1、2017年浙江省衢州市中考真题数学 一、选择题 (共 10小题，每小题 3分，满分 30 分 ) 1.-2的倒数是 ( ) A.-12B.12C.-2 D.2 解析： -2的倒数是 -12. 答案： A 2.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是 D. 答案： D. 3.下列计算正确的是 ( ) A.2a+b=2ab B.(-a)2=a2 C.a6 a2=a3 D.a3 a2=a6 解析： (A)2a 与 b不是同类项，故不能合并，故 A不正确； (C)原式 =a4，故 C不正确； (D)
2、原式 =a5，故 D不正确； 答案： B 4.据调查，某班 20 为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是( ) A.35码， 35 码 B.35码， 36 码 C.36码， 35 码 D.36码， 36 码 解析：数据 36 出现了 10次，次数最多，所以众数为 36，一共有 20个数据，位置处于中间的数是： 36， 36，所以中位数是 (36+36) 2=36. 答案： D 5.如图，直线 AB CD， A=70， C=40，则 E等于 ( ) A.30 B.40 C.60 D.70 解析：如图， AB CD， A=70， 1= A=70， 1= C+ E， C=40
3、， E= 1- E=70 -40 =30 . 答案： A 6.二元一次方程组 632xyxy ， 的解是 ( ) A. 51xyB. 42xyC. 51xyD. 42xy解析： -得到 y=2，把 y=2代入得到 x=4， 4,2.xy答案： B 7.下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是( ) A. B. C. D. 解析：作一个角等于已知角的方法正确； 作一个角的平分线的作法正确； 作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误； 过直线外一点 P作已知直线的垂线的作法正确 .
4、 答案： C 8.如图，在直角坐标系中，点 A 在函数 y=4x(x 0)的图象上， AB x 轴于点 B， AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与函数 y=4x(x 0)的图象交于点 D，连结 AC， CB， BD， DA，则四边形 ACBD的面积等于 ( ) A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 解析：设 A(a， 4a)，可求出 D(2a， 2a)， AB CD， 1 1 42422A C B DS A B C D a a 四 形边. 答案： C 9.如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4， BC=6，将 ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， CE 交AD于点 F，
5、则 DF 的长等于 ( ) A.35B.53C.73D.54解析：矩形 ABCD沿对角线 AC对折，使 ABC落在 ACE的位置， AE=AB， E= B=90， 又四边形 ABCD为矩形， AB=CD， AE=DC，而 AFE= DFC， 在 AEF与 CDF中， A F E C F DEDA E C D ， AEF CDF(AAS)， EF=DF； 四边形 ABCD为矩形， AD=BC=6， CD=AB=4， Rt AEF Rt CDF， FC=FA， 设 FA=x，则 FC=x， FD=6-x， 在 Rt CDF中， CF2=CD2+DF2，即 x2=42+(6-x)2，解得 x=133
6、， 则 FD=6-x=53. 答案： B 10.运用图形变化的方法研究下列问题：如图， AB 是 O的直径， CD、 EF是 O的弦，且 AB CD EF， AB=10， CD=6， EF=8.则图中阴影部分的面积是 ( ) A.252 B.10 C.24+4 D.24+5 解析：作直径 CG，连接 OD、 OE、 OF、 DG. CG是圆的直径， CDG=90，则 2 2 2 21 0 6 8D G C G C D ， 又 EF=8， DG=EF， DG EF ， S 扇形 ODG=S 扇形 OEF， AB CD EF， S OCD=S ACD， S OEF=S AEF， S 阴影 =S 扇
7、形 OCD+S 扇形 OEF=S 扇形 OCD+S 扇形 ODG=S 半圆 = 21 2 5522. 答案： A 二、填空题 (本题共有 6小题，每小题 4分，共 24分 ) 11.二次根式 2a 中字母 a的取值范围是 . 解析：根据题意得： a-2 0，解得： a 2. 答案： a 2 12.化简： 2111xx= . 解析：原式 = 211xxx=1. 答案： 1 13.在一个箱子里放有 1 个白球和 2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是 . 解析：一个不透明的箱子里有 1个白球， 2个红球，共有 3个球， 从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是 2
