1、专升本高等数学(一)-86 及答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.等于_ A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论正确的是_A 必存在 BC D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 ，则 f(1)等于_ A B C D（分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是_ A.(-5，5) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设曲线 y=x-ex在点
2、(0，-1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为_ A. B.1 C.0 D.-1（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 y=ksin2x 的一个原函数为 y=cos2x，则 k 等于_ A.2 B.1 C.-1 D.-2（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列关系正确的是_ A.df(x)dx=f(x) B.df(x)dx=df(x) C.df(x)dx=f(x)dx D.df(x)dx=f(x)+C（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 z=y3x，则 （分数：4.00）A.B.C.D.10.级数 （分数：4
3、.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在 x=1 处连续， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=x+ex，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_14.=_ （分数：4.00）填空项 1:_15.=_ （分数：4.00）填空项 1:_16.设 z=x2y2+3x，则 （分数：4.00）填空项 1:_17.过原点且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_18.设区域 D：0x1，1y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.y=x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_20
4、.级数 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：64.00)21.求 y=xlnx 的极值与极值点（分数：8.00）_22.设 y=y(x)由 y+x2-y2=0 确定，求 dy（分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.设 z=z(x，y)由 x2+2y2+3z2+yz=1 确定，求 （分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.求 （分数：8.00）_27.证明：当 （分数：8.00）_28.求 y“+2y+y=2ex的通解（分数：8.00）_专升本高等数学(一)-86 答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/
5、B(总题数：10，分数：40.00)1.等于_ A0 B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质当 x时，*为无穷小量，而 sin2mx 为有界变量，因此*若将条件换为 x0，则*若将条件换为 x1，则*这表明计算时应该注意问题中的所给条件2.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论正确的是_A 必存在 BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系由函数连续性的定义：若在 x0处 f(x)连续，则*可知选项 D 正确，C 不正确由于连续性并
6、不能保证 f(x)的可导性，可知 A 不正确由于连续必定能保证极限*等于 f(x0)，而 f(x0)不一定等于 0，B 不正确故知应选 D3.设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 ，则 f(1)等于_ A B C D（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点为可导性的定义 当 f(x)在 x=1 处可导时，由导数定义可得 * 可知*，故应选 B4.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是_ A.(-5，5) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为判定函数的单调性y=ln(1+x2)的定义域为(-
7、，+)*当 x0 时，y0，y 为单调增加函数当 x0 时，y0，y 为单调减少函数可知函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+)，故应选 C5.设曲线 y=x-ex在点(0，-1)处与直线 l 相切，则直线 l 的斜率为_ A. B.1 C.0 D.-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为导数的几何意义由于 y=x-ex，y=1-e x，y| x=0=0由导数的几何意义可知，曲线 y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为 0，因此选 C6.已知 y=ksin2x 的一个原函数为 y=cos2x，则 k 等于_ A.2 B.1 C.-1 D.-2（分数：
8、4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导 由原函数的定义可知(cos2x)=ksin2x，而(cos2x)=(-sin2x)2，可知 k=-27.下列关系正确的是_ A.df(x)dx=f(x) B.df(x)dx=df(x) C.df(x)dx=f(x)dx D.df(x)dx=f(x)+C（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为不定积分的性质 由不定积分的性质可知 df(x)dx=f(x)dx，故选C8.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为可变限积分求导 由于当
9、f(x)连续时，*，可知应选 C9.设函数 z=y3x，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为偏导数的计算z=y3x是关于 y 的幂函数，因此*故应选 D10.级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念 注意*为 p=2 的 p 级数，因此为收敛级数由比较判别法可知*收敛，故*绝对收敛，应选 A二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：解析 本题考查的知识点为重要极限公式 *12.设 f(x)在 x=1 处连续， ，则 （分
10、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 本题考查的知识点为连续性与极限的关系，左极限、右极限与极限的关系 由于 f(x)在x=1 处连续，可知*必定存在由于*，可知*13.设 y=x+ex，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1+e x）解析：解析 本题考查的知识点为导数的四则运算y=(x+ex)=x+(ex)=1+ex14.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 本题考查的知识点为极限运算 由于所给极限为“*”型极限，由极限四则运算法则有 *15.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln|1+x|+C）解析：解
11、析 本题考查的知识点为换元积分法 *16.设 z=x2y2+3x，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2xy(x+y)+3）解析：解析 本题考查的知识点为二元函数的偏导数由于 z=x2y2+3x，可知*因此*17.过原点且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+y-3z=0）解析：解析 本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系 由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量 s 平行于所求平面的法向量 n由于 s=(2，1，-3)，因此可取 n=(2，1，-3)由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为 2x+y-3z=018.设区域 D：
12、0x1，1y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点为二重积分的计算 * 如果利用二重积分的几何意义，可知*的值等于区域 D 的面积由于 D 是边长为 1 的正方形，可知其面积为 1因此*19.y=x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程 由于 y=x，可知*20.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径所给级数为缺项情形，由于*可知当*时，即 x23 时级数绝对收敛，因此级数的收敛半径为*三、B解答题/B(
13、总题数：8，分数：64.00)21.求 y=xlnx 的极值与极值点（分数：8.00）_正确答案：(y=xlnx 的定义域为 x0，y=1+lnx令 y=0 得驻点 x1=e-1当 0xe -1时，y0；当 e-1x 时，y0可知 x=e-1为 y=xlnx 的极小值点极小值为*)解析：22.设 y=y(x)由 y+x2-y2=0 确定，求 dy（分数：8.00）_正确答案：(将 y+x2-y2=0 两端关于 x 求导，y+2x-2yy=0，可得*，故*)解析：解析 本题考查的知识点为隐函数的求导 求解的关键是将所给方程认作 y 为 x 的隐函数23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)
14、解析：24.设 z=z(x，y)由 x2+2y2+3z2+yz=1 确定，求 （分数：8.00）_正确答案：(设 F(x，y，z)=x 2+2y2+3z2+yz-1，则Fx=2x，F y=4y+z，F z=6z+y，故*)解析：25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(令 u=lnx，v=x，则* *)解析：26.求 （分数：8.00）_正确答案：(由*可解得两组解* *)解析：27.证明：当 （分数：8.00）_正确答案：(令 f(x)=sinx+tanx-2x，则当*时， * 因此当*时 f(x)0，可知 f(x)为单调增加函数由于 f(x)在 x=0 处连续，因此当*时， f(x)f(0)=0， 即 sinx+tanx-2x0)解析：28.求 y“+2y+y=2ex的通解（分数：8.00）_正确答案：(相应微分方程的齐次微分方程为 y“+2y+y=0其特征方程为 r2+2r+1=0；特征根为 r=-1(二重实根)；齐次方程的通解为 Y=(C 1+C2x)e-x设 y1*为 y“+2y+y=2ex的特解，此时 f1(x)=2ex，=1 不为特征根，设 y1*=Aex，代入上述方程，可定出*，故*为所求通解)解析：
