1、2017年江苏省南通市高考一模 数学 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 . 1.函数 y=2sin(3x-3)的最小正周期为 . 解析：根据函数 y=Asin( x+ )的周期等于 2，得出结论 . 函数 y=2sin(3x-3)的最小正周期为 23. 答案： 23. 2.设集合 A=1， 3， B=a+2， 5， A B=3，则 A B= . 解析：由交集的定义，可得 a+2=3，解得 a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求 . 集合 A=1， 3， B=a+2， 5， A B=3， 可得 a+2=3，解得 a=1， 即 B=3， 5， 则 A B
2、=1， 3， 5. 答案： 1， 3， 5. 3.复数 z=(1+2i)2，其中 i为虚数单位，则 z的实部为 . 解析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案 . z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i， z的实部为 -3. 答案： -3. 4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球 .摸出红球的概率为 0.48，摸出黄球的概率为 0.35，则摸出蓝球的概率为 . 解析：利用对立事件的概率公式，可得结论 . 摸出红球的概率为 0.48，摸出黄球的概率为 0.35， 摸出蓝球的概率为 1-0.48-0.35=0.17. 答案： 0.17. 5.如图是一个算法的流程图，则输
3、出的 n的值为 . 解析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算 a值，并输出满足 a 16的最大 n值，模拟程序的运行过程可得答案 . 当 n=1， a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后， a=5， n=3. 满足进行循环的条件，执行循环后， a=17， n=5. 满足进行循环的条件，退出循环 . 故输出 n值为 5. 答案： 5. 6.若实数 x， y满足243700xyxyxy ， 则 z=3x+2y的最大值为 . 解析： 作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ). 由 z=3x+2y得 3122y x z， 平移直线 3122y x z， 3 1 3 12 2 2
4、 2y x z A y x z 由 图 象 可 知 当 直 线 经 过 点 时 ， 直 线 的 截 距 最 大， 此时 z最大 . 由 2437xyxy，解得 A(1， 2)， 代入目标函数 z=3x+2y得 z=3 1+2 2=7. 即目标函数 z=3x+2y的最大值为 7. 答案 ： 7. 7.抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩 (单位：分 )，结果如下： 则成绩较为稳定 (方差较小 )的那位学生成绩的方差为 . 解析：根据题意，对于甲，其平均数 6 5 8 0 7 0 8 5 7 5 755x 甲，其方差 S 甲 2=15(65-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(85-
5、75)2+(75-75)2=50. 对 于 乙 ， 其 平 均 数 8 0 7 0 7 5 8 0 7 0 755x 乙，其方差 S 乙 2= 15(80-75)2+(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(70-75)2=20. 比较可得： S 甲 2 S 乙 2，则乙的成绩较为稳定 . 答案： 20. 8.如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， AB=3cm， AA1=1cm，则三棱锥 D1-A1BD 的体积为 cm3. 解析：在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， AB=3cm， AA1=1cm， 三棱锥 D1-A1BD 的体积： 1 1 1 1 1 1 1
6、1 11 31 1 1 33 3 2 6 213D A B D B A D D A D DV V S A B A D D D A B V(cm3). 答案： 32. 9.在平面直角坐标系 xOy中，直线 2x+y=0为双曲线 221xyab(a 0， b 0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 . 解析：利用双曲线的渐近线方程得到 a， b关系，然后求解双曲线的离心率即可 . 直线 2x+y=0为双曲线 221xyab(a 0， b 0)的一条渐近线， 可得 b=2a，即 c2-a2=4a2， 可得 5ca. 答案 ： 5 . 10.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下
7、各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共 3升，下面 3节的容积共 4升，则该竹子最上面一节的容积为 升 . 解析：设最上面一节的容积为 a1， 利用等差数列的通项公式、前 n项和公式列出方程组： 111()434329 8 6 596 () 422ada d a d ， 解得1 1322a . 答案： 1322. 11.在 ABC中，若 2B C B A A C A B C A C Bu uur u ur u u ur u uur u ur u u rg g g，则 sinsinAC的值为 . 解析：根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出 sinsinAC的值 .
