1、2017年湖北省黄冈中学高考三模数学 文 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 U=1， 2， 3， 4，集合 A=x N|x2-5x+4 0，则 CUA等于 ( ) A.1， 2 B.1， 4 C.2， 4 D.1， 3， 4 解析：集合 U=1， 2， 3， 4， 集合 A=x N|x2-5x+4 0=x N|1 x 4=2， 3， 所以 CUA=1， 4. 答案： B. 2.复数 z1=2+i，若复数 z1， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-3+
2、4i D.3-4i 解析：由题意可知 z2=-2+i，再利用复数的运算法则即可得出 . 由题意可知 z2=-2+i， 所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=-4-1=-5. 答案： A. 3.某校为了解 1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法 (按等距的规则 )抽取 40 名同学进行检查，将学生从 1 1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 ( ) A.16 B.17 C.18 D.19 解析：从 1000名学生从中抽取一个容量为 40 的样本， 系统抽样的分段间隔为 100040=25， 设第一部分随机抽取一个号码为 x， 则
3、抽取的第 18编号为 x+17 25=443， x=18. 答案： C. 4.已知向量 mur =(-1， 2)， nr =(1， )，若 mnur r ，则 2mnur r 与 mur 的夹角为 ( ) A.23B.34C.3D.4解析：向量 mur =(-1， 2)， nr =(1， )， 若 mnur r ，则 mnurgr =-1 1+2 =0， 解得 =12； 2mnur r =(1， 3)， 2m n mur r gur =1 (-1)+3 2=5， 222 1 3 10mn ur r ， 2 21 2 5m ur ； 221205c o s52 ur r ururgr urm n
4、 mm n m， 2mnur r 与 mur 的夹角为4. 答案： D. 5.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d，若函数 f(x)的图象如图所示，则一定有 ( ) A.b 0， c 0 B.b 0， c 0 C.b 0， c 0 D.b 0， c 0 解析：当 x +时， f(x) +， a 0， f (x)=3ax2+2bx+c， 设 f(x)的极大值点为 x1，极小值点为 x2，则 x1， x2为 3ax2+2bx+c=0的解 . 由图象可知： x1 0， x2 0， x1+x2= 23ba 0， x1x2=3ca 0， b 0， c 0. 答案： B. 6.设 m， n是空间两
5、条直线，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是 ( ) A.当 n时，“ n”是“”成立的充要条件 B.当 m 时，“ m”是“”的充分不必要条件 C.当 m 时，“ n”是“ m n”必要不充分条件 D.当 m 时，“ n”是“ m n”的充分不必要条件 解析 ：当 n时，“ n” “”，故 A正确； 当 m 时，“ m” “”，但是“”推不出“ m”，故 B正确； 当 m 时，“ n” “ m n或 m与 n异面”，“ m n” “ n或 n ”，故 C不正确； 当 m 时，“ n” “ m n”，但“ m n”推不出“ n”，故 D正确 . 答案： C 7.已知双曲线 C： 221xya
6、b(a 0， b 0)的左焦点为 F，第二象限的点 M在双曲线 C的渐近线上，且 |OM|=a，若直线 |MF|的斜率为 ba，则双曲线 C的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= 2x C.y= 3x D.y= 4x 解析：双曲线 C： 221xyab的渐近线方程为 byxa， 由 |OM|=a， 即有 M(-acos MOF， asin MOF)， 即为 tan MOF=ba， sin2 MOF+cos2 MOF=1， 解得22c o saaM O F cab ， sin bM O Fc， 可得 M( 2ac， abc)， 设 F(-c， 0)，由直线 MF的斜率为 ba， 可得20
7、ab bca acc， 化简可得 c2=2a2， b2=c2-a2=a2， 即有双曲线的渐近线方程为 byxa， 即为 y= x. 答案： A. 8.若 x y 1， 0 a b 1，则下列各式中一定正确的是 ( ) A.ax by B.ax by C. ln lnxybaD. ln lnxyba解析：根据指数函数的性质判断即可 . y=ax(0 a 1)在 R递减， x y 1， 0 a b 1， 故 ax ay by. 答案： A. 9.若函数 224 s i n s i n 2 s i n 024xf x x x g 在 2， 23上是增函数，则的取值范围是 ( ) A.(0， 1 B.