8、3. 答案： 2314.如图，从边长为 (a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为 3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形 (不重叠无缝隙 )，则拼成的长方形的另一边长是 . 解析：拼成的长方形的面积 =(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6)， 拼成的长方形一边长为 a，另一边长是 a+6. 答案： a+6 15.如图，在直角坐标系中， A的圆心 A的坐标为 (-1， 0)，半径为 1，点 P为直线 y=-34x+3上的动点，过点 P作 A的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 . 解析：如图，作 AP直线 y=-34x+3，垂足为 P，作 A 的切
9、线 PQ，切点为 Q，此时切线长PQ最小， A的坐标为 (-1， 0)， y=-34x+3可化为 3x+4y-12=0， AP= 223 1 4 0 1 24|3 =3， PQ= 223 1 2 2 . 答案： 2 2 16.如图，正 ABO的边长为 2， O为坐标原点， A在 x轴上， B在第二象限， ABO沿 x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到 A1B1O，则翻滚 3 次后点 B 的对应点的坐标是 ，翻滚 2017次后 AB 中点 M经过的路径长为 . 解析：如图作 B3E x轴于 E，易知 OE=5， B3E= 3 ， B3(5， 3 )， 观察图象可知 3三次一个循环，一个循环
10、点 M的运动路径为 1 2 0 3 1 2 0 1 1 2 0 1 2 3 41 8 0 1 8 0 1 8 0 3 ， 2017 3=672 1， 翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经 过 的 路 径 长 为2 3 4 2 3 1 3 4 6 36 7 2 8 9 63 3 3 . 答案： 1 3 4 6 3 8963 三、解答题 (本题共有 8小题，第 17-19小题每小题 6分，第 20-21小题每小题 6分，第 22-23小题每小题 6分，第 24小题 12分，共 66分，请务必写出解答过程 ) 17.计算： 12 +( -1)0 |-2|-tan60 . 解析：按照实数的运算法则
11、依次计算，注意： tan60 = 3 ， ( -1)0=1. 答案：原式 = 2 3 1 2 3 2 3 . 18. 解下列一元一次不等式组： 12 232xxx， 解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 . 答案：解不等式 12x 2，得： x 4， 解不等式 3x+2 x，得： x -1， 则不等式组的解集为 -1 x 4. 19.如图， AB 为半圆 O 的直径， C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆 O 于点 D，连接 OD.作 BE CD于点 E，交半圆 O 于点 F.已知 CE=12， BE=9. (1
12、)求证： COD CBE. (2)求半圆 O的半径 r 的长 . 解析： (1)由切线的性质和垂直的定义得出 E=90 = CDO，再由 C= C，得出 CODCBE. (2)由勾股定理求出 BC= 22CE BE =15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案 . 答案： (1) CD切半圆 O于点 D， CD OD， CDO=90， BE CD， E=90 = CDO， 又 C= C， COD CBE. (2)在 Rt BEC中， CE=12， BE=9， BC= 22CE BE =15， COD CBE. OD OCBE BC，即 159 15rr， 解得： 458r. 20.根据衢
13、州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近 5 年国民生产总值数据如图 1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图 2所示 . 请根据图中信息，解答下列问题： (1)求 2016年第一产业生产总值 (精确到 1亿元 ) (2)2016年比 2015年的国民生产总值增加了百分之几？ (精确到 1%) (3)若要使 2018年的国民生产总值达到 1573亿元，求 2016年至 2018年我市国民生产总值的平均增长率 (精确到 1%) 解析： (1)2016年第一产业生产总值 =2016年国民生产总值 2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解； (2)先求出
14、 2016年比 2015年的国民生产总值增加了多少，再除以 2015年的国民生产总值即可求解； (3)设 2016年至 2018 年我市国民生产总值的平均增长率为 x，那么 2017年我市国民生产总值为 1300(1+x)亿元， 2018年我市国民生产总值为 1300(1+x)(1+x)亿元，然后根据 2018年的国民生产总值要达到 1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率 . 答案： (1)1300 7.1% 92(亿元 ). 答： 2016年第一产业生产总值大约是 92亿元； (2)(1300-1204) 1204 100% =961204100% 8%. 答： 2016年比
