1、2017年浙江省绍兴市高考一模试卷数学 一、选择题 (本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知集合 A=x R|x| 2， B=x R|x+1 0，则 A B=( ) A.(-2， 1 B.-1， 2) C.-1， + ) D.(-2， + ) 解析：由题意知， A=x R|x| 2=x|-2 x 2=(-2， 2)， B=x R|x+1 0=x|x -1=-1， + )，则 A B=-1， 2). 答案： B 2.已知 i是虚数单位，复数 z= 12 i，则 z z =( ) A.25 B.5 C.125D.15解析
2、： 1 2 22 2 2 5 5iiz i i i ， 2222 2 1 15 5 5z z z . 答案： D 3.已知 a， b为实数，则“ a=0”是“ f(x)=x2+a|x|+b为偶函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： a=0时， f(x)=x2+b为偶函数，是充分条件， 由 f(-x)=(-x)2+a|-x|+b=f(x)，得 f(x)是偶函数， 故 a=0”是“ f(x)=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件 . 答案： A 4.已知 a 0，且 a 1，若 ab 1，则 ( ) A.ab b B.
3、ab b C.a b D.a b 解析：当 a (0， 1)时，若 ab 1，则 b 0，则 a b不成立， 当 a (1， + )时，若 ab 1，则 b 0，则 ab b不成立， a b不一定成立 . 答案： A 5.已知 p 0， q 0，随机变量的分布列如下： 若 E( )=49.则 p2+q2=( ) A.49 B.12 C.59 D.1 解析： p 0， q 0， E( )=49. 由随机变量的分布列的性质得： 1 49qppq qp ， p2+q2=(q+p)2-2pq=1-4599. 答案： C 6.已知实数 x， y满足不等式组 302 4 00xyxyya ，若 z=y-2
4、x的最大值为 7，则实数 a=( ) A.-1 B.1 C.103D.112解析：作出不等式组 302 4 00xyxyya ，表示的平面区域，如图所示： 令 z=y-2x，则 z表示直线 z=y-2x 在 y轴上的截距，截距越大， z越大， 结合图象可知，当 z=y-2x经过点 A时 z最大， 由 2730yxxy ， 可知 A(-4， -1)， A(-4， -1)在直线 y+a=0上，可得 a=1. 答案： B 7.已知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 M(p， 0)的直线交抛物线于 A， B 两点，若2AM MB ，则 AFBF=( ) A.2 B.52C.2 D.与 p
5、有关 解析：设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2-2pmy-2p2=0 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1+y2=2pm， y1y2=-2p2， 2AM MB ， (p-x1， -y1)=2(x2-p， y2)， x1=-2x2+p， y1=-2y2， 可得 y2=p， y1=-2p， x2=12p， x1=2p， 212115222ppA F B Fpp. 答案： B 8.向量 a ， b 满足 |a |=4， 0b a b ，若 |ab 的最小值为 2( R)，则 ab =( ) A.0 B.4 C.8 D.16 解析：向量 a ， b 满足 |a
6、 |=4， 0b a b ，即 2a b b . 若 22222 1 6 2|a b a a b b a b a b 2( R)， 化为： 21 6 2 4a b a b 0对于 R恒成立， = 246( ) (44)a b a b 0，化为 (ab -8)2 0， ab =8. 答案： C 9.记 minx， y= y x yx x y， ， ，设 f(x)=minx2， x3，则 ( ) A.存在 t 0， |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t) B.存在 t 0， |f(t)-f(-t)| f(t)-f(-t) C.存在 t 0， |f(1+t)+f(1-t)| f(1+t)+f