8、在 ABC中，设三条边分别为 a、 b， c，三角分别为 A、 B、 C， 由 2B C B A A C A B C A C Bu uur u ur u u ur u uur u ur u u rg g g， 得 ac cosB+2bc cosA=ba cosC， 由余弦定理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 21122a c b b c a b a c ， 化简得 22 2 2aacc， 则 ， 由正弦定理得 s ins in 2AaCc. 答案： 2 . 12.已知两曲线 f(x)=2sinx， g(x)=acosx， x (0，2)相交于点 P.若两曲线在点 P 处的切线互相垂直，则实
9、数 a 的值为 . 解析：联立两曲线方程，可得 s i nt a nc o s 2xax x， a 0，设交点 P(m， n)，分别求出 f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为 -1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到 a的值 . 由 f(x)=g(x)，即 2sinx=acosx， 即有 s i nt a nc o s 2xax x， a 0， 设交点 P(m， n)， f(x)=2sinx的导数为 f (x)=2cosx， g(x)=acosx的导数为 g (x)=-asinx， 由两曲线在点 P处的切线互相垂直， 可得 2cosm (-asin
10、m)=-1， 且 tan2am， 则222 s i n c o s 1s i n c o sa m mmm ， 分子分母同除以 cos2m， 即有22 tan 11 tanamm ， 22 214 33aaa 即 为 ， 解 得. 答案： 2 33. 13.已知函数 f(x)=|x|+|x-4|，则不等式 f(x2+2) f(x)的解集用区间表示为 . 解析： 令 g(x)=f(x2+2)-f(x)=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论 x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可 . 令 g(x)=f(x2+2)-f(x)=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，
11、x 4时， g(x)=2x2-2x+4 0，解得： x 4. 2 x 4时， g(x)=2x2-4 0，解得： 22 42x x x 或 ， 故 . 0 x 2 时， g(x)=0 0，不合题意 . 2 x 0时， g(x)=2x 0，不合题意 . x 2 时， g(x)=2x2+2x-4 0，解得： x 1或 x -2， 故 x -2， 即不等式的解集用区间表示为 (-， -2) ( 2 ， + ). 答案 ： (-， -2) ( 2 ， + ). 14.在平面直角坐标系 xOy中，已知 B， C为圆 x2+y2=4 上两点，点 A(1， 1)，且 AB AC，则线段 BC 的长的取值范围为
12、 . 解析：在平面直角坐标系 xOy中，已知 B， C为圆 x2+y2=4上两点，点 A(1， 1)，且 AB AC，如图所示： 当 BC OA时， |BC|取得最小值或最大值 . 由2214yxy，可得 B 1331 ， 或 ， 由2211xxy，可得 C 1 3 31 ， 或 ， 解得 ： 2 2 2 23 3 6 2 3 31 1 1 621m i n m a xB C B C ，. 故线段 BC的长的取值范围为 6 2 6 2， . 答案： 6 2 6 2， . 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分 . 15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边作锐角，其终
13、边与单位圆交于点 A.以 OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点 B， AB=2 55. (1)求 cos的值 . 解析： (1)由条件利用余弦定理，求得 cos的值 . 答案： (1)在 AOB中，由余弦定理得， AB2=OA2+OB2-2OA OBcos AOB， 2222 2 225115 3c o s2 2 1 1 5O A O B A BA O BO A O B g， 即 cos =35. (2)若点 A的横坐标为 513，求点 B的坐标 . 解析： (2)利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点 B的坐标 . 答案： (2) 3 052c
14、 o s ， ， 22 34s i n 1 c o s 155 . c o s1 3 1 3A 点 的 横 坐 标 为 ， 由 三 角 函 数 定 义 可 得 ， 为锐角， 22 5 1 2s i n 1 c o s 11 3 1 3 . 5 3 1 2 4 3 3c o s c o s c o s s i n s i() n1 3 5 1 3 5 6 5 ， 1 2 3 5 4 5 6s i n s i n c o s c o s s i n 1 3 5 1 6 5() 35 ， 即点 B 3 3 5 66 5 6 5 ，. 16.如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形 ABCD为平行四边形
