1、专升本高等数学(一)-53 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x0)=1,则 （分数：4.00）A.3B.2C.1D.2.若 ，则下列命题中正确的有( ) （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 Y=e-x，则 Y等于( )（分数：4.00）A.-exB.exC.-e-xD.e-x4.设 Y=x2-2x+a，贝 0点 x=1( )（分数：4.00）A.为 y的极大值点B.为 y的极小值点C.不为 y的极值点D.是否为 y的极值点与 a有关5.二次积分 等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.6.若f(
2、x)dx=F(x)+C，则f(2x)dx 等于( )（分数：4.00）A.2F(2+CB.F(2+CC.F(+CD.F(2+C7.设函数 f(x)在区间(0，1)内可导，f(x)0，则在(0，1)内 f(x)( )（分数：4.00）A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量8.设 y1，y 2为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0的两个特解，则 C1y1+C2y2( )（分数：4.00）A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解9.设函数 z=sin(xy2)，则 （分数：4.00）A.cos(xy2)B.
3、xy2cos(xy2)C.2xyeos(xy2)D.y2cos(xy2)10.当 a0 时，2x 2+3x是 x的( )（分数：4.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小D.低阶无穷小二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 y=sin2x，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=2x+sin2，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_13.函数 y=x3-2x+1在区间1，2上的最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15.设 z=sin(y+x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:
4、_16.微分方程 y“+y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_17.过点 M0(1，-2，0)且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_18.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，则该切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_19.广义积分 （分数：4.00）填空项 1:_20.设区域 D由 y轴，y=x，y=1 所围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22.设 y=y(x)由方程 X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求 y（分数：8.00）_23.设 x2为 f(x)的原函数
5、求 （分数：8.00）_24.求曲线 y= （分数：8.00）_25.求微分方程 （分数：8.00）_26.求由曲线 y=3-x2与 y=2x，y 轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：10.00）_27.求 （分数：10.00）_28.将 f(x)=ln(1+x2)展开为 x的幂级数（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-53 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x0)=1,则 （分数：4.00）A.3B.2 C.1D.解析：本题考查的知识点为导数的定义由题设知 f(x0)
6、=1，又由题设条件知2.若 ，则下列命题中正确的有( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为级数收敛性的定义 由级数收敛性的定义：若 ，当 存在时，则称级数收敛，可知应选 B3.设函数 Y=e-x，则 Y等于( )（分数：4.00）A.-exB.exC.-e-x D.e-x解析：本题考查的知识点为复合函数导数的运算 由复合函数的导数链式法则知 4.设 Y=x2-2x+a，贝 0点 x=1( )（分数：4.00）A.为 y的极大值点B.为 y的极小值点 C.不为 y的极值点D.是否为 y的极值点与 a有关解析：本题考查的知识点为一元函数的极值求解的一般步骤为：先求出函数
7、的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点由于 y=x2-2x+a，可由y=2x-2=0，解得 y有唯一驻点 x=1又由于 y“=2，可得知 y“|x=1=20由极值的充分条件可知 x=1为 y的极小值点，故应选 B如果利用配方法，可得 y=(x-1)2+a-1a-1，且 y|x=1=a-1，由极值的定义可知 x=1为 y的极小值点，因此选 B5.二次积分 等于( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序 由所给二次积分限可知积分区域 D的不等式表达式为： 0x1， 0y1-x， 其图形如图 1-1所示
8、交换积分次序，D 可以表示为 0y1， 0x1-y， 因此 6.若f(x)dx=F(x)+C，则f(2x)dx 等于( )（分数：4.00）A.2F(2+CB.F(2+CC.F(+CD.F(2+C 解析：本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法) 由题设知f(x)dx=F(x)+C，因此 7.设函数 f(x)在区间(0，1)内可导，f(x)0，则在(0，1)内 f(x)( )（分数：4.00）A.单调增加 B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量解析：本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性 由于 f(x)在(0，1)内有 f(x)0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，
