1、专升本高等数学(一)-122 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1._ （分数：4.00）AeB.e-1C.-e-1D.-e2.设函数 f(x)=sinx，则不定积分f“(x)dx=_（分数：4.00）A.sinx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C3.由点 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )确定向量 ，则 =_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 z=ln(x 2 +y)，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 f“(cosx
2、)=sinx，则 f(cosx)=_ A-cosx+C Bcosx+C C (sinxcosx-x)+C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.中心在(-1，2，-2)且与 xOy平面相切的球面方程是_（分数：4.00）A.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4B.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2C.x2+y2+z2=4D.x2+y2+z2=27.设函数 f(x)在区间0，1上可导，且 f“(x)0，则_（分数：4.00）A.f(1)f(0)B.f(1)f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)与 f(0)的值不能比较8.幂级数 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4
3、9.幂级数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.+10.设幂级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 sinx为 f(x)的原函数，则 f“(x)= 1 （分数：4.00）12.函数 （分数：4.00）13.若 f“(e x )=1+e 2x ，且 f(0)=1，则 f(x)= 1 （分数：4.00）14.已知 f(x)的一个原函数为 （分数：4.00）15.已知 f(0)=1，f(1)=2，f“(1)=3，则 （分数：4.00）16.设 a0，则(ax+b) 2002 dx= 1 （分数：4.00）17
4、.曲线 （分数：4.00）18.设 D为圆 x 2 +y 2 =1及 x 2 +y 2 =4围成的环形区域，则 （分数：4.00）19.设区域 D=(x，y)|-1x1，0y2，则 （分数：4.00）20.设二元函数 z=ln(x 2 +y)，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.试证：当 x0 时，有不等式 xsinx （分数：8.00）_22.求极限 （分数：8.00）_23.设 （分数：8.00）_24.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y-2z-1=0， 2 ：x+2y-z+1=0 （分数：8.0
5、0）_25.判断级数 （分数：8.00）_26.薄板在 xOy面上所占区域为 D：0x1，0yx 2 已知薄板在任一点(x，y)处的面密度为(x，y)=x 2 +y 2 ，求薄板的质量 m （分数：10.00）_27.求曲线 y=2-x 2 和直线 y=2x+2所围成图形面积 （分数：10.00）_28.设 （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-122 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1._ （分数：4.00）AeB.e-1 C.-e-1D.-e解析：解析 由于2.设函数 f(x)=sinx，则不定积分f“(x)dx=_（分
6、数：4.00）A.sinx+C B.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C解析：解析 由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项 A正确3.由点 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )确定向量 ，则 =_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )，可知 =x 2 -x 1 ，y 2 -y 1 ，z 2 -z 2 ，则 4.设 z=ln(x 2 +y)，则 =_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 求 时，将 y认定为常量
7、，则5.已知 f“(cosx)=sinx，则 f(cosx)=_ A-cosx+C Bcosx+C C (sinxcosx-x)+C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 已知 f“(cosx)=sinx，在此式两侧对 cosx求积分，得 f“(cosx)d(cosx)=sinxd(cosx) 有 6.中心在(-1，2，-2)且与 xOy平面相切的球面方程是_（分数：4.00）A.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4 B.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2C.x2+y2+z2=4D.x2+y2+z2=2解析：解析 已知球心为(-1，2，-2)，则代入球面标准方程