15、， AC， BD相交于点 O，点 E为 PC的中点， OP=OC， PA PD. 求证： (1)直线 PA平面 BDE. 解析： (1)连结 OE，说明 OE PA.然后证明 PA平面 BDE. 答案： (1)证明：连结 OE， O为平行四边形 ABCD对角线的交点， O为 AC中点 . E为 PC的中点， OE PA. OE 平面 BDE， PA 平面 BDE， 直线 PA平面 BDE. (2)平面 BDE平面 PCD. 解析： (2)证明 OE PD.OE PC.推出 OE平面 PCD.然后证明平面 BDE平面 PCD. 答案： (2)证明： OE PA， PA PD， OE PD. OP
16、=OC， E为 PC 的中点， OE PC. PD 平面 PCD， PC 平面 PCD， PC PD=P， OE平面 PCD. OE 平面 BDE， 平面 BDE平面 PCD. 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 221xyab(a b 0)的离心率为 22，焦点到相应准线的距离为 1. (1)求椭圆的标准方程 . 解析： (1)由已知条件可得 22 12cacac ，然后求解椭圆的方程 . 答案： (1)由题意得， 22 12cacac ， 解得 a=2， c=1， b=1. 所以椭圆的方程为 2 2 12x y. (2)若 P为椭圆上的一点，过点 O作 OP 的垂线交直线
17、y= 2 于点 Q，求2211OP OQ 的值 . 解析： (2)由题意知 OP的斜率存在 .当 OP的斜率为 0时，求解结果 .当 OP的斜率不为 0时，设直线 OP方程为 y=kx.联立方程组，推出 OP2= 222221kk .OQ2=2k2+2.然后求解即可 . 答案： (2)由题意知 OP 的斜率存在 . 当 OP的斜率为 0时，22212 1 1O P O QO P O Q ， ， 所 以. 当 OP的斜率不为 0时，设直线 OP 方程为 y=kx. 2222 2 2 2221 2 1 222 1 2 1x kyk x x ykky k x 由 得 ， 解 得 ， 所 以， 所以
18、OP2= 222221kk . 因为 OP OQ，所以直线 OQ 的方程为 1yk x. 由 21kyyx 得 2xk ，所以 OQ2=2k2+2. 所以 22 2 2 21 1 2 1 1 12 2 2 2kO P O Q k k . 综上，可知22111O P O Q. 18.如图，某机械厂要将长 6m，宽 2m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪 .已知点 F 为 AD 的中点，点 E 在边 BC 上，裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处 (点 C， D 分别落在直线BC下方点 M， N处， FN 交边 BC于点 P)，再沿直线 PE 裁剪 . (1)当 EFP=
19、4时，试判断四边形 MNPE的形状，并求其面积 . 解析： (1)当 EFP=4时，由条件得 EFP= EFD= FEP=4.可得 FN BC，四边形 MNPE 为矩形 .即可得出 . 答案： (1)当 EFP=4时，由条件得 EFP= EFD= FEP=4. 所以 FPE=2.所以 FN BC， 四边形 MNPE为矩形 . 所以四边形 MNPE的面积 S=PN MN=2m2. (2)若使裁剪得到的四边形 MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由 . 解析： (2)解法一：设 EFD= (02)，由条件，知 EFP= EFD= FEP= .可得 2 2 2 233s i n 2 s i n
20、 2 s i n 2 t a nP F N P N F P F M E ， ，. 四边形MNPE面积为 ： 2 2 2 23 3 2 6s i n 2 t a n t a n s i112 n2 2S N P M E M N ，化简利用基本不等式的性质即可得出 . 解法二：设 BE=tm， 3 t 6，则 ME=6-t， 可得 PE=PF，即 2 232B P t B P ， 221 3 1 332 3 2 3ttB P N P t ， ， 四 边 形 MNPE 面积为 21 3 231 1 32 2 26 2 6 32 3 3tS N P M E M N t t ttt ，利用基本不等式的性
21、质即可得出 . 答案： (2)解法一： 设 EFD= (02)，由条件，知 EFP= EFD= FEP= . 所以 2 2 2 233s i n 2 s i n 2 s i n 2 t a nP F N P N F P F M E ， ，. 2230s i n 23 2 t a2s i n32tan000232n由 得 (*) 所以四边形 MNPE面积为 22112 2 s i n t a n t a n s i2 2 2 23 3 2 6222n( s i n c o s ) t a n t a nt a n s i n c o s t a n t a2 3 36 6 6 2n6 2 32S
22、 N P M E M N 当且仅当 t a n t a n 3t a n3 3 ， 即 ，时取“ =” . 此时， (*)成立 . 答：当 EFD=3时，沿直线 PE裁剪，四边形 MNPE 面积最大， 最大值为 (6-2 3 )m2. 解法二： 设 BE=tm， 3 t 6，则 ME=6-t. 因为 EFP= EFD= FEP，所以 PE=PF，即 2 232B P t B P . 所以 221 3 1 33 3 3 32 3 2 3ttB P N P P F P E t B P t ， . 2223636130 1 3231 2 3 1 0133023tttttttttt 由 得 (*).