9、故应选 A8.设 y1，y 2为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0的两个特解，则 C1y1+C2y2( )（分数：4.00）A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解 C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解解析：本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构已知 y1，y 2为二阶线性常系数齐次微分方程 y“+p1y+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知 C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除 D又由解的结构定理可知，当 y1，y 2线性无关时，C 1y1+C2y2为 y“+p1y+p2y=0的通解，因此应该选 B本题中常见的错误是选 C这是由于忽略
10、了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误解的结构定理中指出：“若 y1，y 2为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中 C1，C 2为任意常数”由于所给命题中没有指出)y 1，y 2为线性无关的特解，可知 C1y1+C2y2不一定为方程的通解但是由解的结构定理知 C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B9.设函数 z=sin(xy2)，则 （分数：4.00）A.cos(xy2)B.xy2cos(xy2)C.2xyeos(xy2)D.y2cos(xy2) 解析：本题考查的知识点为偏导数的运算由 z=sin(
11、xy2)，知10.当 a0 时，2x 2+3x是 x的( )（分数：4.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小 D.低阶无穷小解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较应依定义考察由此可知，当 x0 时，2x 3+3x是 x的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选 C本题应明确的是：考察当 xx 0时无穷小卢与无穷小 的阶的关系时，要判定极限这里是以 为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 y=sin2x，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2cos2xdx）解析：解题指导 这类问题
12、通常有两种解法 解法 1 利用公式 dy=ydx，先求 y，由于 y=cos2x(2x)2cos2x， 因此 dy=2cos2xdx 解法 2利用微分运算公式 dy=d(sin2x)=cos2xd(2x)=2cos2xdx12.设 y=2x+sin2，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 xln2）解析：解题指导 本题考查的知识点为初等函数的求导运算本题需利用导数的四则运算法则求解Y=(2x+sin2)=(2x)+(sin2)=2xln2本题中常见的错误有(sin2)=cos2这是由于误将 sin2认作 sinx，事实上 sin2为一个常数，而常数的导数为 0，即(sin
13、2)=0相仿(cos3)=0，(ln5)=0，(13.函数 y=x3-2x+1在区间1，2上的最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解题指导 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题通常求解的思路为：先求出连续函数 f(x)在(a，b)内的所有驻点 x1,，x k比较 f(x1)，f(x 2)，f(x k)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为 f(x)在a，b上的最大(小)值，相应的 x即为，(x)在a，b上的最大(小)值点由 y=x32x+1，可得Y=3x2-2令 y=0得 y的驻点为 ，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当 x(1，2)时有Y=3x
14、2-20可知 y=x3-2x+1在1，2上为单调增加函数，最小值点为 x=1，最小值为 f(1)=0注： 也可以比较 f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为 f(x)在1，2上的最小值本题中常见的错误是，得到驻点 和 之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内而是错误地比较14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分计算 可以利用变量替换，令 u=2x，则 du=2dx，当 x=0时，a=0；当 x=1时，u=2因此 或利用凑微分法 本题中考生常在最后由于粗心而出现错误如 这里 中丢掉第二项15.设 z=sin(y+x2)，则 （分数：4.
15、00）填空项 1:_ （正确答案：2xcos(y+x 2)）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算可以令 u=y+x2，得 z=sinu，由复合函数偏导数的链式法则得16.微分方程 y“+y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1+C2e-x，其中 C1，C 2为任意常数）解析：解题指导 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解微分方程为 y“+y=0特征方程为 r 2+r=0特征根 r 1=0 r 2=-1因此所给微分方程的通解为y=C1+C2e-x
16、，其牛 C1，C 2为任意常数17.过点 M0(1，-2，0)且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3(x-1)-(y+2)+z=0(或 3x-y+z=5)）解析：解题指导 本题考查的知识点为平面与直线的方程 由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程 所给直线 l的方向向量 s=(3，-1，1)若所求平面 垂直于直线 l，则平面 的法向量 ns，不妨取 n=s=(3，-1，1)则由平面的点法式方程可知 3(x-1)-y-(-2)+(z-0)=0， 即 3(x-1)-(y+2)+z=0 为所求平面方程 或写为 3x-y+z-5=0 上述两个结果都正确，前者 3(x-1
