2017年湖南省岳阳市高考一模数学理.docx

1、2017 年湖南省岳阳市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1.已知集合 A=-2， 0， 2， 2 231| 2 xxBx ，则 A B=( ) A.0 B.2 C.0， 2 D.-2， 0 解析： 集合 A=-2， 0， 2， B= 2 232|1 xxx =x|-1 x 3， A B=0， 2. 答案： C. 2.已知复数 z 满足 2z i i (i 为虚数单位 )，则 z 在复平面内对应的点所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由 2z

2、 i i ， 得 222 12iiiziii ， 则 12zi ， 则 z 在复平面内对应的点的坐标为： (-1， 2)，位于第二象限 . 答案 ： B. 3.已知，表示两个不同的平面， m 为平面内的一条直线，则“ m”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 根据面面垂直的判定定理得若 m则成立，即充分性成立， 若则 m不一定成立，即必要性不成立， 故 m是的充分不必要条件， 答案： A 4.函数 f(x)=xa满足 f(2)=4，那么函数 g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析：

3、f(2)=4， 2a=4，解得 a=2. 22 2l o g 1 0l o g 1l o g 1 1 0|xxg x xxx ， 当 x 0 时，函数 g(x)单调递增，且 g(0)=0；当 -1 x 0 时，函数 g(x)单调递减 . 答案： C. 5.若变量 x， y 满足不等式组 2 1yxyx y a，且 z=3x-y 的最大值为 7，则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.7 C.-1 D.-7 解析： 作出不等式组 2 1yxyx y a所对应可行域，如图， 变形目标函数 z=3x-y 可得 y=3x-z，平移直线 y=3x 可知： 当直线经过点 A 时，直线截距最小值， z 取最

4、大值，由 2yx y a解得 A(a+2， 2) 代值可得 3a+6-2=7，解得 a=1， 答案： A. 6.已知函数 f(x)=sin(2 x-6)( 0)的最小正周期为 4，则 ( ) A.函数 f(x)的图象关于点 (6， 0)对称 B.函数 f(x)的图象关于直线 x=6对称 C.函数 f(x)的图象在 (2， )上单调递减 D.函数 f(x)的图象在 (2， )上单调递增 解析： 函数 f(x)的最小正周期为 4， 2 42T ，即 14， 则函数 11s i n 2 s i n4 6 2 6f x x x ， 则 1s i n s i n 06 2 6 6 1 2f ，且 16f

5、 ， 则函数 f(x)的图象关于点 (6， 0)不对称，且关于直线 x=6不对称， 当2 x 时， 14 2 2x ， 11 2 2 6 3x ，此时函数 f(x)为增函数 . 答案 ： D. 7.将参加数学竞赛决赛的 500 名同学编号为： 001， 002， 500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽的号码为 003，这 500 名学生分别在三个考点考试，从001 到 200 在第一考点，从 201 到 355 在第二考点，从 356 到 500 在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析： 系统抽样的分段间隔为 500

6、 1050， 在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 10 个号抽到一个人， 则被抽中的人数构成以 3 为首项， 10 为公差的等差数列， 故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人，在 201 至 355 号中共有 16 人 . 答案： C. 8.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是 ( ) A.12 B.48 C.43 D.32 3 解析： 由三视图知该几何体为棱锥 S-ABD，其中 SC平面 ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为 23，外接球的半径为 3

7、所以四面体的外接球的体积 34 3 4 33 . 答案： C. 9.某一算法框图如图，输出的 S 值为 ( ) A. 32B. 32C. 3 D.0 解析： 由已知中的程序框图可知： 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 2 2 0 1 6s i n s i n s i n s i n3 3 3S 的值， 由于 sin3ny 的周期为 6，且同一周期内各函数值的累加和为 0， 由于 2016 6=336， 故 2 2 0 1 6s i n s i n s i n s i n3 3 3S =336 0=0， 答案 ： D. 10.已知圆 C： (x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m

8、， 0)， B(m， 0)(m 0).若圆上存在点 P 使得 PA PB 0，则 m 的取值范围是 ( ) A.(-， 4 B.(6， + ) C.(4， 6) D.4， 6 解析： 圆 C： (x-3)2+(y-4)2=1， 圆心 C(3， 4)，半径 r=1； 设点 P(a， b)在圆 C 上，则 AP =(a+m， b)， BP =(a-m， b)； PA PB 0 (a+m)(a-m)+b2=0； 即 m2=a2+b2； 22O P a b， |OP|的最大值是 |OC|+r=5+1=6，最小值是 |OC|-r=5-1=4； m 的取值范围是 4， 6. 答案： D. 11.在平面直角