23、所以四边形 MNPE面积为 21336122326 3 6 2 3312232tS N P M E M N t tttt 3323 2 4 23 3 333ttt 当 且 仅 当 ， 即 时 取“ =” . 此时， (*)成立 . 答：当点 E距 B点 3+233m时，沿直线 PE裁剪，四边形 MNPE面积最大， 最大值为 (6-2 3 )m2. 19.已知函数 f(x)=ax2-x-lnx， a R. (1)当 a=38时，求函数 f(x)的最小值 . 解析： (1)当 a=38时， f(x)=38x2-x-lnx.求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值 . 答案： (1)
24、当 a=38时， f(x)=38x2-x-lnx. 所以 32113424xxf x xxx (x 0). 令 f(x)=0，得 x=2， 当 x (0， 2)时， f(x) 0.当 x (2， + )时， f(x) 0， 所以函数 f(x)在 (0， 2)上单调递 减，在 (2， + )上单调递增 . 所以当 x=2时， f(x)有最小值 122 ln 2f . (2)若 -1 a 0，证明：函数 f(x)有且只有一个零点 . 解析： (2)由 f(x)=ax2-x-lnx，得 21 2 121 a x xf x a xxx ， x 0.当 a 0时，函数 f(x)在 (0， + )上最多有
25、一个零点，当 -1 a 0时， f(1)=a-1 0， 221 0e e afee ，推出结果 . 答案： (2)由 f(x)=ax2-x-lnx，得 21 2 121 a x xf x a xxx (x 0). 所以当 a 0时， 221 0a x xfxx ， 函数 f(x)在 (0， + )上单调递减， 所以当 a 0时，函数 f(x)在 (0， + )上最多有一个零点 . 因为当 -1 a 0时， f(1)=a-1 0， 221 0e e afee ， 所以当 -1 a 0时，函数 f(x)在 (0， + )上有零点 . 综上，当 -1 a 0时，函数 f(x)有且只有一个零点 . (
26、3)若函数 f(x)有两个零点，求实数 a的取值范围 . 解析： (3)由 (2)知，当 a 0 时，函数 f(x)在 (0， + )上最多有一个零点 .说明 a 0，由f(x)=ax2-x-lnx，得 221a x xfxx(x 0)，说明函数 f(x)在 (0， x0)上单调递减 .在(x0， + )上单调递增 . 要使得函数 f(x)在 (0， + )上有两个零点，只需要 ax02-x0-lnx0 0.通过函数 h(x)=2lnx+x-1在 (0， + )上是增函数，推出 0 a 1.验证当 0 a 1时，函数 f(x)有两个零点 .证明： lnx x-1. 设 t(x)=x-1-lnx
27、，利用导数求解函数的最值即可 . 答案： (3)由 (2)知，当 a 0时，函数 f(x)在 (0， + )上最多有一个零点 . 因为函数 f(x)有两个零点，所以 a 0. 由 f(x)=ax2-x-lnx，得 221a x xfxx(x 0)，令 g(x)=2ax2-x-1. 因为 g(0)=-1 0， 2a 0， 所以函数 g(x)在 (0， + )上只有一个零点，设为 x0. 当 x (0， x0)时， g(x) 0， f(x) 0.当 x (x0， + )时， g(x) 0， f(x) 0. 所以函数 f(x)在 (0， x0)上单调递减 .在 (x0， + )上单调递增 . 要使得
28、函数 f(x)在 (0， + )上有两个零点， 只需要函数 f(x)的极小值 f(x0) 0，即 ax02-x0-lnx0 0 0. 又因为 g(x0)=2ax02-x0-1=0，所以 2lnx0+x0-1 0， 又因为函数 h(x)=2lnx+x-1在 (0， + )上是增函数，且 h(1)=0， 所以 x0 1，得 001x 1. 又由 2ax02-x0-1=0，得 220 0 011241 1 12 ax x x ， 所以 0 a 1. 以下验证当 0 a 1时，函数 f(x)有两个零点 . 当 0 a 1时，21 2 1 110aag a a a a ， 所以 1 x0 1a. 因为
29、22211 10a e e afe e e e ，且 f(x0) 0. 所以函数 f(x)在 (1e， x0)上有一个零点 . 又因为22 4 2 2 2l n 2 1 1 0afaa a a a a (因为 lnx x-1)，且 f(x0) 0. 所以函数 f(x)在 (x0， 2a)上有一个零点 . 所以当 0 a 1时，函数 f(x)在 12ea，内有两个零点 . 综上，实数 a的取值范围为 (0， 1). 下面证明： lnx x-1. 设 t(x)=x-1-lnx，所以 111 xtxxx (x 0). 令 t(x)=0，得 x=1. 当 x (0， 1)时， t(x) 0.当 x (
