1、专升本高等数学(一)-89 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.函数 则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内_ A.单调增加且为凹 B.单调增加且为凸 C.单调减少且为凹 D.单调减少且为凸（分数：4.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的_ A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶但不等价无穷小量 D.较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 y=x2-x
2、+1 在区间-1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于_A B0 C （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 x=1 为 y=x3-ax 的极小值点，则 a 等于_A3 B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)=arcsinx，则 f(x)等于_ A-sinx Bcosx C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)的一个原函数为 x2，则 f(x)等于_A （分数：4.00）A.B.C.D.8. 等于_A2(e -2-1) BC-2(e -2-1) D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设有直线当直线 l1与 l2平行时， 等于_A1 B0 C （
3、分数：4.00）A.B.C.D.10.下列命题中正确的有_A设级数 收敛， 发散，则级数 可能收敛B设级数 收敛， 发散，则级数 必定发散C设级数 收敛，且 unv n(n=k，k+1，)，则级数 必定收敛D设级数 收敛，则有 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.=_ （分数：4.00）填空项 1:_14.=_ （分数：4.00）填空项 1:_15.设 y=y(x)由方程 x2+xy2+2y=1 确定，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_16.微分
4、方程 y“=y 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_17.二元函数 z=x2+y2+1 的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_18.二元函数 z=xy2+arcsiny2，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.设区域 D 为 y=x2，x=y 2围成的在第一象限内的区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_22.设 y=x+arctanx，求 y（分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.计算 （分数：8.00）_25.求 y“+4y+4y=
5、e-x的通解（分数：8.00）_26.求xsinxdx（分数：10.00）_27.计算 （分数：10.00）_28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-89 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.函数 则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系 由于* 可知* 从而*，应选C2.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0
6、，则曲线 y=f(x)在(a，b)内_ A.单调增加且为凹 B.单调增加且为凸 C.单调减少且为凹 D.单调减少且为凸（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性 由于在(a，b)内 f(x)0，可知 f(x)在(a，b)内单调增加，又由于 f“(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a，b)内为凸，可知应选 B3.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的_ A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶但不等价无穷小量 D.较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点
7、为无穷小量阶的比较由于*可知当 x0 时，x 2与 x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小量故应选 C4.函数 y=x2-x+1 在区间-1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于_A B0 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论由于 y=x2-x+1 在-1，3上连续，在(-1，3)内可导，可知 y 在-1，3上满足拉格朗日中值定理又由于y=2x-1，因此必定存在 (-1，3)，使f(3)-f(-1)=(2-1)3-(-1)，7-3=(2-1)4，=1可知应选 D5.设 x=1 为 y=x3-ax 的极小值点，则 a 等于_A3 B C1
8、 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点为判定极值的必要条件由于 y=x3-ax，y=3x 2-a，令 y=0，可得*由于 x=1 为 y 的极小值点，因此 y|x=1=0，从而知*故应选 A6.设函数 f(x)=arcsinx，则 f(x)等于_ A-sinx Bcosx C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为基本导数公式 * 可知应选 C7.设 f(x)的一个原函数为 x2，则 f(x)等于_A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为原函数的概念由于 x2为 f(x)的原函数，因此f(x)=(x2
9、)=2x，因此f(x)=2可知应选 D8. 等于_A2(e -2-1) BC-2(e -2-1) D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点为牛顿-莱布尼茨公式和定积分的换元法 * 因此选 D9.设有直线当直线 l1与 l2平行时， 等于_A1 B0 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点为直线间的关系直线*其方向向量 s 1=(1，2，)，s 2=(2，4，-1)l1l 2，则*从而*，可知应选 C10.下列命题中正确的有_A设级数 收敛， 发散，则级数 可能收敛B设级数 收敛， 发散，则级数 必定发散C设级数 收敛，且 unv n(n
10、=k，k+1，)，则级数 必定收敛D设级数 收敛，则有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点为级数的性质 由级数的性质：若*收敛，则*必定收敛 利用反证法可知，若*收敛，*发散，则*必定发散可知应选 B通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：解析 本题考查的知识点为极限的运算 注意*可以变形，化为*形式的极限但所给极限通常可以先变形： *12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点为导数的计算由于*，可知
11、*，进而有 y|x=0=113.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-arctanx+C）解析：解析 本题考查的知识点为不定积分的运算 *14.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为定积分运算 *15.设 y=y(x)由方程 x2+xy2+2y=1 确定，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为隐函数的微分解法 1 将所给表达式两端关于 x 求导，可得2x+y2+2xyy+2y=0从而*解法 2 将所给表达式两端微分，dx2+dxy2+d2y=d1，2xdx+y2dx+2xyd
12、y+2dy=0，(2x+y2)dx+2(xy+1)dy=0，*16.微分方程 y“=y 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1e-x+C2ex）解析：解析 本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解将方程变形，化为 y“-y=0，特征方程为 r 2-1=0，特征根为 r 1=-1，r 2=1，因此方程的通解为 y=C 1e-x+C2ex17.二元函数 z=x2+y2+1 的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点为二元函数的极值z=x2+y2+11可知点(0，0)为 z 的极小值点，极小值为 118.二元函数
13、z=xy2+arcsiny2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2）解析：解析 本题考查的知识点为二元函数的偏导数只需将 y，arcsiny 2认作为常数，则*19.设区域 D 为 y=x2，x=y 2围成的在第一象限内的区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为二重积分的计算 *20.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径所给级数为缺项情形，*可知当*，即 x23，*时所给级数绝对收敛，因此收敛半径为*三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.求
14、（分数：8.00）_正确答案：(解法 1 * 解法 2 *)解析：解析 本题考查的知识点为极限运算 在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题应引起注意22.设 y=x+arctanx，求 y（分数：8.00）_正确答案：(y=(x+arctanx)=x+(arctanx)=*)解析：23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(设*，则 x=t2-1，dx=2tdt当 x=0 时，t=1；当 x=3 时，t=2则*)解析：解析 本题考查的知识点为定积分的换元积分法 比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化24.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本
15、题考查的知识点为计算反常积分 计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算25.求 y“+4y+4y=e-x的通解（分数：8.00）_正确答案：(相应的齐次方程为 y“+4y+4y=0，特征方程为 r 2+4r+4=0，即(r+2) 2=0，特征根为 r=-2(二重根)，齐次方程的通解为 y=(C 1+C2x)e-2x设所给方程的特解 y*=Ae-x，代入所给方程可得 A=1，从而 y*=e-x故原方程的通解为 y=(C 1+C2x)e-2x+e-x)解析：26.求xsinxdx（分数：10.00）_正确答案：(设 u=x，v=sinx，则 u=1，v=-cosx， sinxdx=-xcosx+cosxdx=-xcosx+sinx+C)解析：27.计算 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序 由于*不能用初等函数形式表示，因此不能先对 y 积分，只能选取先对 x 积分后对 y 积分的次序 通常*都不能由初等函数形式表示，即不可积分，考生应该记住这两个常见的形式28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积（分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：解析 所给曲线围成的图形如图所示
