1、专升本高等数学(二)-134 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、考生注意：(总题数：10，分数：40.00)1.设 为连续函数，则 a= A （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)= A B Csin 2 x D （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：4.00）A.(-，-2)和(-2，+)B.(-2，2)C.(-，0)和(0，+)D.(-2，0)和(0，2)4.xdf“(x)=（分数：4.00）A.xf(x)-f(x)+CB.xf“(x)-f(x)+CC.xf“(x)-f“(x)+
2、CD.xf(x)-f“(x)+C5.函数 f(x)在a，b上连续，则 （分数：4.00）A.f(x)B.-f(x)C.f(b)-f(x)D.f(x)+f(b)6.设 f(x)为-a，a上定义的连续奇函数，且当 x0 时，f(x)0，则由 y=f(x)，x=-a，x=a 及 x 轴围成的图形面积 S，其中_是不正确 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 z=z(x，y)是方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）A.1B.exC.yexDy8.点_是二元函数 f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x 的极小值点（分数：4.00）A.(1，0)B.(1，2
3、)C.(-3，0)D.(-3，2)9.设函数 f(x)=cos(x+y)，则 （分数：4.00）A.cos(x+y)B.-cos(x+y)C.sin(x+y)D.-sin(x+y)10.若随机事件 A 与 B 相互独立，而且 P(A)=0.4，P(B)=0.5，则 P(AB)=（分数：4.00）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.若 ，则 （分数：4.00）12.设函数 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.若点(1，3)是曲线 y=ax 3 +bx 2 的拐点，则 a，b 分别为 1 （分数：4.00）15.若 f(x)的一
4、个原函数是 cosx，则f“(x)dx= 1 （分数：4.00）16.设 ，则 （分数：4.00）17.设函数 （分数：4.00）18.曲线 （分数：4.00）19.二元函数 z=xy 在 x+y=1 下的极值为 1 （分数：4.00）20.函数 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 （分数：8.00）_22.求 （分数：8.00）_23.设工厂 A 到铁路线距离为 20 公里，垂足为 B，铁路线上距离 B 为 100 公里处有一原料供应站 C，现从BC 间某处 D 向工厂 A 修一条公路，为使从 C 运货到 A 运费最省，问 D 应选在何处?(已知每公里铁路与
5、公路运费之比为 3:5) （分数：8.00）_24.求曲线 y=x 2 +1(x0)与 y=x+1 所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 （分数：8.00）_一批零件中有 10 个合格品和 2 个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，求：（分数：8.00）(1).随机变量 X 的分布列；（分数：4.00）_(2).随机变量 X 的分布函数（分数：4.00）_25.求函数 y=x 3 -2x 2 的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点 （分数：10.00）_(1).求在区间0，上的曲线 3，-si
6、nx 与 x 轴所围成图形的面积 S（分数：5.00）_(2).求第 1 小题中的平面图形绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：5.00）_26.设 ，求证： （分数：10.00）_专升本高等数学(二)-134 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、考生注意：(总题数：10，分数：40.00)1.设 为连续函数，则 a= A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 f(x)在 x=2 连续，所以 解得 2.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)= A B Csin 2 x D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：
7、解析 因 f“(cos 2 x)=sin 2 x=1-cos 2 x，所以 f“(x)=1-x 则 ，而 f(0)=0，于是 3.函数 （分数：4.00）A.(-，-2)和(-2，+)B.(-2，2)C.(-，0)和(0，+)D.(-2，0)和(0，2) 解析：解析 由 4.xdf“(x)=（分数：4.00）A.xf(x)-f(x)+CB.xf“(x)-f(x)+C C.xf“(x)-f“(x)+CD.xf(x)-f“(x)+C解析：解析 分部积分法，xdf“(x)=xf“(x)-f“(x)dx=xf“(x)-f(x)+C，故选 B5.函数 f(x)在a，b上连续，则 （分数：4.00）A.f
8、(x)B.-f(x) C.f(b)-f(x)D.f(x)+f(b)解析：解析 由6.设 f(x)为-a，a上定义的连续奇函数，且当 x0 时，f(x)0，则由 y=f(x)，x=-a，x=a 及 x 轴围成的图形面积 S，其中_是不正确 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因 f(x)为奇函数，且 x0 时，f(x)0，故当 x0 时，f(x)0，且 ，因此在区间-a，0上的面积应为7.设 z=z(x，y)是方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）A.1B.exC.yex Dy解析：解析 方法一：该函数可化为：z=ye x ，故 方法二：公式法 方程可化为： 令
