1、专升本高等数学(一)-67 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，2x+x 2是 x 的( )A等价无穷小 B较低阶无穷小C较高阶无穷小 D同阶但不等价的无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.2. ( )（分数：4.00）A.B.C.D.3. ( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y=5x，则 y=( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在a，b上连续， ，则下列等式成立的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.设平面 1：2x+y+4z+4=
2、0 2：2x-8y+z+1=0则平面 1与 2的位置关系是( )A相交且垂直 B相交但不垂直C平行但不重合 D重合（分数：4.00）A.B.C.D.8.设区域 D 是由直线 y=x，x=2，y=1 围成的封闭平面图形，则二重积分 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.下列命题中正确的有( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.微分方程 y-4y=0 的特征根为( )A0，4 B-2，2C-2，4 D2，4（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x)=x(
3、x-1)，则 f(1)= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.y=lnx，则 dy= 1（分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16.设 z=x2+y2-xy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18.过点 M1(1，2，-1)且与平面 x-2y+4z=0 垂直的直线方程为 1（分数：4.00）填空项 1:_19.若级数 （分数：4.00）填空项 1:_20.二阶常系数齐次线性方程 y=0 的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22.若
4、 y=y(x)由方程 y=x2+y2确定，求 dy.（分数：8.00）_23.设 f(x)为连续函数， （分数：8.00）_24.求二元函数 z=x2-xy+y2+x+y 的极值，（分数：8.00）_25. （分数：8.00）_26.求由曲线 （分数：10.00）_27.计算 （分数：10.00）_28.求通过点(1，2)的曲线方程，使此曲线在1，x上形成的曲边梯形面积的值等于此曲线弧终点的横坐标 x 与纵坐标 y 乘积的 2 倍减去 4（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-67 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0
5、 时，2x+x 2是 x 的( )A等价无穷小 B较低阶无穷小C较高阶无穷小 D同阶但不等价的无穷小（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 2. ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可知 与 都存在，但不相等，因此3. ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 4.设 y=5x，则 y=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由导数公式可知(5 x)=5xln5，故选 A.5.设 f(x)在a，b上连续， ，则下列等式成立的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由可变限积分求导公式知选 B6. （分数：4.00）A.B.C.
6、 D.解析：解析 7.设平面 1：2x+y+4z+4=0 2：2x-8y+z+1=0则平面 1与 2的位置关系是( )A相交且垂直 B相交但不垂直C平行但不重合 D重合（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 平面 1的法线向量 n1=(2，1，4)，平面 2的法线向量 n2=(2，-8，1)，n 1n2=0可知两平面垂直，因此选 A.8.设区域 D 是由直线 y=x，x=2，y=1 围成的封闭平面图形，则二重积分 ( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域如下图中阴影部分所示D 可以表示为1x2，1yx 或 1y2，yx2对照所给选项，知应选 D.9.下列命题中正确
7、的有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 不正确而 B 正确，10.微分方程 y-4y=0 的特征根为( )A0，4 B-2，2C-2，4 D2，4（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 r2-4=0，r 1=2，r 2=-2，知 y-4y=0 的特征根为 2，-2，故选 B.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 当 x1 时，sin(x-1)0，由重要极限公式 ，可知12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=-3）解析：解析 由于 x=-3 时，13.设 f(x)=x(x-
8、1)，则 f(1)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 f(x)=x(x-1)=x 2-x，f(x)=2x-1，f(1)=1.14.y=lnx，则 dy= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 设 f(x)=sinx3，则 f(x)为奇函数，积分区间为对称区间，故定积分为零16.设 z=x2+y2-xy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2x-y)dx+(2y-x)dy）解析：解析 f(x，y)=x 2+y2-xy，从而 f x(x，y)=2x
9、-y；f y(x，y)=2y-x，于是dz=(2x-y)dx+(2y-x)dy.17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，2)）解析：解析 f(x)=4x-x 2，f(x)=4-2x令 f(x)=0，由 4-2x=0 得 x=2当 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，故 f(x)的凹区间是(-，2)18.过点 M1(1，2，-1)且与平面 x-2y+4z=0 垂直的直线方程为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由于直线与平面 x-2y+4z=0 垂直，可取直线方向向量为(1，-2，4)，因此所求直线方程为19.若级数 （分数：4.00
10、）填空项 1:_ （正确答案：0k1）解析：解析 k1 时，级数各项取绝对值，得正项级数20.二阶常系数齐次线性方程 y=0 的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1+C2x）解析：解析 y=0，特征方程为 r2=0，特征根为 r=0(二重根)，于是二阶常系数齐次线性方程的通解为y=C1+C2x三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：( )解析：22.若 y=y(x)由方程 y=x2+y2确定，求 dy.（分数：8.00）_正确答案：(对 y=x2+y2两边微分dy=2xdx+2ydy，所以 )解析：23.设 f(x)为连续函
11、数， （分数：8.00）_正确答案：(记 ，则 f(x)=3x-2A，两边求积分，有)解析：24.求二元函数 z=x2-xy+y2+x+y 的极值，（分数：8.00）_正确答案：(z=x 2-xy+y2+x+y，则由点 P(-1，-1)为唯一驻点)解析：25. （分数：8.00）_正确答案：(方程 为一阶线性微分方程通解为)解析：26.求由曲线 （分数：10.00）_正确答案：( (平面图形见下图阴影部分)解析：27.计算 （分数：10.00）_正确答案：(D 的图形见下图阴影部分，在极坐标系下 D 可以表示为)解析：28.求通过点(1，2)的曲线方程，使此曲线在1，x上形成的曲边梯形面积的值等于此曲线弧终点的横坐标 x 与纵坐标 y 乘积的 2 倍减去 4（分数：10.00）_正确答案：(依题意，有 两端对 x 求导，得 y=2y+2xy，从而 2xy=-y， 即 解此微分方程，得 将 y(1)=2 代入，得出 C=4 所求曲线方程为 )解析：