8、为(x+1) 2 +(y-2) 2 +(z+2) 2 =r 2 又与xOy平面相切，则 r=2故选 A7.设函数 f(x)在区间0，1上可导，且 f“(x)0，则_（分数：4.00）A.f(1)f(0) B.f(1)f(0)C.f(1)=f(0)D.f(1)与 f(0)的值不能比较解析：解析 由 f“(x)0 说明 f(x)在0，1上是增函数，因为 10，所以 f(1)f(0)故选 A8.幂级数 （分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 由于 中 a n =1，因此 a n+1 =1， ，可知收敛半径 9.幂级数 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.+解析：10.设幂级数
9、（分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不能确定解析：二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 sinx为 f(x)的原函数，则 f“(x)= 1 （分数：4.00）解析：-sinx解析 因为 sinx为 f(x)的一个原函数，所以 f(x)=(sinx)“=cosx，f“(x)=-sinx12.函数 （分数：4.00）解析： 解析 由拉格朗日中值定理有 ，解得 2 =2， ，其中 = (舍)，得 13.若 f“(e x )=1+e 2x ，且 f(0)=1，则 f(x)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 因为 f“(e x )=1+e 2x 则等式两边对
10、 e x 积分有 f“(e x )=(1+e 2x )de x ，f(e x )=e x + e 3x +C，得 f(x)=x+ x 3 +C，则 f(0)=C=1 所以 14.已知 f(x)的一个原函数为 （分数：4.00）解析： 解析 因为 f(x)的一个原函数为 ， 所以 ， 所以 15.已知 f(0)=1，f(1)=2，f“(1)=3，则 （分数：4.00）解析：2解析 由题设有16.设 a0，则(ax+b) 2002 dx= 1 （分数：4.00）解析：17.曲线 （分数：4.00）解析：x=-2 解析 由于题目只求铅直渐近线，所给函数表达式为分式，可知 18.设 D为圆 x 2 +
11、y 2 =1及 x 2 +y 2 =4围成的环形区域，则 （分数：4.00）解析：19.设区域 D=(x，y)|-1x1，0y2，则 （分数：4.00）解析：420.设二元函数 z=ln(x 2 +y)，则 （分数：4.00）解析：dy 解析 由于 函数 z=ln(x 2 +y)的定义域为 x 2 +y0在 z的定义域内 为连续函数，因此 dz存在，且 又由于 故 三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.试证：当 x0 时，有不等式 xsinx （分数：8.00）_正确答案：()解析：可将不等式分成两部分来证，即 xsinx，sinx 分别设 f(x)=x-sinx和 g(x)=sin
12、x-x+ ，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出 证明 先证 xsinx(x0) 设 f(x)=x-sinx，则 f“(x)=1-cosx0(x0)， 所以 f(x)为单调递增函数，于是对 x0 有 f(x)f(0)=0， 即 x-sinx0，亦即 xsinx(x0) 再证 令 g(x)=sinx-x+ ， g“(x)=cosx-1+x，则 g“(x)=-sinx+10， 所以 g“(x)单调递增，又 g“(0)=0，可知 g“(x)g“(0)=0(x0)，那么有 g(x)单调递增又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)， 所以 即 综上可得：当 x0 时， 22.求极限 （分
13、数：8.00）_正确答案：()解析：解 此极限是“(-)”，为不定型而已知(a-b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 -b 3 ，所以将原式乘以 后变为“ ”型又根据当 n时，分母的次数高于分子的次序，所以所求极限为零具体解法如下 23.设 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 解本题的关键是要知道函数 y=f(x)的水平渐近线和铅直渐近线的判定方法 即(1)如果 ，则称 x=x 0 是一条铅直渐近线；(2)如果 ，则称 y=C是一条水平渐近线 由 ，可知 y=2为水平渐近线； 由 24.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y-
14、2z-1=0， 2 ：x+2y-z+1=0 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 本题考查直线方程的求解据题意可求出直线的方向向量，进而求出直线的点向式方程 如果直线 l平行于 1 ，则平面 1 的法线向量 n 1 必定垂直于直线 l的方向向量 s同理，直线 l平行于 2 ，则平面 2 的法线向量 n 1 必定满足 n 1 s由向量积的定义可知，取 由于直线 l过点 M 0 (0，2，4)，由直线的标准方程可知 25.判断级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 这是一个正项级数，用正项级数比值判定法判定即可 令 ，由于 故有当 ，即 ae 时，该级数收敛；当 26.薄板在 xOy面上所占区域为 D：0x1，0yx 2 已知薄板在任一点(x，y)处的面密度为(x，y)=x 2 +y 2 ，求薄板的质量 m （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题意可知，所求薄板的质量为 27.求曲线 y=2-x 2 和直线 y=2x+2所围成图形面积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题意可知，曲线 y=2-x 2 和直线 y=2x+2的交点由方程组 确定，解得 x 1 =-2，x 2 =0，如图所示，故平面图形而积 28.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题意可得