30、1， + )时， t(x) 0. 所以函数 t(x)在 (0， 1)上单调递减，在 (1， + )上单调递增 . 所以当 x=1时， t(x)有最小值 t(1)=0. 所以 t(x)=x-1-lnx 0，得 lnx x-1成立 . 20.已知等差数列 an的公差 d 不为 0，且1ka，2ka，kna， (k1 k2 kn )成等比数列，公比为 q. (1)若 k1=1， k2=3， k3=8，求 1ad的值 . 解析： (1)由已知得： a1， a3， a8成等比数列，从而 4d2=3a1d，由此能求出 1ad的值 . 答案： (1)由已知可得： a1， a3， a8成等比数列， 所以 (a
31、1+2d)2=a1(a1+7d)， 整理可得： 4d2=3a1d. 因为 d 0，所以 1 43ad . (2)当 1ad为何值时，数列 kn为等比数列 . 解析： (2)设数列 kn为等比数列，则 k22=k1k3，推导出 1 1ad，从而nkna k d，进而 kn=k1qn-1.由此得到当 1 1ad时，数列 kn为等比数列 . 答案： (2)设数列 kn为等比数列，则 k22=k1k3. 又因为 ak1， ak2， ak3成等比数列， 所以 a1+(k1-1)da1+(k3-1)d=a1+(k2-1)d2. 整理，得 a1(2k2-k1-k3)=d(k1k3-k22-k1-k3+2k2
32、). 因为 k22=k1k3，所以 a1(2k2-k1-k3)=d(2k2-k1-k3). 因为 2k2 k1+k3，所以 a1=d，即 1 1ad. 当 1 1ad时， an=a1+(n-1)d=nd，所以nkna k d. 又因为1 111n nnkka a q k d q，所以 kn=k1qn-1. 所以1 1 11nnnnk kq qk k q ，数列 kn为等比数列 . 综上，当 1 1ad时，数列 kn为等比数列 . (3)若数列 kn为等比数列，且对于任意 n N*，不等式 2nn k na a k 恒成立，求 a1的取值范围 . 解析： (3)由数列 kn为等比数列， a1=d
33、， kn=k1qn-1(q 1).得到 111 112 nnkqan k q，1111 1 1121022nnnn k q qna k q k q g 恒成立，再证明对于任意的正实数 (0 1)，总存在正整数 n1，使得11nnq . 要证11nnq，即证 lnn1 n1lnq+ln .由此能求出 a1的取值范围 . 答案： (3)因为数列 kn为等比数列，由 (2)知 a1=d， kn=k1qn-1(q 1). 1 1 1 11 1 1n n n nkka a q k d q k a q ， an=a1+(n-1)d=na1. 因为对于任意 n N*，不等式 2nn k na a k 恒成立
34、 . 所以不等式 111 1 1 12nnn a k a q k q ， 即 111111 1 1 121 0 1222nnn n nk q n k q q nan k q a k q k q g ， 恒成立 . 下面证明：对于任意的正实数 (0 1)，总存在正整数 n1，使得11nnq . 要证11nnq ，即证 lnn1 n1lnq+ln . 因为 1ln21x x xe ，则1 1 1l n 2 l nn n n ， 解不等式11ln lnn n q ，即 211l n 0n q n l n ， 21 1 4 l n l n 1 1 4 l n l n2 l n 2 l nqqnn 可
35、得 ， 所 以 . 不妨取 201 1 4 l n l n 12 l nqnq，则当 n1 n0时，原式得证 . 所以10 21 1a ，所以 a1 2，即得 a1 的取值范围是 2， + ). 附加题：选做题本题包括四小题，请选 2题作答 .若多做，则按作答的前两题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 选修 4-1：几何证明选讲 21.已知圆 O的直径 AB=4， C为 AO的中点，弦 DE过点 C且满足 CE=2CD，求 OCE的面积 . 解析：由相交弦定理，得 CD， DE 中点 H，则 OH DE，利用勾股定理求出 OH，即可求出 OCE的面积 . 答案：设 CD=x，
36、则 CE=2x. 因为 CA=1， CB=3， 由相交弦定理，得 CA CB=CD CE， 所以 1 3=x 2x=2x2，所以 x= 62. 取 DE中点 H，则 OH DE. 因为 22 2 2 35284O H O E E H x ， 所以 OH= 104. 又因为 CE=2x= 6 ， 所以 OCE的面积 11 622 1 0 1 544S O H C E g. 选修 4-2：矩阵与变换 22.已知向量 11是矩阵 A的属于特征值 -1的一个特征向量 .在平面直角坐标系 xOy中，点P(1， 1)在矩阵 A对应的变换作用下变为 P(3， 3)，求矩阵 A. 解析：设 A= abcd，根
