1、专升本高等数学(二)-求极限的方法、极限的应用及答案解析(总分：99.97，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)1.若 ，则必有_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，下列函数为无穷小量的是_A Bx 2+sinx C （分数：1.00）A.B.C.D.3.若 （分数：1.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在 x=a处可导，则函数 y=|f(x)|在 x=a处不可导的充分条件是_ A.f(a)=0，f(a)=0 B.f(a)=0，f(a)0 C.f(a)0，f(a)0 D.f(a)0，f(a)0（分数：1.00）A.B.C
2、.D.5.当 xa(a0)时，(lnx-lna)与(x-a)是_无穷小量 A.高阶 B.低阶 C.同阶但不等价 D.等价（分数：1.00）A.B.C.D.6.若 （分数：1.00）A.B.C.D.7.设 （分数：1.00）A.B.C.D.8.曲线 （分数：1.00）A.B.C.D.9.当_时，曲线 有垂直渐近线 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：1，分数：28.00)求极限（分数：28.00）(1). （分数：2.00）填空项 1:_(2) （分数：2.00）填空项 1:_(3). （分数：2.00）填空项 1:_(4). （分数：2.00）填空项 1
3、:_(5). （分数：2.00）填空项 1:_(6). （分数：2.00）填空项 1:_(7). （分数：2.00）填空项 1:_(8). （分数：2.00）填空项 1:_(9). （分数：2.00）填空项 1:_(10). （分数：2.00）填空项 1:_(11). （分数：2.00）填空项 1:_(12). （分数：2.00）填空项 1:_(13). （分数：2.00）填空项 1:_(14).曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：3，分数：63.00)求满足下列条件的 a，b 的值（分数：28.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3
4、). （分数：2.00）_(4).求极限 （分数：2.00）_(5).已知 ，求 （分数：2.00）_(6).已知 ，求 （分数：2.00）_(7).已知 ，求 （分数：2.00）_(8).若 ，求 （分数：2.00）_(9).设函数 f(x)在 x=0处可导，f(0)=0，且 ，求 （分数：2.00）_(10).求极限 （分数：2.00）_(11).求极限 （分数：2.00）_(12).求极限 （分数：2.00）_(13).求极限 （分数：2.00）_(14).求 k的值，使 （分数：2.00）_当 x时，证明：（分数：14.00）(1).是无穷小量； （分数：2.00）_(2). （分数：
5、2.00）_(3).设 an=1- ，证明：当 n时， （分数：2.00）_(4).设函数 （分数：2.00）_(5).设当 x0 时，f(x)= （分数：2.00）_(6).当 a为何值时， （分数：2.00）_(7).讨论函数 （分数：2.00）_设 a0，且 （分数：20.97）(1).当 a为何值时，x=0 是 f(x)的连续点?（分数：2.33）_(2).当 a为何值时，x=0 是 f(x)的间断点?（分数：2.33）_(3).当 a=2时，求 f(x)的连续区间（分数：2.33）_(4).若 f(x)为偶函数，且 f(0)存在，证明：f(0)=0（分数：2.33）_(5).设 f(
6、x)在 x=2处连续，且 （分数：2.33）_(6).判别级数 （分数：2.33）_(7).设 （分数：2.33）_(8).确定幂级数 （分数：2.33）_(9).求幂级数 （分数：2.33）_专升本高等数学(二)-求极限的方法、极限的应用答案解析(总分：99.97，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：9.00)1.若 ，则必有_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：2.当 x0 时，下列函数为无穷小量的是_A Bx 2+sinx C （分数：1.00）A.B. C.D.解析：3.若 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：4.设函数 f(x)在
7、x=a处可导，则函数 y=|f(x)|在 x=a处不可导的充分条件是_ A.f(a)=0，f(a)=0 B.f(a)=0，f(a)0 C.f(a)0，f(a)0 D.f(a)0，f(a)0（分数：1.00）A.B. C.D.解析：举例 f(x)=x2在 x=0，x=1 处情况，推翻 A，C 两个选项f(x)=-x 2在 x=1处情况推翻 D选项又从正面推导如下若 f(a)=0，f(a)0，则*左、右极限不相等，故不可导5.当 xa(a0)时，(lnx-lna)与(x-a)是_无穷小量 A.高阶 B.低阶 C.同阶但不等价 D.等价（分数：1.00）A.B.C. D.解析：6.若 （分数：1.0
8、0）A.B.C. D.解析：因*，得 a=2；故 b=*=-57.设 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：因为*，*8.曲线 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：因为*=-2，所以 x=0不是垂直渐近线 同理，*，所以 x=-1也不是垂直渐近线而*故x=1才是唯一的垂直渐近线9.当_时，曲线 有垂直渐近线 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：因为*时，*，所以有垂直渐近线 x=0二、B填空题/B(总题数：1，分数：28.00)求极限（分数：28.00）(1). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：(2) （分数：2.00）填空项 1:_ （