15、 2015年的国民生产总值大约增加了 8%； (3)设 2016年至 2018 年我市国民生产总值的年平均增长率为 x， 依题意得 1300(1+x)2=1573， 1+x= 1.1， x=10%或 x=-2.1(不符合题意，故舍去 ). 答： 2016年至 2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为 10%. 21.“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游 . 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为 x小时，租用甲公司的车所需费用为 y1元，租用乙公司的车所需费用为 y2元，分别求出 y1， y2 关于 x的函数表达式； (2)请你帮助小明计算
16、并选择哪个出游方案合算 . 解析： (1)根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得 y1， y2关于 x 的函数表达式即可； (2)当 y1=y2时， 15x+80=30x，当 y1 y2时， 15x+80 30x，当 y1 y2时， 15x+80 30x，分求得 x的取值范围即可得出方案 . 答案： (1)设 y1=k1x+80， 把点 (1， 95)代入，可得 95=k1+80，解得 k1=15， y1=15x+80(x 0)； 设 y2=k2x，把 (1， 30)代入，可得 30=k2，即 k2=30， y2=30x(x 0)； (2)当 y1=y2时， 15x+80=30x，解得
17、 x=163； 当 y1 y2时， 15x+80 30x，解得 x 163； 当 y1 y2时， 15x+80 30x，解得 x 163； 当租车时间为 163小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于 163小时，选择乙公司合算；当租车时间大于 163小时，选择甲公司合算 . 22.定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)与 x 轴交于 A， B 两点，点 P 在该抛物线上 (P点与 A、 B两点不重合 )，如果 ABP的三边满足 AP2+BP2=AB2，则称点 P为抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的勾股点 . (1)直接写出抛物线 y=-x2+1 的勾股点的坐标 . (
18、2)如图 2，已知抛物线 C： y=ax2+bx(a 0)与 x轴交于 A， B两点，点 P(1， 3 )是抛物线 C的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式 . (3)在 (2)的条件下，点 Q在抛物线 C上，求满足条件 S ABQ=S ABP的 Q点 (异于点 P)的坐标 . 解析： (1)根据抛物线勾股点的定义即可得； (2)作 PG x轴，由点 P坐标求得 AG=1、 PG= 3 、 PA=2，由 tan PAB= 3PGAG知 PAG=60，从而求得 AB=4，即 B(4， 0)，待定系数法求解可得； (3)由 S ABQ=S ABP且两三角形同底，可知点 Q到 x轴的距离为 3 ，据此
19、求解可得 . 答案： (1)抛物线 y=-x2+1的勾股点的坐标为 (0， 1)； (2)抛物线 y=ax2+bx过原点，即点 A(0， 0)，如图，作 PG x轴于点 G， 点 P的坐标为 (1， 3 )， AG=1、 PG= 3 ， 22 2 21 3 2P A A G P G ， tan PAB= 3PGAG， PAG=60， 在 Rt PAB中， AB= 241c o s2PAPAB ，点 B 坐标为 (4， 0)， 设 y=ax(x-4)，将点 P(1， 3 )代入得： a=- 33， 23 3 4 343 3 3y x x x x （ ）； (3)当点 Q在 x轴上方时，由 S A
20、BQ=S ABP知点 Q的纵坐标为 3， 则有 23 4 3 333xx ， 解得： x1=3， x2=1(不符合题意，舍去 )，点 Q的坐标为 (3， 3 )； 当点 Q在 x轴下方时，由 S ABQ=S ABP知点 Q的纵坐标为 - 3 ， 则有 23 4 3 333xx ，解得： x1=2+ 7 ， x2=2- 7 ， 点 Q的坐标为 (2+ 7 ， - 3 )或 (2- 7 ， - 3 )； 综上，满足条件的点 Q有 3个： (3， 3 )或 (2+ 7 ， - 3 )或 (2- 7 ， - 3 ). 23.问题背景 如图 1，在正方形 ABCD的内部，作 DAE= ABF= BCG=
21、 CDH，根据三角形全等的条件，易得 DAE ABF BCG CDH，从而得到四边形 EFGH是正方形 . 类比探究 如图 2，在正 ABC 的内部，作 BAD= CBE= ACF， AD， BE， CF 两两相交于 D， E， F 三点(D， E， F三点不重合 ) (1) ABD， BCE， CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明 . (2) DEF是否为正三角形？请说明理由 . (3)进一步探究发现， ABD的三边存在一定的等量关系，设 BD=a， AD=b， AB=c，请探索 a，b， c满足的等量关系 . 解析： (1)由正三角形的性质得出 CAB= ABC= BCA=60，