8、(0， 34 C.1， + ) D.34， + ) 解析：将函数化简，根据复合函数的性质求出单调区间，与已知区间比较即可 . 224 s i n s i n 2 s i n24xf x x x g 24 s i n s i n 2 124124 2 122 1 2 12xx c o s xc o s xs i n x c o s xs i n x s i n x c o s xs i n x gg 2，2是函数含原点的递增区间 . 又函数在 2， 23上递增， 2，2 2， 23， 得不等式组 22232 ，解得 341 ， 又 0， 0 34， 的取值范围是 (0， 34. 答案： B. 1
9、0.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形 .若 |PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 e1 e2的取值范围是 ( ) A.(13， + ) B.(15， + ) C.(19， + ) D.(0， + ) 解析 ：设椭圆和双曲线的半焦距为 c， |PF1|=m， |PF2|=n， (m n)， 由于 PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形 .若 |PF1|=10， 即有 m=10， n=2c， 由椭圆的定义可得 m+n=2a1， 由双曲线的定义可得 m-
10、n=2a2， 即有 a1=5+c， a2=5-c， (c 5)， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c 10， 可得 c 52，即有 52 c 5. 由离心率公式可得 212 212 212525 1c c ceea a cc gg， 由于22514c ，则有2125 311c . 则 e1 e2的取值范围为 (13， + ). 答案 ： A. 11.三棱锥 S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积为 ( ) A.32 B.1123C.283D.643解析：由三视图可得： SC平面 ABC，且底面 ABC为正三角形， 如图所示，取
11、AC 中点 F，连 BF，则 BF AC， 在 Rt BCF中， BF=2 3 ， CF=2， BC=4， 在 Rt BCS中， CS=4，所以 BS=4 2 . 设球心到平面 ABC的距离为 d， 因为 SC平面 ABC，且底面 ABC为正三角形，所以 d=2， 因为 ABC的外接圆的半径为 4 33， 所以由勾股定理可得 222 4 2 8333Rd ， 所以三棱锥外接球的表面积是 4 R2=1123. 答案： B. 12.设实数 x， y满足约束条件 2201yxxy ，则 12xy的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3 解析：实数 x， y满足约束条件 2201
12、yxxy 的可行域如图所示： 可得 A(2， 2)， B(2， 12)， C(12， 12)， 目标函数在线段 CA上取得最小值 . 则 22 211 2xyyy ，当且仅当 y= 22， x= 22时取等号 . 答案： C. 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.若命题“ x0 R， x02-2x0+m 0”是假命题，则 m的取值范围是 . 解析：命题“ x0 R， x02-2x0+m 0”是假命题， 则命题“ x R， x2-2x+m 0”是真命题 . x R， m (-x2+2x)max. -x2+2x=-(x-1)2+1 1， m 1. 则 m的取值范围
13、是 (1， + ). 答案： (1， + ). 14.高三某班一学习小组的 A、 B、 C、 D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步， A不在散步，也不在打篮球； B不在跳舞，也不在散步；“ C 在散步”是“ A在跳舞”的充分条件； D不在打篮球，也不在散步； C 不在跳舞，也不在打篮球 .以上命题都是真命题，那么 D在 . 解析：以上命题都是真命题， 对应的情况是： 则由表格知 A在跳舞， B在打篮球， “ C在散步”是“ A在跳舞”的充分条件， C在散步， 则 D在画画 . 答案：画画 15.设 f(x)， g(x)分
14、别是定义在 R上的奇函数和偶函数 .当 x 0时， f (x)g(x)+f(x)g (x) 0，且 g(-3)=0，则不等式 f(x)g(x) 0的解集是 . 解析 ：令 h(x)=f(x)g(x)，则 h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)，因此函数 h(x)在 R 上是奇函数 . 当 x 0时， h (x)=f (x)g(x)+f(x)g (x) 0， h(x)在 x 0时单调递增， 故函数 h(x)在 R上单调递增 . h(-3)=f(-3)g(-3)=0， h(x)=f(x)g(x) 0=h(-3)， x -3. 当 x 0时，函数 h(x)在 R上是奇函数，