7、(1-t) D.存在 t 0， |f(1+t)-f(1-t)| f(1+t)-f(1-t) 解析： x2-x3=x2(1-x)， 当 x 1时， x2-x3 0，当 x 1时， x2-x3 0， f(x)= 2311xxxx， ， 若 t 1，则 |f(t)+f(-t)|=|t2+(-t)3|=|t2-t3|=t3-t2， |f(t)-f(-t)|=|t2+t3|=t2+t3， f(t)-f(-t)=t2-(-t)3=t2+t3， 若 0 t 1， |f(t)+f(-t)|=|t3+(-t)3|=0， |f(t)-f(-t)|=|t3+t3|=2t3， f(t)-f(-t)=t3-(-t)3=
8、2t3， 当 t=1时， |f(t)+f(-t)|=|1+(-1)|=0， |f(t)-f(-t)|=|1-(-1)|=2， f(t)-f(-t)=1-(-1)=2， 当 t 0时， |f(t)+f(-t)| f(t)-f(-t)， |f(t)-f(-t)|=f(t)-f(-t)， 故 A错误， B错误； 当 t 0时，令 g(t)=f(1+t)+f(1-t)=(1+t)2+(1-t)3=-t3+4t2-t+2， 则 g (t)=-3t2+8t-1，令 g (t)=0得 -3t2+8t-1=0， =64-12=52， g(t)有两个极值点 t1， t2， g(t)在 (t2， + )上为减函数
9、， 存在 t0 t2，使得 g(t0) 0， |g(t0)| g(t0)， 故 C正确； 令 h(t)=(1+t)-f(1-t)=(1+t)2-(1-t)3=t3-2t2+5t， 则 h (t)=3t2-4t+5=3 22 1133t 0， h(t)在 (0， + )上为增函数， h(t) h(0)=0， |h(t)|=h(t)，即 |f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t)， 故 D错误 . 答案： C 10.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P出发，依次经三个侧面 BCC1B1， DCC1D1， ADD1A1反射后，落到侧面
10、ABB1A1(不包括边界 )，则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是 ( ) A.(34， 54) B.(2 1717， 4) C.2 1717D.(33 510， 54) 解析：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1的入射点离点 B 距离越近，入射光线 PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值越大， 如图所示，此时 tan PHB=32， 结合选项，可得入射光线 PQ与侧面 BCC1B1所成角的正切值的范围是 ( 55， 32). 答案： C 二、填空题 (本大题共 7小题，共 36分 ) 11.双曲线 224 12xy=1 的焦点坐标为 ，离心率为 . 解析：双
11、曲线 224 12xy=1， c2=a2+b2=4+12=16， c=4， 双曲线 224 12xy=1的焦点坐标为 (-4， 0)， (4， 0)， 离心率 e= 42ca=2， 答案： (-4， 0)， (4， 0)， 2 12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 . 解析：如图所示，该几何体为三棱锥， P-ABC，其中 PA底面 ABC， AC BC， PA=2， AC=1，BC=2. 该几何体的表面积 S= 1 1 1 12 1 1 2 5 2 5 2 2 2 52 2 2 2 ， 体积 V= 1 1 22 1 23 2 3 . 答案： 2 2 5 ， 231
12、3.已知等差数列 an，等比数列 bn的前 n项和为 Sn， Tn(n N*)，若 Sn= 23122nn， b1=a1，b2=a3，则 an= ， Tn= . 解析： a1=2=b1， n 2时， an=Sn-Sn-1= 223 1 3 1112 2 2 2n n n n =3n-1. n=1时也成立， an=3n-1.b2=a3=8，公比 q=82=4. Tn= 2 4 1 2 414 1 3nn . 答案： 3n-1， 23(4n-1) 14.在 ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 A=4， b= 6 ， ABC的面积为 332，则 c= ， B= .