9、坐标系 xoy 中，双曲线 C1： 221xyab (a 0， b 0)的渐近线与抛物线 C2：y2 2px(p 0)交于点 O， A， B，若 OAB 的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 ( ) A.32B. 5 C. 355D. 52解析： 双曲线 C1： 221xyab (a 0， b 0)的渐近线方程为 byxa， 与抛物线 C2： x2=2py 联立，可得 x=0 或 2pbxa， 取 2222pb pbAaa，设垂心 H(2p， 0)， 则 2244AHbk ab a ， OAB 的垂心为 C2的焦点， 224 14bba b a a ， 355ce a. 答案： C. 12

10、.定义：如果函数 f(x)在 a， b上存在 x1， x2(a x1 x2 b)满足 1f b f afxba， 2 f b f afx ba 则 称 函 数 f(x) 是 a ， b 上 的 “ 中 值 函 数 ” . 已 知 函 数 321132f x x x m 是 0， m上的“中值函数”，则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(34， 1) B. 3342，C.(1， 32) D.(32， + ) 解析： 由题意可知， 在区间 0， m存在 x1， x2(0 x1 x2 a)， 满足 2210 1132f m ff x f x m mm ， 321132f x x x m， f (x

11、)=x2-x， 方程 221132x x m m 在区间 (0， m)有两个解 . 令 221132g x x x m m ， (0 x m) 则 2222111 4 032110032110320mmg m mg m m m m mm - 解得 3342m ， 实数 m 的取值范围是 3342，. 答案 ： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13.在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 A 60， b 4， S ABC 23，则 a=_. 解析： A 60， b 4， 1 1 32 3 s i n 42 2 2ABCS b

12、c A c ， 解得： c=2， 由余弦定理可得： 2 2 2 2 12 c o s 4 2 2 4 2 2 32a b c b c A . 答案 ： 23. 14.若二项式 1 nxx的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_. 解析： 由二项式 1 nxx展开式中只有第 4 项的二项式系数最大， 即展开式有 7 项， n=6； 展开式中的通项公式为 36 216 1 rrrrT C x ； 令 362r=0，求得 r=4， 故展开式中的常数项为 4 461 1 5C . 答案： 15. 15.矩形 OABC 的四个顶点坐标依次为 O(0， 0)， A(2， 0)， B(

13、2， 1)， C(0， 1)，线段 OA，OC 及 y cosx(0 x2)的图象围成的区域为，若矩形 OABC 内任投一点 M，则点 M 落在区域内的概率为 _. 解析： 由题意：线段 OA ， OC 及 y cosx(0 x 2) 的图象围成的区域面积2200c |o s s i n 1d x x ， 矩形 OABC 的面积 122S . 点 M 落在区域内的概率为： 212 . 答案： 2. 16.定义在 0， + )上的函数 f(x)满足：当 x 1， 2)时， 1322f x x； x 0， + )都有 f(2x)=2f(x).设关于 x 的函数 F(x)=f(x)-a 的零点从小到

14、大依次为 x1， x2， x3， xn，若 a (12， 1)，则 x1+x2+ +x2n=_. 解析： 当 x 1， 2)时， 1322f x x； x 0， + )都有 f(2x)=2f(x). 当 x 2， 4)时， 12x 1， 2)， 1 1 1 32 2 1 32 2 2 2f x f x x x ， x 4， 8)时， 12 x 2， 4)， 112 2 1 3 2 622f x f x x x ， 同理，则 a (12， 1)， F(x)=f(x)-a 在区间 (2， 3)和 (3， 4)上各有 1 个零点，分别为 x1， x2，且满足 x1+x2=2 3=6， 依此类推： x

15、3+x4=2 6=12， x5+x6=2 12=24， x2n-1+x2n=2 3 2n-1. 当 a (12， 1)时， x1+x2+ +x2n-1+x2n=6 (1+2+22+ +2n-1)= 1 1 26 6 2 112nn ， 答案： 6 (2n-1). 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17.已知数列 an前 n 项和 Sn满足： 2Sn+an=1. (1)求数列 an的通项公式； (2)设3 3 12l o g l o gn nnb aa，数列 bn的前 n 项和为 Tn，求证： Tn 2. 解析： (1)根据数列的递推公

16、式和对数的运算性质即可求出数列 an的通项公式， (2)利用裂项求和即可求出数列 bn的前 n 项和 Tn，再放缩证明即可 . 答案： (1)2Sn+an=1， 2Sn+1+an+1=1， 2an+1+an+1=an， 3an+1=an， 又 2S1+a1=1， 1 13a， an是以 13为首项，以 13为公比的等比数列， an=(13)n； (2) 3 3 12 2 2 1 12l o g l o g 1 11n nnb a a n n n nnn 1 1 1 1 1 12 1 2 1 22 2 3 1 1nT n n n . 18.根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM

