1、专升本高等数学(二)-89 及答案解析(总分：148.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)是_。 A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶但不等价的无穷小量 D.较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 ，则 f(x)等于_。 A-sinx B-2sinxcosx C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.以下结论正确的是_。 A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)值点 B.若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0的极值点 C.若函数 f(x)在点 x0处有极
2、值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若函数 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C.D.4.若 ，则 dy 等于_。A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内_。 A.单调减少 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为奇函数且连，续又有 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 y=f(x)二阶可导，且 f(1)=0，f“(1)0，则必有_。 A.f(1)=0 B.f(1)是极小值 C.f(1)是极大值 D.点(1)，f(1)是拐点（分数：4.0
3、0）A.B.C.D.8.设 f(x)是可导的连续函数，则 等于_。 Af(3)-f(1) Bf(9)-f(3) C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 z=f(x，)，=(x，y)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，则 等于_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.下列表中的数列为某随机变量的分布列的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.当 y0 时，2sinx-sin2x 与 xk是等价无穷小量，则 k=_。（分数：4.00）填空项 1:_
4、13.设 y=ln(x+cosx)，则 y=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x10+e10，则 y(10)= 1。（分数：4.00）填空项 1:_15.设 y=y(x)由方程 x2+y2+xy=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_16.设 y=f(x)的导函数是 sin2x，则 f(x)的全体原函数是_。（分数：4.00）填空项 1:_17.设 （分数：4.00）填空项 1:_18.曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_19.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_20.设
5、 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：7，分数：68.00)21.计算 （分数：8.00）_22.设 （分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.。 （分数：8.00）_25.一枚 5 分硬件币，连续抛掷 3 次，求“至少有 1 次国徽向上”的概率。（分数：8.00）_26.设 z=x(x，y)由方程 ez-x2+y2+cos(x+z)=0 确定，求 dz。（分数：14.00）_27.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=1 围成的平面图形的面积 S 并求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vy。（分数：14.00）_专升本高等数学(二)-8
6、9 答案解析(总分：148.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)是_。 A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶但不等价的无穷小量 D.较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查两个无穷小量阶的比较。 比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确的选项本题即为计算： *。 由于其比的极限为常数 2，所以选项 C 正确。 请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换 ln(1+x)x，否则将导致错误的结论。 与本题类似的另一类考题(可以为选
7、择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶” 例如：当 x0 时，x-ln(1+x)是 x 的 A*阶的无穷小量 B等伸无穷小量 C2 阶的无穷小量 D3 阶的无穷小量 这类题的解法是：首先设 x-ln(1+x)为 x 的 k 阶无穷小量，再由*存在且为一个有限值，从而确定 k 值。 因为*， 要使上式的极限存在，则必须有 k-2=0，即 k=2。 所以，当 k0 时，x-ln(1+x)为 x 的 2 阶无穷小量，选 C。2.设函数 ，则 f(x)等于_。 A-sinx B-2sinxcosx C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算。
8、 本题的解法有两种： 解法一：先用换元法求出 f(x)的表达式，再求导。 设 sinx=u，则*，所以*，即* 则*， 所以选 D。 解法二：将f(sinx)作 f(u)，u=sinx 的复合函数直接求导，再用换元法写成 f(x)的形式。等式两边对 x 求导得 f(sinx)cosx=-sinx，*。 令 sinx=u，则*， 所以 *， 即 *， 所以选 D。3.以下结论正确的是_。 A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)值点 B.若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0的极值点 C.若函数 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若函数
9、f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的要否定一个命题的最佳方法是举一个反例如：y=x 在 x=0 处有极小值且连续，但在 x=0 处不可导，排除 A 和 D。y=x3，x=0 是它的驻点，但 x=0 不是它的极值点，排除 B，所以命题 C 正确的。4.若 ，则 dy 等于_。A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题可用 dy=ydx 求得选项为 A，也可以直接求微分得到 dy。 因为 *， 则 * 直接求微
10、分得 * * 所以选 A。5.函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内_。 A.单调减少 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题需先求出函数的驻点，再用 y“来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两则的 y必异号，从而进一步确定选项。因为 y=ex-1，令 y=0，x=0。又 y“=ex0 x(-1，1)，且 y“|x=0=10，所以 x=0 为极小值点，故在 x=0 的左、右两侧的函数必为由减到增，则当 x(-1，1)时，函数有增有减，所以应选 D。6.设 f(x)为奇函数且连，续又有 （分数：4.00）A.B. C.D.解
11、析：解析 用换元法将 F(-x)与 F(x)联系起来，再确定选项。 因为 * 所以选 B。7.设 y=f(x)二阶可导，且 f(1)=0，f“(1)0，则必有_。 A.f(1)=0 B.f(1)是极小值 C.f(1)是极大值 D.点(1)，f(1)是拐点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据极限的第二个充分条件确定选项。8.设 f(x)是可导的连续函数，则 等于_。 Af(3)-f(1) Bf(9)-f(3) C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是定积分的换元法。本题可以直接换元或用凑微分法。 因为* 所以选 D。9.设函数 z=f(x，)，=
12、(x，y)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，则 等于_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用二元复合函数求偏导公式计算时，要注意 u=x 是一元函数。 因为*，选 B。10.下列表中的数列为某随机变量的分布列的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用随机变量分布列的两个性质：Pi0 和Pi=1 来确定选项。选项 A 的*；选项 D 的 Pi=-0.10；选项 B 的 P1+P2+P3=1.11。所以选项 A，B，D 均不是某随机变量的分布列，故选 C。注意：随机变量的取值可以为负数。二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.
