1、专升本高等数学(二)-多元函数微分学及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 z=ln(x2+y2)+arcsin （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)= ，则 =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x-y, lnx)= ，则 f(x，y)=A B C （分数：2.00）A.B.C.D.5.二元函数 z=(1+3x)2y，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 f(xy,x-y)=x2+y2，则 （分数：2.00）A.B.C
2、.D.7.设 z=(lny)xy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.8.z=3xy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 z=sin(xy2)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 ，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)11.函数 （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x，y)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 z=ex2y，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 z=ln(xy+l
3、ny)，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 z=cos(x2+y2)，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：5，分数：60.00)求下列函数的偏导数（分数：12.00）(1).设 z= ，求 ， （分数：3.00）_(2).设 ，求 ， （分数：3.00）_(3).设 z=tan(xy2+x3y)，求 ， （分数：3.00）_(4).设 ，求 ， （分数：3.00）_求全微分（分数：12.00）(1).设 z=ex2+
4、y2，求 dz（分数：3.00）_(2).设 z=arctan(xy)，求 dz（分数：3.00）_(3).设 z=ey(x2+y2)，求 dz（分数：3.00）_(4).设 z=xe-xy+sin(xy)，求 dz（分数：3.00）_求由方程所确定的隐函数的偏导数或全微分（分数：9.00）(1).设 z=f(x，y)是由方程 xz=y+ez所确定的隐函数，求 （分数：3.00）_(2).设 z=f(x，y)是由方程 e-xy-2z+ez=0 所确定的隐函数，求 dz（分数：3.00）_(3).设 z=(x，y)是由方程 x2+z2=2yez所确定的隐函数，求 dz（分数：3.00）_求二阶偏
5、导数（分数：12.00）(1).设 z=xlny, 求 （分数：3.00）_(2).设 z=sin(x2-y2)，求 （分数：3.00）_(3).设 z=2cos2 ，求 （分数：3.00）_(4).设 z=ln(x-y2)，求 （分数：3.00）_求下列二元函数的极值（分数：15.00）(1).求函数 f(x，y)=x 2-6x+y2的极值（分数：3.00）_(2).求函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值（分数：3.00）_(3).求函数 f(x，y)=xy 在约束条件 x+y=1 的极值（分数：3.00）_(4).从斜边长为 a 的一切直角三角形中，求有最大周长的
6、直角三角形（分数：3.00）_(5).在所有对角线为 （分数：3.00）_专升本高等数学(二)-多元函数微分学答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：20.00)1.函数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 解不等式组*得 0x 2+y242.函数 z=ln(x2+y2)+arcsin （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 解不等式组*得 0x 2+y22.3.设 f(x，y)= ，则 =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *4.设 f(x-y, lnx)= ，则 f(x，y)=A B C
7、（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 * 作变量代换，令*解得*代入给定函数表达式， 则有*，即*5.二元函数 z=(1+3x)2y，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *=2y(1+3x) 2y-13=6y(1+3x)2y-16.已知 f(xy,x-y)=x2+y2，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 作变量代换，令 u=xy，v=x-y，由于 f(xy，x-y)=x 2+y2=(x-y)2+2xy，即 f(u，v)=2u+v 2，所以*7.设 z=(lny)xy，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *=(lny) xyln(lny)
8、y=y(lny)xylnlny8.z=3xy，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *9.设 z=sin(xy2)，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *10.设 ，则 等于_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *.二、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)11.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1x 2+y22）解析：解不等式组*得 1x 2+y22.12.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：yx, x 2+y21 且 x2+y20）解析：解不等式组*得*即 yx, x 2+y21 且 x2
9、+y2013.设 f(x，y)= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2y）解析：因为*，所以 f(x，y)=x 2y15.设 z=ex2y，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2xye x2y）解析：*=e x2y*=2xyex2y.16.设 z=ln(xy+lny)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*17.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：*18.设 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*19.设 ，则