17、2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克 /立方米， PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克 /立方米 .我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度 (单位：微克 /立方米 )的监测数据，数据统计如表： 组别 PM2.5 浓度 (微克/立方米 ) 频数 (天 ) 频率 第一组 (0， 25 3 0.15 第二组 (25， 50 12 0.6 第三组 (50， 75 3 0.15 第四组 (75， 100 2 0.1 (1)将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图 . 求图 4 中 a 的值； 求样本平均

18、数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由 . (2)将频率视为概率，对于 2016 年的某 3 天，记这 3 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分布列和数学期望 . 解析： (1) a=0.004. 2016 年该居民区 PM2.5 的年平均浓度 =12.5 0.15+37.5 0.6+62.50.15+87.5 0.1，与 35 比较即可判断出结论 . (2)由题意可得： PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9， X 的可能取值为 0

19、， 1， 2， 3.P(X=k)= 33 0 .1 0 .9kkkC . 答案： (1) a=0.004. 2016 年该居民区 PM2.5 的年平均浓度 =12.5 0.15+37.5 0.6+62.50.15+87.5 0.1=42.5(微克 /立方米 )， 42.5 35， 2016 年该居民区 PM2.5 的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进 . (2)由题意可 得： PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3.P(X=k)= 33 0 .1 0 .9kkkC ，可得 P(X=0)=0.001

20、， P(X=1)=0.027， P(X=2)=0.243， P(X=3)=0.729. X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 E(X)=0 0.001+1 0.027+2 0.243+3 0.729=2.7，或 E(X)=3 0.9=2.7. 19.如图，已知长方形 ABCD 中， AB=22， AD= 2 ， M 为 DC 的中点，将 ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM ( )求证： AD BM ( )若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 E-AM-D 的余弦值为 55. 解析： ( )根据线

21、面垂直的性质证明 BM平面 ADM 即可证明 AD BM ( )建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可 . 答案： (1)长方形 ABCD 中， AB=22， AD= 2 ， M 为 DC 的中点， AM=BM=2， BM AM. 平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM， BM 平面 ABCM BM平面 ADM AD 平面 ADM AD BM； (2)建立如图所示的直角坐标系，设 DE DB ， 则平面 AMD 的一个法向量 n =(0， 1， 0)， M E M D D B=(1-， 2， 1- )， AM =(-2，0， 0)，设

22、平面 AME 的一个法向量为 m =(x， y， z)，则 201 2 1 0m A M xm M E x y z ， 取 y=1，得 x=0， 21z ， 则 2011m ， ， 5c o s5mnmnmn ， ，求得 12 ， 故 E 为 BD 的中点 . 20.已知椭圆 C： 221xyab (a b 0)的两个焦点为 F1， F2，离心率为 63，点 A， B 在椭圆上， F1在线段 AB 上，且 ABF2的周长等于 43. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过圆 O： x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M， N，求PMN 面

23、积的最大值 . 解析： (1)通过椭圆定义及 ABF2 的周长等于 43，可知 a= 3 ，利用 63ce a ，可知2c ，通过 22b a c可知 b=1，进而可得结论； (2)通过设 P(x0， y0)及过 P 点的直线为 y-y0=k(x-x0)，并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆 O： x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直，进而计算可得结论 . 答案： (1) ABF2的周长等于 43，且 F1在边 AB 上， (BF1+BF2)+(AF1+AF2)=43， 2a+2a=43，即 a= 3 ， 又 63ce a ， 2c ， 22b a c

24、1， 椭圆 C 的标准方程为： 2 2 13x y ； (2)依题意，设 P(x0， y0)，设过 P 点的直线为 y-y0=k(x-x0)， 记 b=-kx0+y0，整理得： y=kx+b，并代入椭圆方程，得： x2+3k2x2+6kbx+3b2-3=0， 令 =0，得 9k2b2-3b2-9k2b2+9k2+3=0， 9k2-3b2+3=0，即 3k2-b2+1=0， 又 b=-kx0+y0， 3k2-k2x02+2kx0y0-y02+1=0， =3y02+x02-3 0， 2012 2013ykkx， 又 x02+y02=4，即 y02=4-x02， 2012 2041 13xkkx ，