15、可知： h(x)在 (0， + )上单调递增，且 h(3)=-h(-3)=0， h(x) 0，的解集为 (0， 3). 不等式 f(x)g(x) 0 的解集是 (-， -3) (0， 3). 答案： (-， -3) (0， 3). 16.在 ABC中，已知 AB=2， cos ABC=13，若点 D为 AC 的中点，且 BD= 172，则 sinA= . 解析：点 D为 AC的中点， 12B D B A B Cuuur uur uuur， 两边平方得： 22 172414 c a a c c o s B g， 把 c=2代入得： 3a2+4a-39=0， 分解得： (3a+13)(a-3)=0
16、， 解得： a= 133(舍去 )或 a=3， AB=c=2， cosB=13， 2 2s i n 1 c o 2s3BB ， 由余弦定理得： 22 443b a a ， 把 a=3代入得： b=3， 由正弦定理sin sinabAB，得 s i n 23 2s i n aBA b， 答案： 2 23. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 60分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知数列 an满足 an+1=3an+2，且 a1=2. ( )求证：数列 an+1是等比数列 . 解析： ( )推导出 an+1+1=3(an+1)， a1+1=3，由此能证明数列 an+1是以
17、 3为首项， 3为公比的等比数列 . 答案： ( )数列 an满足 an+1=3an+2，且 a1=2. 由题意可得 an+1+1=3an+3，即 an+1+1=3(an+1)， 又 a1+1=3 0，数列 an+1是以 3为首项， 3为公比的等比数列 . ( )判断数列 123nnnaa 的前 n项和 Tn与 12 的大小关系，并说明理由 . 解析： ( )由数列 an+1是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，得到 31na n ，从而 1112 3 2 3 1 13 1 3 13 1 3 1nnnnnnnnaa ，由此利用裂项求和法能判断数列 123nnnaa 的前 n项和 Tn与 1
18、2的大小关系 . 答案： ( )Tn 12. 数列 an+1是以 3为首项， 3为公比的等比数列， an+1=3n，即 an=3n-1， 1112 3 2 3 1 13 1 3 13 1 3 1nnnnnnnnaa ， 数列 123nnnaa 的前 n项和： 2 2 3 3 4 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 1 2nn n nT . 18.如图 (1)所示，已知四边形 SBCD是由直角 SAB和直角梯形 ABCD拼接而成的，其中 SAB= SDC=90，且点 A 为线段 SD 的中点， AD=2DC=1，
19、 AB=SD，现将 SAB 沿 AB 进行翻折，使得二面角 S-AB-C 的大小为 90，得到的图形如图 (2)所示，连接 SC，点 E、 F 分别在线段SB、 SC 上 . ( )证明： BD AF. 解析： ( )推导出 SA AD， SA AB，从而 SA平面 ABCD，进而 SA BD，再求出 AC BD，由此得到 BD平面 SAC，从而能证明 BD AF. 答案： ( )四边形 SBCD 是由直角 SAB 和直角梯形 ABCD 拼接而成的，其中 SAB=SDC=90， 二面角 S-AB-C的大小为 90， SA AD， 又 SA AB， AB AD=A， SA平面 ABCD， 又 B
20、D 平面 ABCD， SA BD， 在直角梯形 ABCD中， BAD= ADC=90， AD=2CD=1， AB=2， tan ABD=tan CAD=12， 又 DAC+ BAC=90， ABD+ BAC=90，即 AC BD， 又 AC SA=A， BD平面 SAC， AF 平面 SAC， BD AF. ( )若三棱锥 B-AEC的体积是四棱锥 S-ABCD体积的 25，求点 E到平面 ABCD的距离 . 解析： ( )设点 E 到平面 ABCD 的距离为 h，由 VB-AEC=VE-ABC，且 25E ABCS ABCDVV ，能求出点 E 到平面 ABCD的距离 . 答案： ( )设点
21、 E到平面 ABCD的距离为 h， VB-AEC=VE-ABC，且 25E ABCS ABCDVV ， 1 1321 25 512 12213 V gg梯 形ABCE A B CS A B C DA B C DSh hV SVSA， 解得 h=12， 点 E到平面 ABCD的距离为 12. 19.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12月 1日至 12月 5日的每天昼夜温差与实验室每天每 100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2组，用剩下的 3组数据求线性回归方程，再对被选取的 2组数据
