1、2017年湖南省岳阳市中考数学 一、选择题 (本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分 ) 1. 6的相反数是 ( ) A. 6 B.16C.6 D. 6 解析： 6的相反数是 6. 答案： A. 2.下列运算正确的是 ( ) A.(x3)2=x5 B.( x)5= x5 C.x3x 2=x6 D.3x2+2x3=5x5 解析： A、原式 =x6，故本选项错误； B、原式 = x5，故本选项正确； C、原式 =x5，故本选项错误； D、 3x2与 2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误 . 答案： B. 3.据国土资源部数据显示，我国是全球 “ 可燃冰 ” 资源储量最多的国家之一，海、陆总
2、储量约为 39000000000吨油当量，将 39000000000用科学记数法表示为 ( ) A.3.9 1010 B.3.9 109 C.0.39 1011 D.39 109 解析：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a 10n，其中 1 |a| 10， n 为整数，39000000000=3.9 1010. 答案： A. 4.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 球的主视图、左视图、俯视图都是圆， 主视图、左视图、俯视图都相同的是 B. 答案： B. 5.从 2 ， 0， ， 3.14， 6这 5个数中随机抽取一个数，抽到有理数
3、的概率是 ( ) A.15B.25C.35D.45解析： 在 2 ， 0， ， 3.14， 6这 5个数中只有 0、 3.14和 6为有理数， 从 2 ， 0， ， 3.14， 6这 5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 35. 答案： C. 6.解分式方程 22111xxx，可知方程的解为 ( ) A.x=1 B.x=3 C.x=12D.无解 解析：去分母得： 2 2x=x 1， 解得： x=1， 检验：当 x=1时， x 1=0，故此方程无解 . 答案： D. 7.观察下列等式： 21=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， 26=64， ，根据这个规律，则21+2
4、2+23+24+ +22017的末位数字是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 解析： 21=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， 26=64， ， 2017 4=5061 ， (2+4+8+6) 506+2=10122， 21+22+23+24+ +22017的末位数字是 2， 答案： B. 8.已知点 A在函数1 1y x(x 0)的图象上，点 B在直线 y2=kx+1+k(k为常数，且 k 0)上 .若 A， B 两点关于原点对称，则称点 A， B 为函数 y1， y2图象上的一对 “ 友好点 ” .请问这两个函数图象上的 “ 友好点 ” 对数的情况为 ( ) A
5、.有 1对或 2对 B.只有 1对 C.只有 2对 D.有 2对或 3对 解析 ：设 A(a， 1-a)， 由题意知，点 A关于原点的对称点 B(a， 1-a)， )在直线 y2=kx+1+k上， 则 1a= ak+1+k， 整理，得： ka2 (k+1)a+1=0 ， 即 (a 1)(ka 1)=0， a 1=0或 ka 1=0， 则 a=1或 ka 1=0， 若 k=0，则 a=1，此时方程 只有 1个实数根，即两个函数图象上的 “ 友好点 ” 只有 1对； 若 k 0，则 1ak，此时方程 有 2个实数根，即两个函数图象上的 “ 友好点 ” 有 2对， 综上，这两个函数图象上的 “ 友好
6、点 ” 对数情况为 1对或 2对 . 答案 ： A. 二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分 ) 9.函数 17y x 中自变量 x的取值范围是 _. 解析 ：函数 17y x 中自变量 x的范围是 x 7. 答案： x 7 10.因式分解： x2 6x+9=_. 解析 ： x2 6x+9=(x 3)2. 答案： (x 3)2 11.在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95， 85， 83， 95， 92， 90， 96，则这组数据的中位数是 _，众数是 _. 解析 ：这组数据从小到大排列为： 83， 85， 90， 92， 95，