37、据矩阵变换，列方程组，即可求得 a、 b、 c和 d的值，求得 A. 答案：设 A= abcd， 向量 11是矩阵 A的属于特征值 -1的一个特征向量， 1 1 111 1 1abcd . 11abcd 点 P(1， 1)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P(3， 3)， 1313abcd . 33abcd解得 a=1， b=2， c=2， d=1，所以 A= 1221. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23.在极坐标系中，求直线 =4( R)被曲线 =4sin所截得的弦长 . 解析：极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出 A， B的坐标，即可求直线 =4( R)被曲线 =4sin所截得的弦长
38、 . 答案：以极点 O为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系 . 直线 =4 R)的直角坐标方程为 y=x， 曲线 =4sin的直角坐标方程为 x2+y2-4y=0 . 由得 02xxyy或所以 A(0， 0)， B(2， 2)， 所以直线 =4( R)被曲线 =4sin所截得的弦长 AB=2 2 . 选修 4-5：不等式选讲 24.求函数 3 s i n 2 2 2 c o s 2y x x 的最大值 . 解析：利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可 . 答案： 23 s i n 2 2 2 c o s 2 3 s i n 4 c o sy x x x
39、x ， 由柯西不等式得 22 2 2 2 2 23 4 c o s 3 4s i n s i n c o s 2 5y x x x x ， 所以 ymax=5，此时 sinx=35. 所以函数 3 s i n 2 2 2 c o s 2y x x 的最大值为 5. 必做题 共 2小题，满分 20分 25.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， P 为棱 C1D1的中点， Q 为棱 BB1上的点，且BQ= BB1( 0). (1)若 =12，求 AP 与 AQ所成角的余弦值 . 解析： (1)以 1A B A D A Auuur uuur uuur， ， 为正交基底，建立如
40、图所示空间直角坐标系 A-xyz.求出()20 )2(1 2 1A P A Qu uur u u ur， ， ， ， ，利用数量积求解 AP 与 AQ 所成角的余弦值 . 答案： (1)以 1A B A D A Auuur uuur uuur， ， 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz. ()20 )2(1 2 1A P A Qu uur u u ur， ， ， ， ， 1 2 2 0 2 1 4 5c o s1595A P A QA P A QA P A Q u u ur u u uru u ur u u ur gu u ur u u ur ， . AP与 AQ所成角的余弦值为
41、 4515. (2)若直线 AA1与平面 APQ所成的角为 45，求实数的值 . 解析： (2)1 ()00 )2(0 2 2A A A Q u u ur u u ur， ， ， ， ，.求出平面 APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可 . 答案： (2)由题意可知，1 ()00 )2(0 2 2A A A Q u u ur u u ur， ， ， ， ，. 设平面 APQ的法向量为 nr =(x， y， z)， 0 2 2 02 2 00n A P x y zxzn A Q r u uurgr u u urg则 ， 即 令 z=-2，则 x=2， y=2- . nr =(2， 2-，
42、-2). 直线 AA1与平面 APQ所成角为 45， 11 22214c o s2 2 222( ) ) 2(n A An A An A A r u u urgr u u urr u u ur ， ， 可得 5 2-4 =0，又因为 0，所以 =45. 26.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 x2=2py(p 0)上的点 M(m， 1)到焦点 F 的距离为2. (1)求抛物线的方程 . 解析： (1)求出抛物线 x2=2py(p 0)的准线方程为2py，由抛物线定义，得到 p=2，即可求解抛物线的方程 . 答案： (1)抛物线 x2=2py(p 0)的准线方程为2py， 因为 M(m， 1)，由抛物线定义，知 MF=1+2p， 所以 1+2p=2，即 p=2， 所以抛物线的方程为 x2=4y. (2)如图，点 E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点 E 处的切线与 x 轴相交于点 P，直线PF与抛物线相交于 A， B两点，求 EAB面积的最