22、进行检验 . ( )求选取的 2组数据恰好是不相邻 2天数据的概率 . 解析： ( )求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到不相邻两组数据的概率值 . 答案： ( )设抽到不相邻两组数据为事件 A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况， 每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4种， 所以 4311 0 5PA . ( )若选取的是 12月 1日与 12月 5日的两组数据，请根据 12月 2日至 12月 4日的数据，求出 y关于 x的线性回归方程 y bx a$ $ $ ；假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2
23、 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问 (2)中所得的线性回归方程是否可靠？ 附：参考公式： 1221niiiniix y n x ybx n x$ ， a y bx$. 解析： ( )由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归直线方程，利用方程计算并判断所得到的线性回归方程是否可靠 . 答案： ( )由数据，求得 1 1 0 1 1 1 3 1 2 8 1 0 . 85x ， 1 2 3 2 5 3 0 2 6 1 6 2 45y ； 由公式，求得 511 0 2 3 1 1 2 5 1 3 3 0 1 2 2 6 8 1 6 1 3 3 5iiixy ， 5 2 2 2 2
24、 2 211 0 1 1 1 3 1 2 8 5 9 8iix ； 所以 122152niiiniix y n x ybx n x$ ， 3a y b x $ ； 所以 y关于 x的线性回归方程是 5 32yx$； 当 x=10时， 5 1 0 3 2 22y $， |22-23| 2； 同样，当 x=8时， 5 8 3 1 72y $， |17-16| 2； 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的 . 20.如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知圆 C： (x+1)2+y2=16，点 A(1， 0)，点 B(a， 0)(|a| 3)，以 B 为圆心， |BA|的半径作圆，交圆 C 于点 P
25、，且的 PBA 的平分线次线段 CP 于点Q. ( )当 a变化时，点 Q 始终在某圆锥曲线是运动，求曲线的方程 . 解析： ( )推导出 QAB QPB，从而 QC+QA=4，由椭圆的定义可知， Q点的轨迹是以 C， A为焦点， 2a=4的椭圆，由此能求出点 Q的轨迹方程 . 答案： ( ) BA=BP， BQ=BQ， PBQ= ABQ， QAB QPB， QA=QP， CP=CQ+QP=QC+QA， QC+QA=4， 由椭圆的定义可知， Q 点的轨迹是以 C， A为焦点， 2a=4的椭圆， 故点 Q的轨迹方程为 22143xy. ( )已知直线 l 过点 C，且与曲线交于 M、 N 两点，
26、记 OCM 面积为 S1， OCN 面积为 S2，求12SS 的取值范围 . 解析： ( )设直线 l： x=my-1，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，推导出 2221 1 1ySyS y y ，由 221143x myxy ，得 (3m2+4)y2-6my-9=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出12SS 的取值范围 . 答案： ( )由题可知，设直线 l： x=my-1，不妨设 M(x1， y1)， N(x2， y2) S1=S OMC=12 |OC| |y1|， S2=S ONC=12 |OC| |y2|， 1112 2 2ySyS y y ， 221143x
27、 myxy ， (3m2+4)y2-6my-9=0， =144m2+144 0， 12 212 2634934myymyym ， 2 21221244 03 4 3yy my y m ， 即122142 03yyyy ， 12133yy ， 112213 3Sy ，. 21.已知函数 f(x)=lnx-ax+b(a， b R)有两个不同的零点 x1， x2. ( )求 f(x)的最值 . 解析： ( )求出导函数 f (x)=1x-a，利用 f(x)在 (0， + )内必不单调，推出 a 0，判断单调性，然后求解最值 . 答案： ( )f (x)=1x-a， f(x) 有两个不同的零点， f(
