1、2017年湖南省湘潭市中考真题数学 一、选择题 (共 8小题，每小题 3分，满分 24分 ) 1. 2017的倒数是 ( ) A. 12017B.- 12017C.2017 D.-2017 解析：依据倒数的定义求解即可 . 答案： A. 2.如图所示的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形 . 答案： D. 3.不等式组 21xx的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析：根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可 . 答案： B. 4.下列计算正确的是 ( ) A.3a-2a=a B. 2 5 7 C.(
2、2a)3=2a3 D.a6 a3=a2 解析：分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可 . 答案： A. 5.“莲城读书月”活动结束后，对八年级 (三 )班 45 人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示： 根据统计结果，阅读 2 本书籍的人数最多，这个数据 2是 ( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 解析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此即可判定 2是众数 . 答案： C. 6.函数 y= 2x 中，自变量 x的取值范围是 ( ) A.x -2 B.x -2 C.x 0 D.x -2 解析：根据题意得： x+2 0，
3、 解得 x -2. 答案： A. 7.如图，在半径为 4的 O中， CD 是直径， AB 是弦，且 CD AB，垂足为点 E， AOB=90，则阴影部分的面积是 ( ) A.4 -4 B.2 -4 C.4 D.2 解析：首先证明 S AOE=S OEB，可得 S 阴 =S 扇形 OBC，由此即可解决问题 . 答案： D. 8.一次函数 y=ax+b的图象如图所示，则不等式 ax+b 0的解集是 ( ) A.x 2 B.x 2 C.x 4 D.x 4 解析：不等式 ax+b 0 的解集为 x 2. 答案： B. 二、填空题 (共 8小题，每小题 3分，满分 24分 ) 9.分解因式： m2-n2
4、=_. 解析：运用 a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可 . 答案： (m+n)(m-n). 10.截止 2016年底，到韶山观看大型实景剧中国出了个毛泽东的观众约为 925000 人次，将 925000用科学记数法表示为 _. 解析：将 925000用科学记数法表示为： 9.25 105. 答案： 9.25 105. 11.计算： 1322aaa =_. 解析：根据分式的加法法则计算即可得 . 答案： 1. 12.某同学家长应邀参加孩子就读中学的开放日活动，他打算上午随机听一节孩子所在 1 班的课，下表是他拿到的当天上午 1班的课表，如果每一节课被听的机会均等，那么他听数学课的概率是 _
5、. 解析：根据概率公式可得答案 . 答案： 14. 13.如图，在 O 中，已知 AOB=120，则 ACB=_. 解析：根据 AOB的度数利用圆周 角定理，即可得出 ACB的度数 . 答案： 60 . 14.如图，在 ABC中， D、 E分别是边 AB、 AC的中点，则 ADE与 ABC的面积比 S ADE： SABC=_. 解析：根据三角形中位线定理得到 DE BC， DE=12BC，得到 ADE ABC，根据相似三角形的性质计算即可 . 答案： 1： 4. 15.如图，在 Rt ABC中， C=90， BD平分 ABC交 AC于点 D， DE 垂直平分 AB，垂足为 E点，请任意写出一组
6、相等的线段 _. 解析： DE 垂直平分 AB， BE=EA， 答案： BE=EA. 16.阅读材料：设 a =(x1， y1)， b =(x2， y2)， a b ，则 x1 y2=x2 y1.根据该材料填空：已知 a =(2， 3)， b =(4， m)，且 a b ，则 m=_. 解析：由题意设 a =(x1， y1)， b =(x2， y2)， a b ，则 x1 y2=x2 y1，由此列出方程即可解决问题 . 答案： 6. 三、解答题 (本大题共 10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72 分 ) 17.计算： |-2|+(5-
7、 )0- 2 sin45 . 解析：直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简求出答案 . 答案：原式 =2+1- 2 22=2. 18.“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一 .大约在 1500年前成书的孙子算经中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿 .问笼中各有几只鸡和兔？ 解析：本题可设鸡有 x只，兔有 y只，因“今有雉 (鸡 )兔同笼，上有三十五头，下有九十四足 .”，所以有 352 4 9 4xyxy，解之得鸡的只
8、数，兔的只数 . 答案：设鸡有 x只，兔有 y只，根据题意得 有 352 4 9 4xyxy， 解之，得 2312xy， 即有鸡 23只，兔 12只 . 19.从 -2， 1， 3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标 . (1)写出该点所有可能的坐标； (2)求该点在第一象限的概率 . 解析： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有等可能的结果； (2)由 (1)得出点刚好落在第一象限的情况，由概率公式即可求出问题答案 . 答案： (1)画树状图得： 所有可能的坐标为 (1， 3)、 (1， -2)、 (3， 1)、 (3， -2)、 (-2， 1)、 (-2， 3)； (2)