7、95， 96.则中位数是： 92； 众数是 95. 答案 ： 92， 95. 12.如图，点 P是 NOM 的边 OM上一点， PD ON于点 D， OPD=30 ， PQ ON，则 MPQ的度数是 _. 解析 ： PD ON 于点 D， OPD=30 ， Rt OPD中， O=60 ， 又 PQ ON， MPQ= O=60 . 答案 ： 60 . 13.不等式组 303 1 2 9xxx 的解集是 _. 解析 ： 303 1 2 9xxx 解不等式 得： x 3， 解不等式 得： x 3， 不等式组的解集为 x 3. 答案 ： x 3. 14.在 ABC中 BC=2， AB=23， AC=b
8、，且关于 x的方程 x2 4x+b=0有两个相等的实数根，则 AC边上的中线长为 _. 解析 ： 关于 x的方程 x2 4x+b=0有两个相等的实数根， =16 4b=0， AC=b=4， BC=2， AB=23， BC2+AB2=AC2， ABC是直角三角形， AC 是斜边， AC边上的中线长 =12AC=2. 答案 ： 2. 15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了 “ 割圆术 ” ，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值，设半径为 r 的圆内接正 n边形的周长为 L，圆的直径为 d，如图所示，当 n=6 时， 62Lrdr=3，那么当 n=12 时，
9、 Ld=_.(结果精确到 0.01，参考数据： sin15=cos75 0.259) 解析 ：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为 30 ，即 O=30 ， ABO= A=75 ， 作 BC AO于点 C，则 ABC=15 ， AO=BO=r， BC=12r， 1 32OC r， AC=(1 1 32)r， Rt ABC中， cos ACAAB， 即 0.259=1132 rAB， AB 0.517r， L=12 0.517r=6.207r， 又 d=2r， 6.2072Lrdr 3.10， 答案 ： 3.10 16.如图， O为等腰 ABC的外接圆，直径 A
10、B=12， P为弧 BC 上任意一点 (不与 B， C重合 )，直线 CP 交 AB延长线于点 Q， O在点 P处切线 PD 交 BQ于点 D，下列结论正确的是 _.(写出所有正确结论的序号 ) 若 PAB=30 ，则弧 BP 的长为 ； 若 PD BC，则 AP平分 CAB； 若 PB=BD，则 PD=63； 无论点 P在弧 BC 上的位置如何变化， CP CQ为定值 . 解析 ：如图，连接 OP， AO=OP， PAB=30 ， POB=60 ， AB=12， OB=6， 弧 BP 的长为 60 6180=2 ，故 错误； PD是 O的切线， OP PD， PD BC， OP BC， CP
11、 BP ， PAC= PAB， AP平分 CAB，故 正确； 若 PB=BD，则 BPD= BDP， OP PD， BPD+ BPO= BDP+ BOP， BOP= BPO， BP=BO=PO=6，即 BOP是等边三角形， 3 6 3P D O P，故 正确； AC=BC， BAC= ABC， 又 ABC= APC， APC=BAC， 又 ACP= QCA， ACP QCA， CP CACA CQ，即 CP CQ=CA2(定值 )，故 正确 . 答案 ： . 三、解答题 (本大题共 8小题，共 64分 ) 17.计算： 10 12 s i n 6 0 3 3 22| . 解析： 根据特殊角的三
12、角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可 . 答案 ：原式 = 32 3 3 1 22 =2. 18.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程 . 已知：如图，在 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 O， _. 求证： _. 解析： 由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得 AC 为线段 BD的垂直平分线，可求得 AB=AD，可得四边形 ABCD是菱形 . 答案： 已知：如图，在 ABCD中，对角线 AC， BD 交于点 O， AC B
13、D， 求证：四边形 ABCD是菱形 . 证明： 四边形 ABCD为平行四边形， BO=DO， AC BD， AC垂直平分 BD， AB=AD， 四边形 ABCD为菱形 . 故答案为： AC BD；四边形 ABCD是菱形 . 19.如图，直线 y=x+b与双曲线 kyx(k为常数， k 0)在第一象限内交于点 A(1， 2)，且与x轴、 y轴分别交于 B， C两点 . (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点 P在 x轴上，且 BCP 的面积等于 2，求 P点的坐标 . 解析： (1)把 A(1， 2)代入双曲线以及直线 y=x+b，分别可得 k， b的值； (2)先根据直线解析式得到 BO=C
