1、专升本（高等数学一）-试卷 100 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小2.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内可导，且 f(x 0 )为 f(x)的个极小值，则 （分数：2.00）A.一 2B.0C.1D.23.设函数 f(x)= ，则 f(x)等于 （分数：2.00）A.B.C.D.4.函数 y=x-arctanx 在(一，+)内（分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续5.设f
2、(x)dx=e x +C,则xf(1 一 x 2 )dx 为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 (x)= （分数：2.00）A.tanx 2B.tanxC.sec 2 x 2D.2xtanx 27.下列反常积分收敛的 （分数：2.00）A.B.C.D.8.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性9.方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是（分数：2.00）A.椭球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物而10.曲线 （分数：2.00）A.有水平渐近线，无铅直渐近线B.无水平渐近线，有铅直渐近线C.既有水平渐近线，又有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也
3、无铅直渐近线二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f“(x)连续， （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=ax 3 一 6ax 2 +b 在区间一 1，2的最大值为 2，最小值为一 29，又知 a0则 a，b 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设曲线 （分数：2.00）填空项 1:_16.当 p 1 时，级数 （分数：2.00）填空项 1:_17.求 （分数：2.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.方程 y“一 2y
4、+5y=e x sin2x 的特解可没为 y*= 1（分数：2.00）填空项 1:_20. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.确定函数 f(x，y)=3axy-x 3 -y 3 (a0)的极值点（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.讨论级数 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.证明：e x 1+x(x0)（分数：2.00）_26.设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)= （分数：2.00）_27.求方程 y“-2y+5y=e x 的通解（分数：2.00）_28.设 f(x)= 0 a-x e y(2a-y)
5、dy，求 0 a f(x)dx(提示：利用二重积分交换顺序去计算)（分数：2.00）_专升本（高等数学一）-试卷 100 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.当 x0 时，无穷小 x+sinx 是比 x（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因2.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内可导，且 f(x 0 )为 f(x)的个极小值，则 （分数：2.00）A.一 2B.0 C.1D.2解析：解析：因 f(x)在 x=x 0 处取得极值，且可导于是 f(x 0 )=0又 3.设函
6、数 f(x)= ，则 f(x)等于 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：4.函数 y=x-arctanx 在(一，+)内（分数：2.00）A.单调增加 B.单调减少C.不单调D.不连续解析：解析：因 y=xarctanx，则 y=1 一5.设f(x)dx=e x +C,则xf(1 一 x 2 )dx 为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6.设 (x)= （分数：2.00）A.tanx 2B.tanxC.sec 2 x 2D.2xtanx 2 解析：解析：因 7.下列反常积分收敛的 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：8.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.
7、条件收敛C.发散 D.无法确定敛散性解析：解析：级数的通项为 此级数为 p 级数又因9.方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是（分数：2.00）A.椭球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物而 解析：解析：由方程特征知，方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是圆柱面10.曲线 （分数：2.00）A.有水平渐近线，无铅直渐近线B.无水平渐近线，有铅直渐近线C.既有水平渐近线，又有铅直渐近线 D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设
8、f“(x)连续， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yf“(xy)+f(x+y)+yf“(x+y)）解析：解析：13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：用极坐标计算14.设 f(x)=ax 3 一 6ax 2 +b 在区间一 1，2的最大值为 2，最小值为一 29，又知 a0则 a，b 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)=3ax 2 一 12ax，f(x)=0，则 x=0 或 x=4而 x=4 不在一 12中，故舍去f“(x)=6ax 一 12a，f“(0)=一 12a因为
9、 a0，所以 f“(0)0，所以 x=0 是极值点又因 f(一 1)=一 a 一6a+b=b 一 7a，f(0)=b，f(2)=8a 一 24a+b=b16a，因为 a0，故当 x=0 时，f(x)最大，即 b=2；当 x=2时，f(x)最小所以 b 一 16a=一 29，即 16a=2+29=31 15.设曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=一 1）解析：解析：16.当 p 1 时，级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 当 p1 时收敛，由比较判别法知 p1 时，17.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
10、确答案： ）解析：解析：18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：19.方程 y“一 2y+5y=e x sin2x 的特解可没为 y*= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xe x (Asin2x+Bcos2x)）解析：解析：由特征方程为 r 2 一 2r+5=0，得特征根为 12i，而非齐次项为 e x sin2x，因此其特解应设为 y*=Axe x sin2x+Bxe x cos2x=xe x (Asin2x+Bcos2x)20. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数
11、：8，分数：16.00)21.确定函数 f(x，y)=3axy-x 3 -y 3 (a0)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在(0，0)点，0，所以(0，0)不是极值点 在(a，a)点，0且)解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.证明：e x 1+x(x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 F(x)=e x 在0，x上使用拉格朗日中值定理得 F(x)-F(0)=F()x，0x， 因 F()=e 1，即
12、)解析：26.设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)= 可导，在该式两边乘 x 得 xf(x)=x+ 1 x f(t)dt， 两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)， )解析：27.求方程 y“-2y+5y=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“一 2y+5y=0 的特征方程为 r 2 一 2r+5=0。 故特征根为 r=1+2i。 非齐次项的特解可设为 y=Ae x ，代入原方程得 所以方程的通解为 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+ )解析：28.设 f(x)= 0 a-x e y(2a-y) dy，求 0 a f(x)dx(提示：利用二重积分交换顺序去计算)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)代入有 0 a f(x)dx= 0 a dx 0 a-x e y(2a+y) dy = 0 a dy 0 a-y e y(2a+y) dx = 0 a (a-y)e y(2a-y) dy )解析：