9、正确答案：）解析：(3). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：(4). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：(5). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：(6). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e 3）解析：(7). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：(8). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：(9). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：(10). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-ln2）解析：(11). （分数：2.00）填空项 1:
10、_ （正确答案：0）解析：(12). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：(13). （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：无穷小量）解析：(14).曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：三、B解答题/B(总题数：3，分数：63.00)求满足下列条件的 a，b 的值（分数：28.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(因为分母极限为 0，所以*，所以 a=-6 从而 b=*=5，所以 a=-6，b=5)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(a=ln2)解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(由*知，1+a=0，a=-
11、1 原式=*=b=-3，所以 a=-1，b=-3)解析：(4).求极限 （分数：2.00）_正确答案：(利用倒数换元法令*，当 x时，t0原式为 *)解析：(5).已知 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(用相反数换元法令-x=t，则当 x-时，t+，所以 *)解析：(6).已知 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(7).已知 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(因为分母极限为 0，所以必须有 f(x)sin2x0，利用当 x0 时的等价无穷小：*，e 3x-13x有原式左边=*=*，从而*)解析：(8).若 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(*，*，所以*不存在 *，*
12、，所以*)解析：(9).设函数 f(x)在 x=0处可导，f(0)=0，且 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(10).求极限 （分数：2.00）_正确答案：(*=*=*)解析：(11).求极限 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(12).求极限 （分数：2.00）_正确答案：(构造级数*先判定此级数的收敛性 因为 * 有 * 所以级数*收敛，由级数收敛的必要条件知，*)解析：(13).求极限 （分数：2.00）_正确答案：(用定积分定义法 *)解析：(14).求 k的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(* * 令*，得*)解析：当 x时，证明：（分数：14.00）(
13、1).是无穷小量； （分数：2.00）_正确答案：(因为*=*=0，所以原式是无穷小量；)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(因为* 所以*)解析：(3).设 an=1- ，证明：当 n时， （分数：2.00）_正确答案：(因为*所以 an为无穷小量，则*为无穷大量)解析：(4).设函数 （分数：2.00）_正确答案：(若直接用求导法则，得*，显然 y(0)无意义但若用定义法(最可靠)便可得：y(0)=*)解析：(5).设当 x0 时，f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(由于 F(x)在点 x=0处连续，所以 F(0)=*)解析：(6).当 a为何值时， （分数：2.00）
14、_正确答案：(因为*=*，而 f(0)=a，故*)解析：(7).讨论函数 （分数：2.00）_正确答案：(因为*，*=*(1-3e -x)=-2=f(0)所以 f(x)在分界点 x=0处左连续，但不右连续x=0 是 f(x)的第一类(跳跃)间断点)解析：设 a0，且 （分数：20.97）(1).当 a为何值时，x=0 是 f(x)的连续点?（分数：2.33）_正确答案：(* 故当 a=1时，f(x)在 x=0处是连续的)解析：(2).当 a为何值时，x=0 是 f(x)的间断点?（分数：2.33）_正确答案：(要想 x=0是 f(x)的间断点，只需*，即 a1)解析：(3).当 a=2时，求
15、f(x)的连续区间（分数：2.33）_正确答案：(当 a=2时，f(x)在 x=0处不左连续，但右连续，故 f(x)的连续区间为(-，0)及0，+)解析：(4).若 f(x)为偶函数，且 f(0)存在，证明：f(0)=0（分数：2.33）_正确答案：(由已知条件只能知道 f(x)在 x=0处可导，在 x=0的某个邻域内是否可导并不知道，所以不能对 f(-x)=f(x)两边求导正确的证明方法是用导数定义法由导数定义*注意：负数换元，令-x=t，则 x0 -时，t0 +；同时用到 f(x)=f(-x)因为 f(x)在 x=0处可导，有 f(0-)=f(0+)=f(0)，故 f(0)=-f(0)，所
16、以 f(0)=0)解析：(5).设 f(x)在 x=2处连续，且 （分数：2.33）_正确答案：(用导数定义求解为此应先求出函数值 f(2)因为连续，所以 f(2)=*=0 则 *)解析：(6).判别级数 （分数：2.33）_正确答案：(收敛因为*)解析：(7).设 （分数：2.33）_正确答案：(只须考虑分界点处的连续及可导性因为 f(x)在 x=1处连续，则 1=a+b又 f(1-)=(x2)|x=1=2，f(1 +)=(ax+b)|x=1=a，而 f(x)在 x=1处可导，则 a=2，于是 b=-1)解析：(8).确定幂级数 （分数：2.33）_正确答案：(因*，所以收敛半径为 R=a当 x=a时，原级数化为*，它为调和级数，发散的； 当 x=-a时，原级数化为*，它为交错级数，是收敛的 故收敛域为-a，a)解析：(9).求幂级数 （分数：2.33）_正确答案：(当 x0 时，*=3x 2，所以当 3x21 时，即*时，幂级数*收敛收敛半径*由于*时，幂级数*为*发散，因此收敛域为*)解析：