14、O=1，再根据 BCP的面积等于 2，即可得到 P 的坐标 . 答案 ： (1)把 A(1， 2)代入双曲线 kyx，可得 k=2， 双曲线的解析式为 2yx； 把 A(1， 2)代入直线 y=x+b，可得 b=1， 直线的解析式为 y=x+1； (2)设 P点的坐标为 (x， 0)， 在 y=x+1中，令 y=0，则 x= 1；令 x=0，则 y=1， B( 1， 0)， C(0， 1)，即 BO=1=CO， BCP的面积等于 2， 12BP CO=2，即 12|x ( 1)| 1=2， 解得 x=3或 5， P点的坐标为 (3， 0)或 ( 5， 0). 20.我市某校组织爱心捐书活动，准
15、备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等 .第一次他们领来这批书的 23，结果打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了 9个包，那么这批书共有多少本？ 解析： 设这批书共有 3x本，根据每包书的数目相等 .即可得出关于 x的一元一次方程，解之即可得出结论 . 答案 ：设这批书共有 3x本， 根据题意得： 2 4 0 4 01 6 9xx， 解得： x=500， 3x=1500. 答：这批书共有 500本 . 21.为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了 “ 书香校园，从我做起 ” 的主题活动，学校随机抽取了部分学生，
16、对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间 (单位：小时 ) 频数 (人数 ) 频率 0 t 2 2 0.04 2 t 4 3 0.06 4 t 6 15 0.30 6 t 8 a 0.50 t 8 5 b 请根据图表信息回答下列问题： (1)频数分布表中的 a=_， b=_； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在 8 小时以上的学生评为 “ 阅读之星 ” ，请你估计该校 2000名学生中评为 “ 阅读之星 ” 的有多少人？ 解析： (1)由阅读时间为 0 t 2的频数除以频率求出总人数，确定出 a与 b的值即可；
17、 (2)补全条形统计图即可； (3)由阅读时间在 8小时以上的百分比乘以 2000即可得到结果 . 答案 ： (1)根据题意得： 2 0.04=50(人 )， 则 a=50 (2+3+15+5)=25； b=5 50=0.10； 故答案为： 25； 0.10； (2)阅读时间为 6 t 8的学生有 25人，补全条形统计图，如图所示： (3)根据题意得： 2000 0.10=200(人 )， 则该校 2000名学生中评为 “ 阅读之星 ” 的有 200 人 . 22.某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 AB 与支架 CD 所在直线相交于点 O，且 OB=OD，支架 CD 与水平
18、线 AE垂直， BAC= CDE=30 ， DE=80cm， AC=165cm. (1)求支架 CD的长； (2)求真空热水管 AB的长 .(结果保留根号 ) 解析： (1)在 Rt CDE 中，根据 CDE=30 ， DE=80cm，求出支架 CD的长是多少即可 . (2)首先在 Rt OAC 中，根据 BAC=30 ， AC=165cm，求出 OC 的长是多少，进而求出 OD 的长是多少；然后求出 OA的长是多少，即可求出真空热水管 AB的长是多少 . 答案 ： (1)在 Rt CDE 中， CDE=30 ， DE=80cm， 38 0 c o s 3 0 8 0 4 0 32CD (cm
19、). (2)在 Rt OAC中， BAC=30 ， AC=165cm， 3t a n 3 0 1 6 5 5 5 33O C A C (cm)， 5 5 3 4 0 3 1 5 3O D O C C D (cm)， 5 5 3 2 1 5 3 9 5 3A B A O O B A O O D (cm). 23.问题背景：已知 EDF的顶点 D在 ABC的边 AB所在直线上 (不与 A， B重合 )， DE交 AC所在直线于点 M， DF交 BC所在直线于点 N，记 ADM的面积为 S1， BND的面积为 S2. (1)初步尝试：如图 ，当 ABC 是等边三角形， AB=6， EDF= A，且
20、DE BC， AD=2 时，则 S1 S2=_； (2)类比探究：在 (1)的条件下，先将点 D沿 AB平移，使 AD=4，再将 EDF绕点 D旋转至如图 所示位置，求 S1 S2的值； (3)延伸拓展：当 ABC是等腰三角形时，设 B= A= EDF= . ( )如图 ，当点 D 在线段 AB 上运动时，设 AD=a， BD=b，求 S1 S2的表达式 (结果用 a， b和 的三角函数表示 ). ( )如图 ，当点 D 在 BA 的延长线上运动时，设 AD=a， BD=b，直接写出 S1 S2的表达式，不必写出解答过程 . 解 析 ： (1) 首 先 证 明 ADM ， BDN 都 是 等
