1、专升本高等数学(一)-117 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则_ A至少存在一点 (a，b)，使 f“()=0 B当 (a，b)时，必有 f“()=0 C至少存在一点 (a，b)，使得 D当 (a，b)时，必有 （分数：4.00）A.B.C.D.2. _ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 在 x=0处连续，且 ，则 a=_ A2 B-2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列函数在 x=0处不可导的是_ Aarcsinx B3 x C （分数：
2、4.00）A.B.C.D.5.曲线 f(x)=(x+2) 3 的拐点是_（分数：4.00）A.(2，0)B.(-2，0)C.(1，0)D.不存在6. _ A2f(2)-f(0) B2f(1)-f(0) C f(2)-f(0) D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 z=x 2 y+xy 2 ，则 （分数：4.00）A.2xy+y2B.x2+2xyC.4xyD.x2+y28.直线 （分数：4.00）A.直线垂直平面B.直线平行平面但不在平面内C.直线与平面斜交D.直线在平面内9.设 D=(x，y)|-1x1，0y1-x 2 ，记 I 1 = ，I 2 = （分数：4.00）A.I1=I2B
3、.I1I2C.I1I2D.以上都不对10. 等于_ A-1 B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 y=e x +arctanx+ 2 ，则 dy= 1 （分数：4.00）12.设函数 （分数：4.00）13.设 y=f(x)在 x=0处可导，且 x=0为 f(x)的极值点，则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 1 （分数：4.00）14.已知函数 f(x)=-1+e x2 在-1，1上满足罗尔定理的条件，那么由定理所确定的 = 1 （分数：4.00）15.函数 y=x+2cosx在 （分数：4.00）16.设区域 D由
4、y轴，y=x，y=1 所围成，则 （分数：4.00）17.已知 ，则 （分数：4.00）18.设 f(x+y，x-y)=xy+y 2 ，则 f(x，y)= 1 （分数：4.00）19.设 z=2x 2 +3xy-y 2 ，则 （分数：4.00）20.当 a满足 1 时，级数 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_22.求 （分数：8.00）_23.求函数 （分数：8.00）_24.设 计算 （分数：8.00）_25.求多元复合函数 z=2 u +v 2 的一阶偏导数，且 u=x+y，v=xy 2 （分数：8.00）_26.设由 y=x 2 ，
5、x=y 2 围成的薄片的密度函数为 (x，y)=xy，求该薄片的质量 （分数：10.00）_27.求微分方程 y“+3y“+2y=6e x 的通解 （分数：10.00）_28.某厂要生产容积为 V 0 的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省? （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-117 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则_ A至少存在一点 (a，b)，使 f“()=0 B当 (a，b)时，必有 f“()=0 C至少存在一点 (a，b)，使得 D当 (a，b)时，必有
6、 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 C 项为微分中值定理内容2. _ A B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，所以3.设 在 x=0处连续，且 ，则 a=_ A2 B-2 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)在 x=0处连续，所以 ， 解得 4.下列函数在 x=0处不可导的是_ Aarcsinx B3 x C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ，则5.曲线 f(x)=(x+2) 3 的拐点是_（分数：4.00）A.(2，0)B.(-2，0) C.(1，0)D.不存在解析：解析 先寻找凹凸区间分界点f“(x)
7、=3(x+2) 2 ，f“(x)=6(x+2)令 f“(x)=0，得 x=-2，当 x-2时，f“(x)0；当 x-2 时，f“(x)0，所以 x=-2为凹凸区间分界点，那么点(-2，0)为拐点，应选 B6. _ A2f(2)-f(0) B2f(1)-f(0) C f(2)-f(0) D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由7.设 z=x 2 y+xy 2 ，则 （分数：4.00）A.2xy+y2 B.x2+2xyC.4xyD.x2+y2解析：解析 本题考查二元函数求偏导8.直线 （分数：4.00）A.直线垂直平面B.直线平行平面但不在平面内 C.直线与平面斜交D.直线在平面内解
8、析：解析 由题知，已知直线的方向向量 S=2，7，-3，且此直线过点(-3，-4，0)，已知平面的法向量 n=4，-2，-2，故 Sn=24+7(-2)+(-3)(-2)=0，又因点(-3，-4，0)不在已知平面内，所以已知直线平行于已知平面，且直线不在平面内9.设 D=(x，y)|-1x1，0y1-x 2 ，记 I 1 = ，I 2 = （分数：4.00）A.I1=I2 B.I1I2C.I1I2D.以上都不对解析：解析 由二重积分的性质及定积分的几何意义得，10. 等于_ A-1 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 y
9、=e x +arctanx+ 2 ，则 dy= 1 （分数：4.00）解析： 解析 dy=d(e x )+d(arctanx)+d( 2 )= 12.设函数 （分数：4.00）解析：2 解析 由 13.设 y=f(x)在 x=0处可导，且 x=0为 f(x)的极值点，则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 1 （分数：4.00）解析：y=f(0)14.已知函数 f(x)=-1+e x2 在-1，1上满足罗尔定理的条件，那么由定理所确定的 = 1 （分数：4.00）解析：0 解析 f“()=2e 2 =0，解得 =015.函数 y=x+2cosx在 （分数：4.00）解析：解析 由
10、 y“=1-2sinx，得驻点为 ， ，比较得 y的最大值为 16.设区域 D由 y轴，y=x，y=1 所围成，则 （分数：4.00）解析：17.已知 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 由题知 ， 故 18.设 f(x+y，x-y)=xy+y 2 ，则 f(x，y)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 因 f(x+y，x-y)=xy+y 2 =y(x+y)= (x+y)-(x-y)(x+y)， 所以 19.设 z=2x 2 +3xy-y 2 ，则 （分数：4.00）解析：3解析 先求 =4x+3y，于是20.当 a满足 1 时，级数 （分数：4.00）解析：a1三、解答题(总题数：8，分
11、数：70.00)21.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 两边取对数得 两边对 x求导得 故 22.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 23.求函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 函数的定义域为(-，-3)(-3，+) 令 y“=0，得 x=6；不可导点为 x=-3 故拐点为 24.设 计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由题知 所以 25.求多元复合函数 z=2 u +v 2 的一阶偏导数，且 u=x+y，v=xy 2 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 方法一 将中间变量代入，后求偏导数 因 z=2 x+y +(xy 2 ) 2
12、=2 x 2 y +x 2 y 4 所以 方法二 用复合求导法则求偏导数 26.设由 y=x 2 ，x=y 2 围成的薄片的密度函数为 (x，y)=xy，求该薄片的质量 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设平面薄片在 xOy平面占有的区域为 D，于是 D可表示为 故薄片的质量 27.求微分方程 y“+3y“+2y=6e x 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 原方程对应的齐次方程为 y“+3y“+2y=0， 对应的特征方程为 2 +3+2=0， 特征值为 1 =-2， 2 =-1 齐次方程的通解为 Y=C 1 e -2x +C 2 e -x 设特解为 y“=Ae x ，代入原方程有 6A=6，得 A=1 所以原方程的通解为 y=Y+y“=C 1 e -2x +C 2 e -x +e x (C 1 ，C 2 为任意常数)28.某厂要生产容积为 V 0 的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省? （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设圆柱形罐头盒的底圆半径为 r，高为 h，表面积为 S，则 S=2r 2+2rh V0=r 2h 由得 代入得 ，r(0，+) 现在的问题归结为求 r在(0，+)上取何值时，函数 S在其上的值最小 令 S“=0，得 由，当 时，相应的 h为：