13、解析： A=4， b= 6 ， ABC的面积为 3 3 1 1 2s i n 62 2 2 2b c A c ， 解得： c=1+ 3 ， 由余弦定理可得： a= 22 2 c o sb c b c A =2，可得： cosB= 2 2 2 122a c bac ， B (0， )， B=3. 答案： 1+ 3 ，315.将 3个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为 .(用具体的数字作答 ) 解析：根据题意，分 2 种情况讨论： 、 3个男同学均不相邻， 将三名女同学全排列，有 A33=6种排法，排好后有 4个空位， 在 4个空位中，任选 3 个
14、，安排 3个男同学，有 A43=24种安排方法， 此时共有 6 24=144种不同的排法； 、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑 2人的顺序，有 A22=2 种情况， 将三名女同学全排列，有 A33=6种排法，排好后有 4个空位， 在 4个空位中，任选 2 个，安排甲和这 2个男同学，有 A42=12种安排方法， 此时共有 2 6 12=144种不同的排法；则共有 144+144=288 种不同的排法 . 答案： 288 16.已知正实数 x， y满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 . 解析：正实数 x， y 满足 xy+2x+3y=42， y=4
15、2 23 xx 0， x 0，解得 0 x 21. 则 xy+5x+4y=3x+y+42=3x+42 23 xx+42=3(x+3)+ 163 x+31 3 16233x x +31=55，当且仅当 x=1， y=10时取等号 . xy+5x+4y的最小值为 55. 答案： 55 17.已知 a， b R且 0 a+b 1，函数 f(x)=x2+ax+b 在 -12， 0上至少存在一个零点，则 a-2b的取值范围为 . 解析：由题意，要使函数 f(x)=x2+ax+b在区间 -12， 0有零点， 只要 f(-12) f(0) 0，或 20 1 01 1 102 4 2102240fbf a b
16、aab ， ， ，其对应的平面区域如下图所示： 则当 a=1， b=-1时， a-2b取最大值 3， 当 a=0， b=0时， a-2b 取最小值 0， 所以 a-2b的取值范围为 0， 3. 答案： 0， 3 三、解答题 (本大题共 5小题，共 74分 ) 18.已知函数 f(x)=2sin2x+cos(2x-3). ( )求 f(x)的最小正周期； ( )求 f(x)在 (0，2)上的单调递增区间 . 解析： ( )利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为 y=Asin( x+ )的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期， ( )最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函
17、数的单调递增区间 . 答案： ( )函数 f(x)=2sin2x+cos(2x-3). 化简可得： f(x)=1-cos2x+12cos2x+ 32sin2x=1+sin(2x-6) 函数的最小正周期 T=22= . ( )由 2 2 22 6 2k x k ， k Z，得 k -63x+k . f(x)在 (0，2)上的单调递增区间为 (0，3. 19.如图，已知三棱锥 P-ABC， PA平面 ABC， ACB=90， BAC=60， PA=AC， M为 PB的中点 . ( )求证： PC BC. ( )求二面角 M-AC-B 的大小 . 解析： ( )通过证明 PA BC， BC AC.得
18、到 BC面 PAC即可 ( )取 AB 中点 O，连结 MO、过 O 作 HO AC 于 H，连结 MH，因为 M 是 PB 的中点， MHO 为二面角 M-AC-B的平面角 .在 Rt MHO中，球 tan MHO即可 . 答案： ( )证明：由 PA平面 ABC， PA BC， 又因为 ACB=90，即 BC AC. BC面 PAC， PC BC. ( )取 AB中点 O，连结 MO、过 O作 HO AC于 H，连结 MH，因为 M是 PB 的中点，所以 MOPA， 又因为 PA面 ABC， MO面 ABC. MHO为二面角 M-AC-B的平面角 . 设 AC=2，则 BC=2 3 ， M
19、O=1， OH= 3 ， 在 Rt MHO中， tan MHO= 33MOHO. 二面角 M-AC-B的大小为 300. 20.已知函数 f(x)=13x3-ax2+3x+b(a， b R). ( )当 a=2， b=0时，求 f(x)在 0， 3上的值域 . ( )对任意的 b，函数 g(x)=|f(x)|-23的零点不超过 4个，求 a的取值范围 . 解析： ( )当 a=2， b=0时，求得 f(x)，求导，利用导数求得 f(x)单调区间，根据函数的单调性即可求得 0， 3上的值域； ( )由 f (x)=x2-2ax+3，则 =4a2-12，根据的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，