25、 过圆 O： x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线均垂直， MN 为圆 O 的直径， 当 P 点为 (0， 2)时， PMN 面积的最大，最大值为 12 4 2=4. 21.已知函数 22l n 1 1a x xf x xx . (1)当 a=1 时，求函数 f(x)在 x=e-1 处的切线方程； (2)当 23 a 2 时，讨论函数 f(x)的单调性； (3)若 x 0，求函数 1111xxg x xx 的最大值 . 解析： (1)求出函数的导数，计算 f (e-1)， f(e-1)的值，求出切线方程即可； (2)求出函数的导数，根据 a 的范围求出函数的单调区间即可； (

26、3)令 (x)=lng(x)，根据 (x)在 (0， + )上的最大值等于其在 (0， 1)上的最大值，求出 (x)的最大值，从而求出 g(x)的最大值即可 . 答案： (1)a=1 时，函数 l n 11 xf x x x ， 22111 11 xfx x xx ， 2 11 efe e ， 又 f(e-1)=1e， a=1 时，函数 f(x)在 x=e-1 处的切线方程是： 211 1ey x eee ； (2)由题意得：函数 f(x)的定义域是 (-1， + )， 且 3231x x afxx， 32 a 2 时，则 2a-3 0， 若 -1 x 0 或 x 2a-3，则 f (x) 0

27、，若 0 x 2a-3，则 f (x) 0， f(x)在区间 (-1， 0)(2a-3， + )递增，在 (0， 2a-3)递减； (3)显然 g(x)=g(1x)，令 (x)=lng(x)， 因此 (x)在 (0， + )上的最大值等于其在 (0， 1)上的最大值， 21 1 11 l n 1 l n 11x x x xx x x ， 设 21 1 11 l n 1 l n 11h x x x xx x x ， 2222322 1 l n 111xxxxxhxxx ， 由 (2)得，当 a=2 时， f(x)在区间 (0， 1递减， 则 222l n 1 0 0 01xxf x x f h

28、xx ， ， 故函数 h(x)在区间 (0， 1递减，于是 h(x) h(1)=0， 从而函数 (x)在区间 (0， 1递增， 进而 (x) (1)=2ln2， (x)=lng(x)， 函数 g(x)的最大值是 4. 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑 .选修 4-4：参数方程与极坐标系 22.已知曲线 C 的极坐标方程为 =6sin，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l 的参数方程为 11x atyt(t 为参数 ). (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l

29、的普通方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 B， D 两点，当 |BD|取到最小值时，求 a 的值 . 解析： (1)曲线 C 的极坐标方程为 =6sin，即 2=6 sin，利用互化公式可得直角坐标方程 .直线 l 的参数方程为 11x atyt(t 为参数 )，消去参数 t 可得普通方程 . (2)由直线 l 经过定点 P(-1， 1)，此点在圆的内部，因此当 CP l 时， |BD|取到最小值，利用kCP kl=-1，解得 kl，即可得出 . 答案： (1)曲线 C 的极坐标方程为 =6sin，即 2=6 sin，化为直角坐标方程： x2+y2=6y，配方为： x2+(y-3)2=9

30、，圆心 C(0， 3)，半径 r=3. 直线 l 的参数方程为 11x atyt(t 为参数 )，消去参数 t 可得： x-ay+a+1=0. (2)由直线 l 经过定点 P(-1， 1)，此点在圆的内部， 因此当 CP l 时， |BD|取到最小值，则 13 110C P l lk k k ，解得 12lk . 112a，解得 a=-2. 23.已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x) 6 的解集为 x|-2 x 3，求实数 a 的值； (2)在 (1)的条件下，若存在实数 n 使 f(n) m-f(-n)成立，求实数 m 的取值范围 . 解析： (1)通过讨论 x的

31、范围，求得 a-3 x 3.再根据不等式的解集为 x|-2 x 3，可得 a-3=-2，从而求得实数 a 的值 . (2)在 (1)的条件下， f(n)=|2n-1|+1，即 f(n)+f(-n) m，即 |2n-1|+|2n+1|+2 m.求得 |2n-1|+|2n+1|的最小值为 2，可得 m 的范围 . 答案 ： (1)函数 f(x)=|2x-a|+a， 故不等式 f(x) 6， 即 606 2 6aa x a a ， 求得 a-3 x 3. 再根据不等式的解集为 x|-2 x 3， 可得 a-3=-2， 实数 a=1. (2)在 (1)的条件下， f(x)=|2x-1|+1， f(n)=|2n-1|+1，存在实数 n 使 f(n) m-f(-n)成立， 即 f(n)+f(-n) m，即 |2n-1|+|2n+1|+2 m. 由于 |2n-1|+|2n+1| |(2n-1)-(2n+1)|=2， |2n-1|+|2n+1|的最小值为 2， m 4， 故实数 m 的取值范围是 4， + ).