10、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-e）解析：*20.设 z=cos(x2+y2)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2xsin(x 2+y2)）解析：*三、B解答题/B(总题数：5，分数：60.00)求下列函数的偏导数（分数：12.00）(1).设 z= ，求 ， （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(2).设 ，求 ， （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(3).设 z=tan(xy2+x3y)，求 ， （分数：3.00）_正确答案：(*=sec 2(xy2+x3y)(y2+3x2y)，*=sec 2(xy2+x3y)(2xy+x3).)解析：(4
11、).设 ，求 ， （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：求全微分（分数：12.00）(1).设 z=ex2+y2，求 dz（分数：3.00）_正确答案：(*=e x2+y22x, *=ex2+y22y.dz=*=2xex2+y2dx+2yex2+y2dy=2ex2+y2(xdx+ydy).)解析：(2).设 z=arctan(xy)，求 dz（分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(3).设 z=ey(x2+y2)，求 dz（分数：3.00）_正确答案：(z=e y(x2+y2)=ex2y+y3,*=ex2y+y3(2xy), *=ex2y+y3(x2+3y2).*=ey(x2+y2)2
12、xydx+(x2+3y2)dy.)解析：(4).设 z=xe-xy+sin(xy)，求 dz（分数：3.00）_正确答案：(*=e -xy-xye-xy+ycos(xy), *=-x2e-xy+xcos(xy),*=(1-xy)e-xy+ycos(xy)dx+-x2e-xy+xcos(xy)dy.)解析：求由方程所确定的隐函数的偏导数或全微分（分数：9.00）(1).设 z=f(x，y)是由方程 xz=y+ez所确定的隐函数，求 （分数：3.00）_正确答案：(解法(公式法)令 F(x，y，z)=xz-y-e z，则*解法等式两边分别对 x 求偏导数，得*，经整理，得*)解析：(2).设 z=
13、f(x，y)是由方程 e-xy-2z+ez=0 所确定的隐函数，求 dz（分数：3.00）_正确答案：(解法(公式法)令 F(x，y，z)=e -xy-2z+ez，分别求出三元函数 F(x，y，z)对 x，Y，z 的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数*解法(直接微分法)方程两边同时求微分，有e-xy(-ydx-xdy)-2dz+ezdz=0,经整理，得*)解析：(3).设 z=(x，y)是由方程 x2+z2=2yez所确定的隐函数，求 dz（分数：3.00）_正确答案：(解法(公式法)令 F(x，y，z)=x 2+z2-2yez,*解法(直接微分法)方程两边同时求微分，有 2xd
14、x+2zdz=2ezdy+2yezdz，经整理，得*)解析：求二阶偏导数（分数：12.00）(1).设 z=xlny, 求 （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(2).设 z=sin(x2-y2)，求 （分数：3.00）_正确答案：(*=2xcos(x 2-y2),*=2cos(x2-y2)-4x2sin(x2-y2).)解析：(3).设 z=2cos2 ，求 （分数：3.00）_正确答案：(* *=-cos(2x-y).)解析：(4).设 z=ln(x-y2)，求 （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：求下列二元函数的极值（分数：15.00）(1).求函数 f(x，y)=x 2-6
15、x+y2的极值（分数：3.00）_正确答案：(解方程组* 得驻点(3，0)，计算*B2-AC=-40，A=20，所以 f(3，0)=-9 为极小值)解析：(2).求函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值（分数：3.00）_正确答案：(* 得驻点(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2)，故f“xx(x，y)=6x+6，f“ xy(x，y)=0，f“ yy(x，y)=-6y+6，对于驻点(1，0)，A=f“ xx(1，0)=12，B=f“ xy(1，0)=0，C=f“ yy(1，0)=6B2-AC=02-126=-720，所以驻点(1，0)是极小值点，极小值 f(
16、1，0)=-5对于驻点(1，2)，A=f“ xx(1，2)=12，B=f“ xy(1，2)=0，C=f“ yy(1，2)=-6，B2-AC=02-12(-6)=720，所以驻点(1，2)不是极值点对于驻点(-3，0)，A=f“ xx(-3，0)=-12，B=f“ xy(-3，0)=0，C=f“ yy(-3，0)=6，B2-AC=02-(-12)6=720，所以驻点(-3，0)不是极值点对于驻点(-3，2)，A=f“ xx(-3，2)=-12，B=f“ xy(-3，2)=0，C=f“ yy(-3，2)=-6，B2-AC=02-(-12)(-6)=-720，所以驻点(-3，2)是极大值点极大值f(
17、-3，2)=31)解析：(3).求函数 f(x，y)=xy 在约束条件 x+y=1 的极值（分数：3.00）_正确答案：(构造拉格朗日函数 F(x，y，)=xy+(x+y-1)， 求出 F 的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组 * 所以极值点为*，函数的极值为*)解析：(4).从斜边长为 a 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形（分数：3.00）_正确答案：(设直角三角形的两条直角边的长分为 x，y，则求周长函数为 S=x+y+a 在满足约束条件x2+y2=a2下的最大值点F(x，y，)=(x+y+a)+(x 2+y2-a2)，*解得*，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为*时，周长最大，且最大周长为*)解析：(5).在所有对角线为 （分数：3.00）_正确答案：(设长、宽、高分为 x，y，z，长方体的体积为 V=xyz，对角线的长应满足关系式 d2=x2+y2+z2，本题为求体积函数 V=xyz 在约束条件 d2=x2+y2+z2下的极大值作拉格朗 F函数F(x，y，)=xyz+(x 2+y2+z2-d2)，*解得*，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为 2 时，体积最大，且最大体积 V=8)解析：
