 y随 x的增大而减小，于是 y1 y2 y3. 答案： A 6.如图，直径为 10 的 A 经过点 C 和点 O，点 B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点， OBC=30，则点 C
4、的坐标为 ( ) A.(0， 5) B.(0， 5 3 ) C.(0， 5 32) D.(0， 5 33) 解析：设 A与 x轴另一个的交点为点 D，连接 CD， COD=90， CD 是 A的直径，即 CD=10， OBC=30， ODC=30， OC=12CD=5，点 C的坐标为： (0， 5). 答案： A 7.一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是 ( ) A.1.5cm B.7.5cm C.1.5cm或 7.5cm D.3cm或 15cm 解析：分为两种情况： 当点 P在圆内时，最近点的距离为 6cm，最远点的距离为 9cm，则直径是 15cm，因而半径是
5、 7.5cm； 当点 P 在圆外时，最近点的距离为 6cm，最远点的距离为 9cm，则直径是 3cm，因而半径是 1.5cm. 答案： C 8.如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB的长为 ( ) A.2cm B.3cm C.23cm D.25cm 解析：作 OD AB 于 D，连接 OA. 根据题意得： OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得： AD= 3 cm，根据垂径定理得： AB=2 3 cm. 答案： C 二、填空题 (每题 4分，共 32分 ) 9.如果抛物线 y=(m-1)x2的开口向上，那么 m的取值范围是 . 解析：因为抛物线 y=(m
6、-1)x2的开口向上， 所以 m-1 0，即 m 1，故 m的取值范围是 m 1. 答案： m 1 10.抛物线 y=ax2+3与 x轴的两个交点分别为 (m， 0)和 (n， 0)，则当 x=m+n时， y 的值为 . 解析：抛物线 y=ax2+3与 x 轴的两个交点分别为 (m， 0)和 (n， 0)， 该抛物线的对称轴方程为 022mna ，即 m+n=0， x=m+n=0， y=0+3=3，即 y=3. 答案： 3 11.将二次函数 y=x2-2x+m 的图象向下平移 1 个单位后，它的顶点恰好落在 x 轴上，则m= . 解析： y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1， 图象向下平移
7、 1个单位，平移后的二次函数解析式为 y=(x-1)2+m-2， 顶点恰好落在 x轴上， m-2=0，解得 m=2. 答案： 2 12.抛物线 y=-x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y 0，则 x的取值范围是 . 解析：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为 x=-1，已知一个交点为 (1， 0)， 根据对称性，则另一交点为 (-3， 0)， 所以 y 0时， x的取值范围是 -3 x 1. 答案： -3 x 1 13.如图， AB是 O的直径， CD为弦， CD AB于 E，若 CD=6， BE=1，则 O的直径为 . 解析：如图，连接 OD，设 OD=x， AB是 O的直径，而且
8、 CD AB 于 E， DE=CE=6 2=3， 在 Rt ODE中， x2=(x-1)2+32，解得 x=5， 5 2=10， O的直径为 10. 答案： 10 14.如图所示，点 A是半圆上一个三等分点，点 B是弧 AN的中点，点 P是直径 MN 上一动点，若 O的直径为 2，则 AP+BP的最小值是 . 解析：作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 AB交 MN 于点 P，连接 BP，此时 AP+BP=AB最小，连接 OB，如图所示 . 点 B和点 B关于 MN对称， PB=PB . 点 A是半圆上一个三等分点，点 B是 AN 的中点， AON=180 3=60， B ON= AON
9、2=30， AOB = AON+ B ON=90 . OA=OB =1， AB = 2 . 答案： 2 15.如图， AB 是 O的直径， C=30，则 ABD等于 . 解析：连接 AD， AB是 O的直径， ADB=90， A= C=30， ABD=90 - A=60 . 答案： 60 16.在半径为 5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为 6cm和 8cm，则这两条弦之间的距离为 . 解析：圆心到两条弦的距离分别为 d1= 221562()=4cm， d2= 221582()=3cm. 故两条弦之间的距离 d=d1-d2=1cm或 d=d1+d2=7cm. 答案： 1cm或 7cm 三、解答
10、题 17.计算： 13 18 t a n 4 532 . 解析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 . 答案：原式 = 2 -2+1-3= 2 -4. 18.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A(-1， 0)， B(3， 0)， C(0， -3)三点，求这个二次函数的解析式 . 解析：由于已知了抛物线与 x的两交点坐标，则可设交点式 y=a(x+1)(x-3)，然后把 C点坐标代入计算出 a即可 . 答案：设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)， 把 C(0， -3)
11、代入得 a 1 (-3)=-3，解得 a=1， 所以这个二次函数的解析式为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. 19.已知：如图， AB是 O的弦，半径 OC、 OD分别交 AB于点 E、 F，且 OE=OF. 求证： AE=BF. 解析：如图，过点 O 作 OM AB于点 M.根据垂径定理得到 AM=BM.然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知 EM=FM，故 AE=BE. 答案：如图，过点 O作 OM AB于点 M，则 AM=BM. 又 OE=OF EM=FM， AE=BF. 20.如图， C=90，以 AC 为半径的圆 C与 AB 相交于点 D.若 AC=3， CB=4，求 B