9、， 于是 8.点_是二元函数 f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x 的极小值点（分数：4.00）A.(1，0) B.(1，2)C.(-3，0)D.(-3，2)解析：解析 因 f x (x，y)=3x 2 +6x-9，f y (x，y)=-3y 2 +6y 所以，令 f x (x，y)=0，f y (x，y)=0，解得驻点(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2) 又因 f xx (x，y)=6x+6，f xy (x，y)=0，f yy (x，y)=-6y+6 于是 B 2 -AC=36(x+1)(y-1) 故，对于点(1，0)：B 2 -AC=-720，且 A
10、=120，则点(1，0)是极小值点； 对于点(1，2)：B 2 -AC=720，则点(1，2)不是极值点； 对于点(-3，0)：B 2 -AC=720，则点(-3，0)不是极值点； 对于点(-3，2)：B 2 -AC=-720，且 A=-120，则点(-3，2)是极大值点，故应选 A9.设函数 f(x)=cos(x+y)，则 （分数：4.00）A.cos(x+y)B.-cos(x+y) C.sin(x+y)D.-sin(x+y)解析：10.若随机事件 A 与 B 相互独立，而且 P(A)=0.4，P(B)=0.5，则 P(AB)=（分数：4.00）A.0.2 B.0.4C.0.5D.0.9解析
11、：二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.若 ，则 （分数：4.00）解析：3解析 因为 ，又因为数列有无极限和其极限值是多少与数列中含有限项的个数无关，所以12.设函数 （分数：4.00）解析：x=-1 和 x=0 解析 由题知， 的无定义点为 x=-1 和 x=0且 ，故 x=-1 为第一类间断点 而 13.设 （分数：4.00）解析：-sinx-a x ln2a 解析 由题知得，y (n-1) =cosx-a x lna，y (n) =-sinx-a x ln 2 a14.若点(1，3)是曲线 y=ax 3 +bx 2 的拐点，则 a，b 分别为 1 （分数：4.00）解析：
12、解析 因点(1，3)在曲线 y=ax 3 +bx 2 上，所以 a+b=3又因 y“=6ax+2b，所以6a+2b=0 解方程组 得 15.若 f(x)的一个原函数是 cosx，则f“(x)dx= 1 （分数：4.00）解析：-sinx+C 解析 f(x)=(cosx)“=-sinx， 而f“(x)dx=f(x)+C=-sinx+C16.设 ，则 （分数：4.00）解析：3解析 由题得17.设函数 （分数：4.00）解析：18.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 由题作图，由图可知所求体积为 19.二元函数 z=xy 在 x+y=1 下的极值为 1 （分数：4.00）解析： 解析 化为无条件
13、极值 由 y=1-x 代入 z=xy 得 z=x(1-x)=x-x 2 又因 z x =1-2x，则令 z x =0，得驻点 当 时，z x 0，当 时，z x 0，故该点 是极大值点，且极大值 20.函数 （分数：4.00）解析：(0，0)三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 ， 22.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 两边先取对数，再求导 23.设工厂 A 到铁路线距离为 20 公里，垂足为 B，铁路线上距离 B 为 100 公里处有一原料供应站 C，现从BC 间某处 D 向工厂 A 修一条公路，为使从 C 运货到
14、 A 运费最省，问 D 应选在何处?(已知每公里铁路与公路运费之比为 3:5) （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 如图，设 BD 为 x 公里，铁路每公里运费为 a，则公路每公里运费为 ，于是总运费为 由 24.求曲线 y=x 2 +1(x0)与 y=x+1 所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由题作图，由图知 (1)绕 x 轴旋转的体积为 (2)绕 y 轴旋转的体积为 一批零件中有 10 个合格品和 2 个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，
15、求：（分数：8.00）(1).随机变量 X 的分布列；（分数：4.00）_正确答案：()解析：由题意知，随机变量 X 的可能值是 0，1，2，且有 随机变量 X 的分布列为 (2).随机变量 X 的分布函数（分数：4.00）_正确答案：()解析：25.求函数 y=x 3 -2x 2 的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 函数 y 的定义域是(-，+) y“=3x 2 -4x=x(3x-4)，令 y“=0，得驻点 x 1 =0， y“=6x-4， ，故 x=0 是极大值点，极值是 y=0； ，所以 是极小值点，极值是 当-x0 时，y“0；当
16、 时，y“0， 所以 y 的单调增加区间是 当 时，y“0，所以 y 的单调减少区间是 令 y“=0，得 ， 当 时，y“0，曲线在 内是下凹的； 当 时，y“0，曲线在 内是上凹的，拐点是 列表如下： (1).求在区间0，上的曲线 3，-sinx 与 x 轴所围成图形的面积 S（分数：5.00）_正确答案：()解析：证：(2).求第 1 小题中的平面图形绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：5.00）_正确答案：()解析：26.设 ，求证： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 方法一： 对 l0，g0， ，故 对 l0，g0，有 ， 故 为避免遗漏讨论 l0，g0 的情形，分析其解法，不难发现， 不分开是问题的关键，故有 方法二： 若使用对数求导法，则可避免上述讨论 方法三： ，(l 与 g 同号)， 利用隐函数求导法，有 故