28、x)在 (0， + ) 内必不单调，故 a 0， 此时 f (x) 0 x 1a， f(x)在 (0， 1a)上单增， (1a， + )上单减， f(x)max=f(1a)=-lna-1+b，无最小值 . ( )证明： x1 x221a . 解析： ( )通过 1122ln 0ln 0x a x bx a x b ，两式相减得 1 122ln 0x a x xx ，得到1212ln xxa xx ，故要证 x1x221a ，即证 2122 1 1 22 1 2 2 1l n 2xxx x xx x x x x ，不妨设 x1 x2，令 12xx =t (0，1)，则只需证 ln2t t-2+1
29、t， 构造函数 g(t)=ln2t-t-1t+2，通过函数的导数以及函数的单调性求解最值即可 . 答案： ( )由题知 1122ln 0ln 0x a x bx a x b ， 两式相减得 1 122ln 0x a x xx ，即1212ln xxa xx ， 故要证 x1x221a ，即证 212122 12lnxxxxxx ， 即证 2122 1 1 22 1 2 2 1l n 2xxx x xx x x x x ， 不妨设 x1 x2，令12xx =t (0， 1)，则只需证 ln2t t-2+1t ， 设 g(t)=ln2t-t-1t+2，则 212 l n112 l n 1 tt t
30、g t tt t t gg ， 设 h(t)=2lnt-t+1t，则 221 0thtt ， h(t)在 (0， 1)上单减， h(t) h(1)=0， g(t)在 (0， 1)上单增， g(t) g(1)=0， 即 ln2t t-2+1t，在 t (0， 1)时恒成立，原不等式得证 . 请考生在第 22、 23 两 题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 . 选修 4-4参数方程与极坐标系（本题满分 10 分） 22.在平面直角坐标系 xoy中，直线 C1： 3 40xy ，曲线 C2： cos1 sinxy(为参数 )，以以
31、坐标原点 O 为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系 . ( )求 C1， C2的极坐标方程 . 解析： ( )由 x= cos， y= sin，能求出曲线 C1的极坐标方程；曲线 C2消去参数得曲线 C2的普通方程为 x2+(y-1)2=1，由 x= cos， y= sin，能求出 C2的极坐标方程 . 答案： ( )直线 C1： 3 40xy ， x= cos， y= sin， 曲线 C1的极坐标方程为 c o s s i n 4 03 ， 曲线 C2： cos1 sinxy， 消去参数得曲线 C2的普通方程为 x2+(y-1)2=1， x= cos， y= sin， C2的极坐标方程
32、为： ( cos )2+( sin -1)2=1， 2-2 sin =0， C2的极坐标方程为： =2sin . ( )若曲线 C3的极坐标方程为 = ( 0， 02)，且曲线 C3分别交 C1， C2于点 A，B两点，求 OBOA的最大值 . 解析： ( )设 A( 1， )， B( 2， )，14c o s i n3 s ， 2=2sin，则2114 216OB s i nOA ，由此能求出 OBOA的最大值 . 答案： ( )曲线 C3为 = ( 0， 02)， 设 A( 1， )， B( 2， )，14c o s i n3 s ， 2=2sin， 则 212 s i n c o s s
33、 i n s i n 2 111344 6OBOA ， =3， 12maxOBOA . 选修 4-5不等式选讲（本题满分 10 分） 23.设函数 1f x x a x a . ( )当 a=1时，解不等式： f(x) 12. 解析： ( )通过讨论 x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可 . 答案： ( )当 a=1时，解不等式： f(x) 12等价于 |x+1|-|x| 12， 当 x -1时，不等式化为 -x-1+x 12，无解； 当 -1 x 0时，不等式化为 x+1+x 12，解得 14 x 0； 当 x 0时，不等式化为 x+1-x 12，解得 x 0. 综上所述，不等式 f
34、(x) 12的解集为 14， + ). ( )若对任意 a 0， 1，不等式 f(x) b解集不为空集，求实数 b的取值范围 . 解析： ( )问题转化为 b f(x)max，根据不等式的性质求出 f(x)的最大值，从而求出 b的范围即可 . 答案： ( )不等式 f(x) b解集不为空集， b f(x)max， 1 1 1 1f x x a x a x a x a a a a a ， 且仅当 1xa时取等号， 1m a xf x a a ， 对任意 a 0， 1，不等式 f(x) b解集不为空集， 1m inb a a ，令 1g a a a ， 22 11 2 1 1 2 1 1 2214g a a a a a a g， 当 a 0， 12上递增， a 12， 1递减，当且仅当 a=0或 a=1， g(a)min=1， b的取值范围为 (-， 1.