12、D长 . 解析：根据勾股定理求得 AB 的长，再点 C作 CE AB于点 E，由垂径定理得出 AE，即可得出BD的长 . 答案：在三角形 ABC 中， ACB=90， AC=3， BC=4， AB= 2 2 2 234A C B C =5，点 C作 CE AB于点 E，则 AD=2AE， CAE= CAB， AEC= ACB=90， ACE ABC， AC AEAB AC， AC2=AE AB，即 32=AE 5， AE=1.8， AD=2AE=2 1.8=3.6， BD=AB-AD=5-3.6=1.4. 21.如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB 于点 E，且 CD=24，点 M 在
13、 O 上， MD 经过圆心 O，联结 MB. (1)若 BE=8，求 O的半径； (2)若 DMB= D，求线段 OE的长 . 解析： (1)根据垂径定理求出 DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径； (2)根据 OM=OB，证出 M= B，根据 M= D，求出 D 的度数，根据锐角三角函数求出 OE的长 . 答案： (1)设 O的半径为 x，则 OE=x-8， CD=24，由垂径定理得， DE=12， 在 Rt ODE中， OD2=DE2+OE2， x2=(x-8)2+122，解得： x=13. (2) OM=OB， M= B， DOE=2 M， 又 M= D， D=30，在 R
14、t OED中， DE=12， D=30， OE=4 3 . 22.已知二次函数 y=-2x2+4x+6. (1)求出该函数图象的顶点坐标，图象与 x轴的交点坐标 . (2)当 x在什么范围内时， y随 x的增大而增大？ (3)当 x在什么范围内时， y 6？ 解析： (1)利用配方法把二次函数 y=x2-2x-3 化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标；根据 x、 y轴上点的坐标特点分别另 y=0求出 x的值，令 x=0求出 y的值即可 . (2)根据开口方向和对称轴即可确定其增减性； (3)令 y=0求得 x的值并结合开口方向确定答案即可 . 答案： (1) y=-2x2+4x+6=-2
15、(x-1)2+8，对称轴是 x=1，顶点坐标是 (1， 8)； 令 y=0，则 -2x2+4x+6=0，解得 x1=-1， x2=3； 图象与 x轴交点坐标是 (-1， 0)、 (3， 0). (2)对称轴为： x=1，开口向下，当 x 1时， y随 x的增大而增大； (3)令 y=-2x2+4x+6=6，解得： x=0或 x=2， 开口向下，当 x 0或 x 2时 y 6. 23.如图，直线 AB分别交 y轴、 x轴于 A、 B两点， OA=2， tan ABO=12，抛物线 y=-x2+bx+c过 A、 B两点 . (1)求直线 AB和这个抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为 D，求
16、ABD的面积； (3)作垂直 x轴的直线 x=t，在第一象限交直线 AB于 M，交这个抛物线于 N.求当 t取何值时，MN的长度 l有最大值？最大值是多少？ 解析： (1)求出 OB，把 A、 B的坐标代入 y=-x2+bx+c和 y=kx+e求出即可； (2)求出 D的坐标，再根据面积公式求出即可； (3)求出 M、 N的坐标，求出 MN的值，再化成顶点式，即可求出答案 . 答案： (1)在 Rt AOB中， tan ABO=AOBO， OA=2，即 212BO， 0B=4， A(0， 2)， B(4， 0)， 把 A、 B的坐标代入 y=-x2+bx+c得： 21 6 4 0cbc ，解得
17、： b=72，抛物线的解析式为 y=-x2+72x+2， 设直线 AB的解析式为 y=kx+e，把 A、 B的坐标代入得： 240ckc，解得： k=-12， e=2，所以直线 AB的解析式是 y=-12x+2； (2)过点 D作 DE y轴于点 E， 由 (1)抛物线解析式为 22 7 7 8 122 4 1 6y x x x ，即 D的坐标为 (74， 8116)， 则 ED=74， EO=8116， AE=EO-OA=4916， S ABD=S 梯形 DEOB-S DEA-S AOB= 1 7 8 1 1 7 4 9 1 6 34 4 22 4 1 6 2 4 1 6 2 8 ； (3)
18、由题可知， M、 N横坐标均为 t. M在直线 AB： y=-12x+2上 ， M(t， -12t+2)， N在抛物线 y=-x2+72x+2上 ， M(t， -t2+72t+2)， 作垂直 x轴的直线 x=t，在第一象限交直线 AB于 M，交这个抛物线于 N， MN=-t2+72t+2-(-2t+2)=-t2+4t=-(t-2)2+4， 其中 0 t 4，当 t=2时， MN 最大 =4， 所以当 t=2时， MN的长度 l有最大值，最大值是 4. 24.某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每月能售出 600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10
19、 件 . (1)写出月销售利润 y(单位：元 )与售价 x(单位：元 /件 )之间的函数解析式 . (2)当销售价定为 45元时，计算月销售量和销售利润 . (3)衬衣店想在月销售量不少于 300 件的情况下，使月销售利润达到 10000 元，销售价应定为多少？ (4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润 .解析： (1)利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可； (2)将 x=45代入求出即可； (3)当 y=10000时，代入求出即可； (4)利用配方法求出二次函数最值即可得出答案 . 答案： (1)由题意可得： y=(x-30)600-10(x-40)=-10x2+1300x-30000； (2)当 x=45时， 600-10(x-40)=550(件 )， y=-10 452+1300 45-30000=8250(元 )； (3)当 y=10000时， 10000=-10x2+1300x-30000，解得： x1=50， x2=80， 当 x=80时， 600-10(80-40)=200 300(不合题意舍去 )故销售价应定为： 50 元； (4)y=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+12250， 故当 x=65(元 )，最大利润为 12250元 .