20、即可求得 a的取值范围 . 答案： ( )当 a=2， b=0时， f(x)=13x3-2x2+3x，求导， f (x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)， 当 x (0， 1)时， f (x) 0，故函数 f(x)在 (0， 1)上单调递增， 当 x (1， 3)时， f (x) 0，故函数 f(x)在 (1， 3)上单调递减， 由 f(0)=f(0)=0， f(1)=43， f(x)在 0， 3上的值域为 0， 43； ( )由 f (x)=x2-2ax+3，则 =4a2-12， 当 0，即 a2 3时， f (x) 0， f(x)在 R上单调递增，满足题意， 当 0，即 a2 3时，
21、方程 f (x)=0有两根，设两根为 x1， x2，且 x1 x2， 则 x1+x2=2a， x1x2=3， 则 f(x)在 (-， x1)， (x2， + )上单调递增， 在 (x1， x2)上单调递减， 由题意可知 |f(x1)-f(x2)| 43， | 33123xx-a(x12-x22)+3(x1-x2)| 43， 化简得： 32244333a ，解得： 3 a2 4， 综合，可得 a2 4，解得： -2 a 2.a的取值范围 -2.2. 21.已知点 A(-2， 0)， B(0， 1)在椭圆 C： 22xyab=1(a b 0)上 . ( )求椭圆 C的方程； ( )P是线段 AB上
22、的点，直线 y=12x+m(m 0)交椭圆 C于 M、 N两点，若 MNP是斜边长为 10的直角三角形，求直线 MN的方程 . 解析： ( )由直线可知：椭圆的焦点在 x 轴上，又过点 A， B，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； ( )将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得 |MN|，分类，当 MN 为斜边时，21 0 5 1 0m，即可求得 m=0，满足题意，当 MN 为直角边时，两平行线 AB 与 MN 的距离 d=255|m-1|，利用勾股定理即可求得 m的值，求得直线方程 . 答案： ( )由题意可知：椭圆 C： 22xyab=1(a b 0)焦点在 x轴上，由点
23、A(-2， 0)， B(0，1)，则 a=2， b=1， 椭圆的标准方程： 2 24x y=1； ( )设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则221214y x mx y ，消去 y，整理得 12x2+mx-1=0， 则 =2-m2 0， x1+x2=-2m， x1x2=2m2-2， 则 |MN|= 2125 1 0 52 x x m ， 当 MN 为斜边时， 21 0 5 1 0m，解得： m=0， 满足 0， 此时直线 MN 为直径的圆方程为 x2+y2=52， 点 A(-2， 0)B(0， 1)分别在圆外和圆内，即在线段 AB上存在点 P. 此时直线 MN 的方程诶 y=12x
24、，满足题意， 当 MN 为直角边时，两平行线 AB 与 MN的距离 d= 52|m-1|， d2+|MN|2=45|m-1|2+(10-5m2)=10， 即 21m2+8m-4=0，解得： m=27， m=-23(舍 )， 由 0，则 m=27， 过点 A作直线 MN： y=1227x的垂线，可得满足坐标为 (-127， -47)，垂足在椭圆外， 即在线段 AB 上存在点 P， 直线 MN的方程为 y=1227x，符合题意， 综上可知：直线 MN的方程为： y= 12x或 y=1227x. 22.已知数列 an满足 an 0， a1=2，且 (n+1)an+12=nan2+an(n N*).
25、( )证明： an 1； ( )证明： 222 32294 9 5naaa n (n 2). 解析： ( )根据数列的递推关系可得 (n+1)(an+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1)，再根据 an 0，可得 an+1-1与 an-1同号，问题得以证明， ( ) 先 判 断 出 1 an 2 ， 再 得 到 an2 22nn， n 2 ， 利 用 放 缩 法 得 到221 1 1 2 121 1 1nan n n n n n ，再分别取 n=2， 3，以及 n 4即可证明 . 答案： ( )由题意得 (n+1)an+12-(n+1)=nan2-n+an-1， (n+1)(
26、an+1+1)(an+1-1)=(an-1)(nan+n+1)， 由 an 0， n N*， (n+1)(an+1+1) 0， nan+n+1 0， an+1-1与 an-1同号， a1-1=1 0， an 1； ( )由 ( )知，故 (n+1)an+12=nan2+an (n+1)an2， an+1 an， 1 an 2， 又由题意可得 an=(n+1)an+12-nan2， a1=2a22-a12， a2=3a32-2a22， an=(n+1)an+12-nan2， 相加可得 a1+a2+ +an=(n+1)an+12-4 2n， an+12 241nn，即 an2 22nn， n 2， 22 2 31 1 1 1 1 2 1221 1 1nan n n n n n n n ， n 2， 当 n=2时， 22239 2 4 5a ， 当 n=3时， 22 32233 2 2 3 1 94 9 4 3 3 4 3 5aa ， 当 n 4 时，222 3221 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 92 1 4 14 9 9 1 6 4 4 2 7 3 4 9 8 4 2 7 1 2 5naaan ， 从而，原命题得证 .