17、)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程，而后者 3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程18.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，则该切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=f(1)）解析：解题指导 本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程设切点为(x 0，f(x 0)，则曲线 y=f(x)过该点的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)由题意可知 x0=1，且在(1，f(1)处曲线 y=f(x)的切线平行于 x轴，因此应有 f(x0)=0，故所求切线方程为y=f(1)=0本题中考生最常见的错误为：将曲线 y=f(x)在
18、点(x 0，f(x 0)处的切线方程写为y-f(x0)=f(x)(x-x0)而导致错误本例中错误地写为y-f(1)=f(x)(x-1)本例中由于 f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写 f(1)，有些人误写切线方程为y-1=019.广义积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解 20.设区域 D由 y轴，y=x，y=1 所围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为计算二重积分其积分区域如图 1-2阴影区域所示 可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之 解
19、法 1 由二重积分的几何意义可知表示积分区域 D的面积，而区域 D为等腰直角三角形，面积为，因此 解法 2 化为先对 y积分，后对 x积分的二次积分 作平行于 y轴的直线与区域 D相交，沿 y轴正向看，入口曲线为 y=x，作为积分下限；出口曲线为 y=1，作为积分上限，因此 xy1 区域 D在 x轴上的投影最小值为 x=0，最大值为 x=1，因此 0x1 可得知 解法 3 化为先对 x积分，后对 Y积分的二次积分 作平行于 x轴的直线与区域D相交，沿 x轴正向看，入口曲线为 x=0，作为积分下限；出口曲线为 x=y，作为积分上限，因此 0xy 区域 D在 y轴上投影的最小值为 y=0，最大值为
20、 y=1，因此 0y1 可得知 三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：()解析：解法 1 原式： (两次利用洛必达法则) 解法 2 原式 (利用等价无穷小代换) 解题指导 本题考查的知识点为用洛必达法则求极限 由于问题为“-”型极限问题，应先将求极限的函数通分，使所求极限化为“”型问题 如果将上式右端直接利用洛必达法则求之，则运算复杂注意到使用洛必达法则求极限时，如果能与等价无穷小代换相结合，则问题常能得到简化，由于当 x0 时，sinxx，因此 从而能简化运算 本题考生中常见的错误为：由于当 x0 时，sinxx，因此 将等价无穷小代换在加减法
21、运算中使用，这是不允许的22.设 y=y(x)由方程 X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求 y（分数：8.00）_正确答案：()解析：解法 1 将所给方程两端关于 x求导，可得2x+6y2y+2(y+xy)+3y-1=0，整理可得 解法 2 令 F(x，y)=x 2+2y3+2xy+3y-x-1，则解题指导 本题考查的知识点为隐函数求导法y=y(x)由方程 F(x，Y)=0 确定，求 y通常有两种方法：一是将 F(x，y)=0 两端关于 x求导，认定 y为中间变量，得到含有 y的方程，从中解出 y二是利用隐函数求导公式23.设 x2为 f(x)的原函数求 （分数：8.00）_正确答案：(
22、)解析：解法 1由于 x2为 f(x)的原函数，因此解法 2 由于 x2为 f(x)的原函数，因此24.求曲线 y= （分数：8.00）_正确答案：()解析：由于 所以 因此曲线 y= 在点(1，1)处的切线方程为 或写为 x-2y+1=0 解题指导 本题考查的知识点为曲线的切线方程25.求微分方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：所给方程为一阶线性微分方程 其通解为 26.求由曲线 y=3-x2与 y=2x，y 轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：()解析：所给曲线围成的平面图形如图 1-3所示 解法 1 利用定积分求平
23、面图形的面积 由于的解为 x=1，y=2，可得 解法 2 利用二重积分求平面图形面积 由于 的解为x=1，y=2， 求旋转体体积与解法 1同 解题指导 本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积 本题也可以利用二重积分求平面图形的面积27.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：积分区域 D如图 1-4所示D可以表示为0x1，0y1+x 2解题指导 本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序如果将二重积分化为先对 x后对 y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序28.将 f(x)=ln(1+x2)展开为 x的幂级数（分数：10.00）_正确答案：()解析：由于因此 解题指导 本题考查的知识点为将函数展开为幂级数考试大纲中指出“会运用 ex，sinx，cosx，ln(1+x)， 的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为 x或(x-x 0)的幂级数”这表明本题应该将 ln(1+x2)变形认作 ln(1+x)的形式，利用间接法展开为x的幂级数本题中考生出现的常见错误是对 ln(1+x2)关于 x的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的