21、边 三 角 形 ， 可 得 2212332 3 4 4 344SS ，由此即可解决问题； (2)如图 2中，设 AM=x， BN=y.首先证明 AMD BDN，可得 =AM ADBD BN，推出 42x y，推出 xy=8 ，由121 1 3s i n 6 0 3 s i n 6 02 2 2S A D A M x S D B y ，可得12333 1 222S S x y x y ； (3) 如图 3 中，设 AM=x， BN=y，同法可证 AMD BDN，可得 xy=ab，由1 11s i n s i n22S A D A M a x ，2 11s i n s i n22S D B B N
22、 b y ，可得 2 212 1 s i n4S S a b . ( )结论不变，证明方法类似； 答案 ： (1)如图 1中， ABC是等边三角形， AB=CB=AC=6， A= B=60 ， DE BC， EDF=60 ， BND= EDF=60 ， BDN= ADM=60 ， ADM， BDN都是等边三角形， 2212332 3 4 4 344SS ， S1 S2=12， 故答案为 12. (2)如图 2中，设 AM=x， BN=y. MDB= MDN+ NDB= A+ AMD， MDN= A， AMD= NDB， A= B， AMD BDN， =AM ADBD BN， 42x y， xy
23、=8， 121 1 3s i n 6 0 3 s i n 6 02 2 2S A D A M x S D B y ， 12333 1 222S S x y x y . (3) 如图 3中，设 AM=x， BN=y， 同法可证 AMD BDN，可得 xy=ab， 1 11s i n s i n22S A D A M a x ，2 11s i n s i n22S D B B N b y ， 2 212 1 s i n4S S a b . 如图 4中，设 AM=x， BN=y， 同法可证 AMD BDN，可得 xy=ab， 1 11s i n s i n22S A D A M a x ，2 11s
24、 i n s i n22S D B B N b y ， 2 212 1 s i n4S S a b . 24.如图，抛物线 y=23x2+bx+c经过点 B(3， 0)， C(0， 2)，直线 l： 22-33yx交 y轴于点 E，且与抛物线交于 A， D两点， P为抛物线上一动点 (不与 A， D重合 ). (1)求抛物线的解析式； (2)当点 P在直线 l下方时，过点 P作 PM x轴交 l于点 M， PN y轴交 l于点 N，求 PM+PN的最大值 . (3)设 F为直线 l上的点，以 E， C， P， F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F的坐标；若不能，请说明理由 .
25、解析： (1)把 B(3， 0)， C(0， 2)代入 y=23x2+bx+c解方程组即可得到结论； (2)设 P(m， 2 42 - - 233mm)，得到 N(m， 2233m)， M( m2+2m+2， 2 42 - - 233mm)，根据二次函数的性质即可得到结论； (3)求得 E(0， 23)，得到 CE=43，设 P(m， 2 42 - - 233mm)， 以 CE 为边，根据 CE=PF，列方程得到 m=1， m=0(舍去 )， 以 CE为对角线，连接 PF交 CE于 G， CG=GE， PG=FG，得到G(0， 43)，设 P(m， 2 42 - - 233mm)，则 F( m
26、， 2233m)，列方程得到此方程无实数根，于是得到结论 . 答案 ： (1)把 B(3， 0)， C(0， 2)代入 y=23x2+bx+c得， 22 3 3 032bcc ， 432bc 抛物线的解析式为： 22 - 4 -233y x x； (2)设 P(m， 2 42 - - 233mm)， PM x轴， PN y轴， M， N在直线 AD上， N(m， 2233m)， M( m2+2m+2， 2 42 - - 233mm)， PM+PN=22 2 2452 2 2 1 1 5- 2 2 - - - - 2 - - -3 3 3 3 3 3 3 3 2 45 1 0 5m m m m
27、m m m m m ， 当 m=12时， PM+PN的最大值是 154； (3)能， 理由： 22-33yx交 y轴于点 E， E(0， 23)， CE=43， 设 P(m， 2 42 - - 233mm)， 以 E， C， P， F为顶点的四边形能 构成平行四边形， 以 CE 为边， CE PF， CE=PF， F(m， 2233m)， 22 2 2- - - 233 443m m m ， m=1， m=0(舍去 )， 以 CE 为对角线，连接 PF 交 CE 于 G， CG=GE， PG=FG， G(0， 43)， 设 P(m， 2 42 - - 233mm)，则 F( m， 2233m)， 21 2 2 2- - 2 - -2 3 3 3 3 344m m m ， 0， 此方程无实数根， 综上所述，当 m=1时，以 E， C， P， F为顶点的四边形能 构成平行四边形 .