22、 AB=BC，证出 ABD= BCE，由ASA证明 ABD BCE 即可； (2)由全等三角形的性质得出 ADB= BEC= CFA，证出 FDE= DEF= EFD，即可得出结论； (3)作 AG BD于 G，由正三角形的性质得出 ADG=60，在 Rt ADG中， DG=12b， AG= 32b，在 Rt ABG中，由勾股定理即可得出结论 . 答案： (1) ABD BCE CAF；理由如下： ABC是正三角形， CAB= ABC= BCA=60， AB=BC， ABD= ABC- 2， BCE= ACB- 3， 2= 3， ABD= BCE， 在 ABD和 BCE中， 12A B B C
23、A B D B C E ， ABD BCE(ASA)； (2) DEF是正三角形；理由如下： ABD BCE CAF， ADB= BEC= CFA， FDE= DEF= EFD， DEF是正三角形； (3)作 AG BD于 G，如图所示： DEF是正三角形， ADG=60， 在 Rt ADG中， DG=12b， AG= 32， 在 Rt ABG中， c2=(a+12b)2+( 32b)2， c2=a2+ab+b2. 24.在直角坐标系中，过原点 O及点 A(8， 0)， C(0， 6)作矩形 OABC、连结 OB，点 D为 OB的中点，点 E是线段 AB上的动点，连结 DE，作 DF DE，交
24、 OA于点 F，连结 EF.已知点 E从 A点出发，以每秒 1个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t秒 . (1)如图 1，当 t=3时，求 DF的长 . (2)如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中， DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tan DEF的值 . (3)连结 AD，当 AD将 DEF 分成的两部分的面积之比为 1： 2时，求相应的 t的值 . 解析： (1)当 t=3时，点 E为 AB的中点，由三角形中位线定理得出 DE OA， DE=12OA=4，再由矩形的性质证出 DE AB，得出 OAB= DEA=90，证出四边形
25、 DFAE是矩形，得出 DF=AE=3即可； (2)作 DM OA 于 M， DN AB 于 N，证明四边形 DMAN 是矩形，得出 MDN=90， DM AB， DN OA，由平行线得出比例式 BD BNDO NA， DO OMBD MA，由三角形中位线 定理得出 DM=12AB=3，DN=12OA=4，证明 DMF DNE，得出 34D F D MD E D N，再由三角函数定义即可得出答案； (3)作作 DM OA 于 M， DN AB 于 N，若 AD 将 DEF 的面积分成 1： 2 的两部分，设 AD 交 EF于点 G，则点 G为 EF 的三等分点； 当点 E 到达中点之前时， N
26、E=3-t，由 DMF DNE 得： MF=34(3-t)，求出 AF=4+MF=3 2544t，得出 G(3 71 212 3t t ， )，求出直线 AD的解析式为 y=-34 x+6，把 G(3 71 212 3t t ， )代入即可求出 t的值； 当点 E越过中点之后， NE=t-3，由 DMF DNE得： MF=34(t-3)，求出 AF=4-MF= 3 2544t，得出 G( 3 23 163t t ，)，代入直线 AD的解析式 y=-34x+6求出 t的值即可 . 答案： (1)当 t=3时，点 E为 AB的中点， A(8， 0)， C(0， 6)， OA=8， OC=6， 点
27、D为 OB 的中点， DE OA， DE=12OA=4， 四边形 OABC是矩形， OA AB， DE AB， OAB= DEA=90， 又 DF DE， EDF=90，四边形 DFAE是矩形， DF=AE=3； (2) DEF的大小不变；理由如下：作 DM OA于 M， DN AB 于 N，如图所示： 四边形 OABC是矩形， OA AB， 四边形 DMAN是矩形， MDN=90， DM AB， DN OA， BD BNDO NA， DO OMBD MA， 点 D为 OB 的中点， M、 N分别是 OA、 AB的中点， DM=12AB=3， DN=12OA=4， EDF=90， FDM= E
28、DN， 又 DMF= DNE=90， DMF DNE， 34D F D MD E D N， EDF=90， tan DEF= 34DFDE； (3)作 DM OA于 M， DN AB 于 N， 若 AD将 DEF的面积分成 1： 2的两部分， 设 AD交 EF于点 G，则点 G为 EF 的三等分点； 当点 E到达中点之前时，如图所示， NE=3-t， 由 DMF DNE得： MF=34(3-t)， AF=4+MF= 3 2544t， 点 G为 EF 的三等分点， G(3 71 212 3t t ，)， 设直线 AD的解析式为 y=kx+b， 把 A(8， 0)， D(4， 3)代入得： 8043kbkb，解得： 346kb ，直线 AD的解析式为 y=-34x+6， 把 G( 3 71 212 3t t ，)代入得： t=7541； 当点 E越过中点之后，如图所示， NE=t-3， 由 DMF DNE得： MF=34(t-3)， AF=4-MF= 3 2544t， 点 G为 EF 的三等分点， G(3 23 163t t ，)，代入直线 AD的解析式 y=-34x+6 得： t=7517； 综上所述，当 AD 将 DEF分成的两部分的面积之比为 1： 2时， t的值为 7541或 7517.