9、共有 6种等可能的结果，其中 (1， 3)， (3， 1)点落在第一项象限， 点刚好落在第一象限的概率 =2163. 20.如图，在 ABCD中， DE=CE，连接 AE并延长交 BC的延长线于点 F. (1)求证： ADE FCE； (2)若 AB=2BC， F=36 .求 B的度数 . 解析： (1)利用平行四边形的性质得出 AD BC， AD=BC，证出 D= ECF，由 ASA 即可证出ADE FCE； (2)证出 AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案 . 答案： (1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， AD=BC， D= ECF， 在 ADE
10、和 FCE中， D E C FD E C EA E D F E C ， ADE FCE(ASA)； (2)解： ADE FCE， AD=FC， AD=BC， AB=2BC， AB=FB， BAF= F=36， B=180 -2 36 =108 . 21.为响应习总书记足球进校园的号召，某学校积极开展与足球有关的宣传与实践活动 .学生会体育部为了解本学校对足球运动的态度，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的统计图表 (部分信息未给出 ). (1)在上面的统计表中 m=_， n=_. (2)请你将条形统计图补充完整； (3)该校共有学生 1200 人，根据统计信息，估计爱好足球运动 (包括喜
11、欢和非常喜欢 )的学生有多少人？ 解析： (1)根据频数的定义，即可判断； (2)条形图如图所示； (3)用样本估计总体的思想，即可解决问题 . 答案： (1)由题意抽取的总人数为 m人 . 由题意 5m=0.05，解得 m=100， n=50100=0.5. (2)喜欢的人数为 100 0.35=35，条形图如图所示， (3)1200 (0.05+0.35)=480人 答：计爱好足球运动 (包括喜欢和非常喜欢 )的学生约为 480人 . 22.由多项式乘法： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a+b)x+a
12、b=(x+a)(x+b) 示例：分解因式： x2+5x+6=x2+(2+3)x+2 3=(x+2)(x+3) (1)尝试：分解因式： x2+6x+8=(x+_)(x+_)； (2)应用：请用上述方法解方程： x2-3x-4=0. 解析： (1)类比题干因式分解方法求解可得； (2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得 . 答案： (1)x2+6x+8=x2+(2+4)x=2 4=(x+2)(x+4)； (2) x2-3x-4=0， (x+1)(x-4)=0， 则 x+1=0或 x-4=0， 解得： x=-1或 x=4. 23.某游乐场部分平面图如图所示， C、 E、 A在同一直线上， D、
13、E、 B在同一直线上，测得 A处与 E处的距离为 80 米， C处与 D处的距离为 34米， C=90， BAE=30 .( 2 1.4，3 1.7) (1)求旋转木马 E处到出口 B处的距离； (2)求海洋球 D处到出口 B处的距离 (结果保留整数 ). 解析： (1)在 Rt ABE 中，利用三角函数即可直接求得 BE的长； (2)在 Rt CDE中，利用三角函数求得 DE的长，然后利用 DB=DE+EB求解 . 答案： (1)在 Rt ABE中， BAE=30， BE=12AE=12 80=40(米 )； (2)在 Rt ABE中， BAE=30， AEB=90 -30 =60， CED
14、= AEB=60， 在 Rt CDE中， DE= 341 .7s in 2CDC E D =40(米 )， 则 BD=DE+BE=40+40=80(米 ). 24.已知反比例函数 y=kx的图象过点 A(3， 1). (1)求反比例函数的解析式； (2)若一次函数 y=ax+6(a 0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式 . 解析： (1)把 A(3， 1)y=kx即可得到结论； (2)解 36y xy ax 得 ax2+6x-3=0，根据题意得到 =36+12a=0，解方程即可得到结论 . 答案： (1)反比例函数 y=kx的图象过点 A(3， 1)， k=3， 反比例
15、函数的解析式为： y=3x； (2)解 36y xy ax 得 ax2+6x-3=0， 一次函数 y=ax+6(a 0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点， =36+12a=0， a=-3， 一次函数的解析式为 y=-3x+6. 25.已知抛物线的解析式为 y=-120x2+bx+5. (1)当自变量 x 2时，函数值 y 随 x的增大而减少，求 b 的取值范围； (2)如图，若抛物线的图象经过点 A(2， 5)，与 x 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于B. 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点 P，使得 PAB= ABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .
16、解析： (1)由题意可知：对称轴只需要小于或等于 2即可，从而可求出 b的范围； (2)将 A代入抛物线解析式即可求出 b的值 . 由于 PAB= ABC，且 P在抛物线上，故需要对 P的位置进行分类讨论即可 . 答案： (1)抛物线的对称轴为： x=10b， 由题意可知： x 2时，函数值 y 随 x的增大而减少， 10b 2， b 15； (2)将 A(2， 5)代入抛物线的解析式中， 5=-120 4+2b+5， b=110， 抛物线的解析式为： y=-120x2+110x+5， 由于 PAB= ABC， 当 P在对称轴的左侧时， 此时 PAB= ABC， PA BC， P的纵坐标与 A
17、的纵坐标相同， P(0， 5)， 当 P在对称轴的右侧时， 连接 AP 并延长交 x轴于 E， 此时 PAB= ABC AE=BE， 过点 A作 AG x轴于点 G，过点 P作 PH x轴于点 H，过点 E作 EF AB于点 F， B(1， 0)， A(2， 5)， AG=5， BG=1， 由勾股定理可知： AB= 26 ， AE=BE， EF AB， BF=12AB= 262， cos ABC= 2626BGAB， cos ABC= 2626BFBE， BE=13， GE=BE-BG=12， tan PEG= 512AGGE， 设 P(x， -120x2+110x+5)， E(14， 0)，
18、 HE=14-x， PH=-120x2+110x+5， tan PEG= 512PHHE， 即 211 5 52 0 1 01 4 1 2xxx ， 解得： x=2(舍去 )或 x=253， P(253， 8536) 综上所述， P(0， 5)或 P(253， 8536). 26.如图，动点 M在以 O为圆心， AB为直径的半圆弧上运动 (点 M不与点 A、 B 及 AB 的中点F 重合 )，连接 OM.过点 M 作 ME AB 于点 E，以 BE 为边在半圆同侧作正方形 BCDE，过点 M作 O的切线交射线 DC于点 N，连 接 BM、 BN. (1)探究：如图一，当动点 M在 AF 上运动
19、时； 判断 OEM MDN是否成立？请说明理由； 设 ME NCMN=k， k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； 设 MBN=，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； (2)拓展：如图二，当动点 M 在 FB 上运动时； 分别判断 (1)中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论 .(均不必说明理由 ) 解析： (1)由正方形的性质得出 BE=BC， EBC= CDE= BCD= BED=90，由切线的性质和直角三角形的性质证出 EOM= DMN，即可得出 OEM MDN； 作 BG MN 于 G，则 BG OM， BGN= BGM=90，由平行线的性
20、质和等腰三角形的性质得出 OBM= GBM，由 AAS 证明 BME BMG，得出 EM=GM， BE=BG，证出 BG=BC，由 HL 证明Rt BGN Rt BCN，得出 GN=CN，证出 EM+NC=GM+NC=MN，即可得出结论； 由全等三角形的性质得出 EBM= GBM， GBN= CBN，求出 MBN=12 EBC=45即可； (2)(1)中的三个结论保持不变；解法同 (1). 答案： (1) OEM MDN成立，理由如下： 四边形 BCDE是正方形， BE=BC， EBC= CDE= BCD= BED=90， EOM+ EMO=90， MN是 O的切线， MN OM， OMN=9
21、0， DMN+ EMO=90， EOM= DMN， OEM MDN； k值为定值 1；理由如下： 作 BG MN于 G，如图一所示： 则 BG OM， BGN= BGM=90， OMB= GBM， OB=OM， OBM= OMB， OBM= GBM， 在 BME和 BMG中， 90O B M G B MB E D B G MB M B M ， BME BMG(AAS)， EM=GM， BE=BG， BG=BC， 在 Rt BGN和 Rt BCN 中， BN BNBG BC， Rt BGN Rt BCN(HL)， GN=CN， EM+NC=GM+NC=MN， k= M E N C M NM N M N =1； 设 MBN=，为定值 45；理由如下： BME BMG， Rt BGN Rt BCN， EBM= GBM， GBN= CBN， MBN=12 EBC=45， 即 =45； (2)(1)中的三个结论保持不变；理由同 (1)，作 BG MN于 G，如图二所示 .