13、00)11.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2）解析：解析 利用重要极限和极限存在的充要条件，可知 k=e-2。因为*。所以本题只要分别计算：*，*，所以 k=e-2。12.当 y0 时，2sinx-sin2x 与 xk是等价无穷小量，则 k=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 根据等价无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定 k 值。考生一定要注意：分子是两个无穷小量之差，不能用等价无穷小量代换。 因为* * 欲使其极限值为 1，只有 k=3。所以填 3。 如果先用倍角公式 sin2x=2sinxcosx 化简，并利用重要极限及极限的四则
14、运算法则可使计算简捷： * *。 注意：这类题的另一种命题方式是： 当 x0 时，2sinx-sin2x 是 x 的_阶无穷小量。 考生如能掌握这种同一命题的不同提法，必能大大地开阔思路，提高解题能力。13.设 y=ln(x+cosx)，则 y=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 用复合函数求导公式计算。 *。14.设 y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x10+e10，则 y(10)= 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10!）解析：解析 注意到五项连积是 x 的 5 次多项式，因此它的 10 阶导数为零，不必逐项计算。15.设 y=
15、y(x)由方程 x2+y2+xy=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 利用隐函数求导公式或直接对 x 求导。 将等式两边对 x 求导(此时 y=y(x)，得2x+2yy+y+xy=0， 得*。16.设 y=f(x)的导函数是 sin2x，则 f(x)的全体原函数是_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(C 1，C 2为任意常数)）解析：解析 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念。因为 f(x)=sin2x，而 f(x)的全体原函数为f(x)dx，所以*，则* (C 1，C 2为任意常数)。17.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （
16、正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是原函数存在定理，即变上限的定积分*是函数 f(x)在该区间上的一个原函数。 因此有*。18.曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y-e=0）解析：解析 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程。因为 y=lnx+1-1=lnx，y| x=e=1=k 切线 ，则法线斜率*，得 k 法 =-1。当 x=e 时，y=0，所以法线方程为 y=-(x-e)，即 x+y-e=0。19.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 利用奇、偶函数
17、在对称区间上积分的性质。20.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 将函数 z 写成*，则很容易求得结果。三、B解答题/B(总题数：7，分数：68.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的是“*”型不定式极限的概念及相关性质 含变上限的“*”型不定式极限直接用洛必达法则求解 *。 注意：若用等价无穷小量代换更为简捷： *。)解析：22.设 （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是复合函数的求导计算。 利用复合函数的求导公式计算。 *)解析：23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法
18、。 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分。另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换云根式的方法进行积分。 解法一：* 解法二：三角代换去根号。 设 x=sint，dx=costdt，则* *)解析：24.。 （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是广义积分的计算。 配方后用积分公式计算。 * * 注意：广义积分也可如下简记： * 千万要注意的是：绝对不允许写成*，因为“”是一个符号，不能参加运算。)解析：25.一枚 5 分硬件币，连续抛掷 3 次，求“至少有 1 次国徽向上”的概率。（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是古典概型的
19、概率计算。 一枚 5 分硬币抛掷 1 次可能出现 2 种情况：正确或反面(国徽或字面)，连续抛掷 3 次，共有*种可能情况。 设 A=至少有 1 次国徽向上，则*=全部是字面向上，故 *)解析：26.设 z=x(x，y)由方程 ez-x2+y2+cos(x+z)=0 确定，求 dz。（分数：14.00）_正确答案：(本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法。求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数*，然后代入公式*dy。而求*的方法主要有：直接求导法、公式法以及微分法。在用直接求导法时考生一定要注意：等式 ez-x2+y2+cos(x+z)=0 中的 z 是 x，y 的函数，对 x(或 y)求导
20、时，式子 z=z(x，y)中 y(或 x)应视为常数，最后解出*。利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=e z-x2+y2+cos(x+z)，然后将等式两边分别对 x(或 y 或 z)求导考生一定要注意：对 x 求导时，y，z 均视为常数，而对 y 或 z求导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数 F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量。解法一：直接求导法。等式两边对 x 求导得*解得*等式两边对 y 求导得*解得 *则有 *解法二：公式法设 F(x，y，z)=e z-x2+y2+cos(x+z)因为*则 *所以*解法三：微分法。对等式两边求微分得d(e)-d
21、(x2)+d(y2)+dcos(x+z)=0，ezdz-2xdx+2ydy-sin(x+z)(dx+dz)=0解得 *三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法。)解析：27.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=1 围成的平面图形的面积 S 并求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vy。（分数：14.00）_正确答案：(本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法。首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对 x 积分还是对 y 积分。选择的原则是：使得积分计算尽可能的简单或容易算出。本题如果选择对 x 积分，则有*这显然要比对 y 积分麻烦。在求旋转体的体积时一定要注意是绕 x 轴还是绕 y 轴旋转。历年的试题均是绕 x 轴旋转而本题是求绕 y 轴旋转的旋转体的体积。旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试题均是如此)是：*考生一定要牢记：V x=V2-V1，即分别计算两个旋转体所成的旋转体体积之差。本题为*画出平面图形如图所示的阴影部分则有阴影部分的面积*)解析：
