1、专升本高等数学(一)-91 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x_ A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在点 x0的某邻域内可导，且 f(x0)为 f(x)的一个极小值，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 ，则 f(x)等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 y=x-arctanx 在(-，+)内_ A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续（
2、分数：4.00）A.B.C.D.5.设f(x)dx=e x+C，则xf(1-x 2)dx 为_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列反常积分收敛的_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.9.方程 x2+y2=R2表示的二次曲面是_ A.椭球面 B.圆柱面 C.圆锥面 D.旋转抛物面（分数：4.00）A.B.C.D.10.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.求 （分数：4.00）填空
3、项 1:_13.设 y=22arccosx，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_15.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_16.过点 P(4，1，-1)，且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_18._ （分数：4.00）填空项 1:_19.将 （分数：4.00）填空项 1:_20.方程 y“+y+y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=y(x)是由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)
4、确定的隐函数，求 dy（分数：8.00）_22.已知曲线 y=ax4+bx3+x2+3 在点(1，6)处与直线 y=11x-5 相切。求 a，b（分数：8.00）_23.设xf(x)dx=arcsinx+C，求 （分数：8.00）_24.求 （分数：8.00）_25.求方程 y=e3x-2y满足初始条件 y|x=0=0 的特解（分数：8.00）_26.设 （分数：10.00）_27.求 （分数：10.00）_28.一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?（分数：10.00）_专升本高
5、等数学(一)-91 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x_ A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了无穷小量阶的比较的知识点 因*2所以选 C2.设函数 f(x)在点 x0的某邻域内可导，且 f(x0)为 f(x)的一个极小值，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查了函数的极值的知识点因 f(x)在 x=x0处取得极值，且可导，于是*3.设函数 ，则 f(x)等于_ A B
6、 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点 因*，则*4.函数 y=x-arctanx 在(-，+)内_ A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查了函数的单调性的知识点 因 y=x-arctanx，则 y=1-*，于是函数在(-，+)内单调增加5.设f(x)dx=e x+C，则xf(1-x 2)dx 为_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查了换元积分法求不定积分的知识点*另解：将f(x)dx=e x+C 两边对 x 求导得 f(x)=ex，则*6.
7、设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点因*是复合函数，于是 (x)=tanx 22x-2xtanx27.下列反常积分收敛的_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查了反常积分的敛散性的知识点 由*当 p1 时发散，p1 时收敛，可知应选D 注：本题容易看出 A 选项发散而 B 选项*中*相当于*，故此积分发散对于 C 选项，由*，故此积分发散8.级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了 p 级数的敛散性的知识点 级数的通项为*，此级数为 p 级数又因*，所以级数发散9.方程 x2
8、+y2=R2表示的二次曲面是_ A.椭球面 B.圆柱面 C.圆锥面 D.旋转抛物面（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查了二次曲面(圆柱面)的知识点由方程特征知，方程 x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面10.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了曲线的渐近线的知识点 对于曲线*，因*，故有水平渐近线 y=1；又*，水平渐近线 y=1；又*，故曲线有铅直渐近线 y=-1二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查了函数的连续性的知识点由*，*，且 f(0)=k，则
9、 k=1 时，f(x)在 x=0 连续注：分段函数在分段点处的连续性，多从 f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)是否成立入手12.求 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 6）解析：解析 本题考查了*的应用的知识点 *13.设 y=22arccosx，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查了一元函数的微分的知识点由 y=22arccosx，则 y=-22arccosx2*，所以*14.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*，则*令 x=1，y=1，得*注：本题也可将 x=1 代入 f 中得 f(1，y)=*，再求 fy
10、，然后令 y=1 就得所要求的结果）解析：15.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：+）解析：解析 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点 由* 所以级数的收敛半径 R=+16.过点 P(4，1，-1)，且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4x+y-z-18=0）解析：解析 本题考查了平面方程的知识点 由点 P 与原点的连线和平面垂直，因此*就是平面的法线向量， 所以*，平面又过点 P，所以由点法式得平面的方程为 4(x-4)+(y-1)-(z+1)=0， 即 4x+y-z-18=017.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查了二元函数的混合偏导的知识点 由*，得*，故*18._ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查了定积分的知识点 * 注：含绝对值的函数以及分段函数求积分必须分段进行19.将 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查了交换积分次序的知识点 从原积分可看出积分区域 D=(x，y)|0x2，xy4-x，则 I=* 注：画出积分区域的草图是解决这类问题的关键20.方程 y“+y+y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点由
12、方程知它的特征方程为 r2+r+1=0，所以*因此通解为 y=*三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=y(x)是由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数，求 dy（分数：8.00）_正确答案：(方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数)， * 整理得*， 所以* 注：本题还可用一阶微分的形式不变性解为 *， 所以3+ln(x-y)dy=2+ln(x-y)dx， 因此*)解析：22.已知曲线 y=ax4+bx3+x2+3 在点(1，6)处与直线 y=11x-5 相切。求 a，b（分数：8.00）_正确答案：(曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线
13、方程，所以 6=a+b+4， (1)再 y=4ax3+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与 y=11x-5 相切，所以* (2)联立(1)(2)解得 a=3，b=-1)解析：23.设xf(x)dx=arcsinx+C，求 （分数：8.00）_正确答案：(原式两边对 x 求导，得*， 则* 因此 * 注：积分的结果应回到原变量 x 上，令x=sint，所以*)解析：24.求 （分数：8.00）_正确答案：(令*，则 x=t2-1，dx=2tdt，所以*)解析：25.求方程 y=e3x-2y满足初始条件 y|x=0=0 的特解（分数：8.00）_正确答案：(原题可改写为*，即 e2ydy=e3
14、xdx，两边积分得*，代入初始条件*，所以*，故所求特解为*)解析：26.设 （分数：10.00）_正确答案：(由*，则 * 所以* 注：本题用一阶微分的形式不变性可解为 *)解析：27.求 （分数：10.00）_正确答案：(积分区域 D 如图所示，据被积函数特点(含 x2+y2)，及积分区域的特点(扇形)，该积分易用极坐标计算*D 可表示为*于是*)解析：28.一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?（分数：10.00）_正确答案：(设经过 t 小时两船相距 S 海里，则*即 S 2=(82-16t)2+(20r)2，所以 (S 2)=2(82-16t)(-16)+220t20，令(S 2)=0，得驻点 t=2，即经过两小时后两船相距最近注：本题不用 S 而用 S2是为了计算的简便，且 S2与 S 同时取最值，另外，由于驻点是唯一的，故不必经过进一步的检验就可断定它就是所求最值点)解析：
